SECTION I

Soit s la racine d'une équation irréductible de degré n dont les coefficients sont des fonctions entières de z de degré m ; à chaque valeur de z correspondent n valeurs de s, qui varient avec z d'une manière continue partout où elles ne deviennent pas infinies. Si l'on représente alors le mode de ramification de cette fonction (p. 93) par une surface T sans contour d'encadrement, recouvrant le plan des z, cette surface, en toute partie du plan, possède n feuillets et s est alors une fonction uniforme du lieu sur cette surface.

Une surface sans contour d'encadrement peut être considérée comme une surface dont l'encadrement est rejeté à l'infini ou comme une surface fermée, et c'est à ce point de vue que nous regarderons la surface T, en sorte qu'à la valeur z = co correspond un point sur chacun des n feuillets, à moins que pour ,5 = 00 l'on n'ait un point de ramification.

Toute fonction rationnelle de s et z est également, c'est évident, une fonction uniforme du lieu sur la surface T, et possède donc le même mode de ramification que la fonction s, et l'on verra plus loin que la réciproque est également vraie.

L'intégration d'une pareille fonction donne une fonction dont les différents prolongements pour la même portion de la sur-

face I i)<' dînèrent que par des constantes, puisque sa dérivée pour le même point de cette surface reprend toujours la même valeur. I 11 pareil système de fonctions algébriques à mêmes ramifications et d'intégrales de ces fonctions fera d'abord l'objet de notre étude; mais, au lieu de prendre comme point de départ les expressions de ces fonctions, nous les définirons par leurs discontinuités en appliquant le Principe de Dirichlet ^p. io4).