S II

Pour simplifier ce qui suit, je dirai qu'une fonction est infiniment petite du premier ordre en un point de la surface T lorsque son logarithme augmente de 2-/. quand on décrit dans le sens positif le contour dune portion de cette surface renfermant ce point où la fonction rote finie et différente de zéro. Pour

un point où la surface T tourne sur elle-même u. fois, il en est

ainsi, lorsque r c-^t éyal à une valeur finie a, de (5 — «);J', c'est-

à-dire de (d:-)^; mais, lorsque z= ce, c'est ( - V qui devient infiniment petit du premier ordre. Le cas où une fonctiou devient infiniment petite ou infiniment grande d'ordre v en un point de la surface T peut être traité comme si la fonction y devenait infiniment petite ou infiniment grande du premier ordre en v points qui coïncident (ou se rapprochent indéfiniment les uns des autres). ! ce que nous ferons quelquefois par la suite. La manière dont les fonctions que nous aurons à traiter ici deviennent discontinues peut alors s'exprimer ainsi. Si l'une d'elles est infinie en un point de la surface T, elle peut toujours, /• désignant une fonction quelconque qui devient infiniment petite du premier ordre en ce point, être transformée par la soustraction d'une expression finie de la forme

Alog/- — BH+ C7-2-K ..

en une fonction qui v est continue, ainsi que cela se voit d'après les propositions connues sur le développement d'une fonction en

séries de puissances, propositions que l'on peut démontrer d'après Cauchy ou bien à l'aide de la série de Fourier.

§ III

Concevons maintenant que l'on donne une surface connexe T, recouvrant partout n fois le plan des z, sans contour, mais que Ton peut, d'après ce qui précède, regarder comme une surface fermée, et que l'on ait décomposé cette surface en une surface simplement connexe T'. Comme la courbe d'encadrement d'une surface simplement connexe est formée par un contour unique, mais qu'une surface fermée prend, par l'effet d'un nombre impair de sections, un nombre pair de portions d'encadrement, et, par l'effet d'un nombre pair de sections, un nombre impair de portions d'encadrement, pour effectuer cette décomposition de la surface, il sera donc nécessaire de pratiquer un nombre pair de sections. Soit ip le nombre de ces sections transverses. Pour simplifier ce qui va suivre, la décomposition sera pratiquée de telle sorte que chaque nouvelle section soit faite à partir d'un point d'une des sections précédentes et aboutisse au point avoisinant sur l'autre bord de cette même section; alors, lorsqu'une grandeur varie d'une manière continue le long du contour d'encadrement complet de la surface T', et éprouve dans tout le système de sections des variations égales sur les deux bords, la différence entre les deux valeurs qu'elle prend au même point du réseau de sections est égale à une même constante en toutes les parties d'une même section transverse.

Posons maintenant z = x -\-yi et considérons sur T une fonction a -f- $i de x, y définie comme il suit :

Dans le voisinage des points £1,^2, ... elle sera déterminée comme étant égale à des fonctions de x-\-yi données qui sont infinies en ces points, et cela de telle sorte qu'en ev, elle soit égale à une expression finie de la forme

Avlogrv-4- Bvr~l + Cv/--2-r-. . . = cpv(rv),

où /\, désigne une fonction quelconque de z qui devient infiniment petite du premier ordre en sv, les A„, 13v, Cv, . . . étant des

constantes arbitraires. On mènera ensuite à l'intérieur de T\ jusqu'en un point quelconque à partir de tous les points £ pour lesquels la grandeur A est différente de zéro, des lignes qui ne se coupent pas; la ligne partant de cv sera désignée par/v. Enfin supposons la fonction, à l'intérieur de tout ce qui reste encore de la surface T, définie ainsi : En dehors des lignes / et des sections transverses, elle est partout continue; sur le bord posilif'(gauche) de la ligne A, elle surpasse de — ■>.-/ Av< et sur le bord positif de la vieo,e section transverse elle surpasse de la constante donnée hM les valeurs respectives qu'elle possède sur les bords opposés de ces sections; enfin l'intégrale

relative à la surface T, a une valeur finie. 11 est aisé de reconnaître que cela est toujours possible quand la somme de toutes les grandeurs A est égale à zéro, et de plus n'est possible que sous cette condition, car c'est seulement en ce cas que la fonction, après un circuit décrit le long du système des lignes /, peut reprendre de nouveau sa précédente valeur.

Les constantes additives h({), A(2), . . . , hi2P\ dont s'accroît une pareille fonction en passant du bord négatif au bord positif des sections transverses, seront dites les modules de périodicité de celte fonction.

Maintenant, d'après le principe de Dirichlet, la fonction a-f- rii peut être transformée en une fonction iù de x-\-yi par la soustraction d'une pareille fonction de x,y, partout continue en T', à modules de périodicité purement imaginaires, et cette fonction est complètement déterminée à une constante additive près. La fonction to admet les mêmes discontinuités que y.— fti à l'intérieur de T' et les mêmes parties réelles des modules de périodicité. Par conséquent, dans la composition de w, les fonctions ç>vet les parties réelles des modules de périodicité peuvent être données arbitrairement. Eu égard à ces conditions, la fonction est complètement déterminée à une constante additive près et, par conséquent, il en est de même de la partie imaginaire de ses modules de périodicité. On verra que cette fonction w comprend, comme cas particuliers, toutes les fonctions indiquées au § T.

§ iv.

Fonctions w partout finies {intégrales de première espèce i.

Nous allons d'abord considérer les plus simples parmi ces fonctions, celles qui restent toujours finies et qui, par conséquent, sont continues partout à l'intérieur de la surface T'. Si l'on désigne par wK, w2) • • • -, wp de telles fonctions, on a aussi, comme fonction de même nature,

w = at W\ -+- a2 w2 -h. . . -+- ttpWp -+- const.,

les 7.|, 7.0, . . . , OLp étant des constantes quelconques. Désignons les modules de périodicité des fonctions wi} w2, • • • , wp relatifs à la viome section transverse par /,',v), Â"2V), . . . , À^'. Le module de périodicité de w relatif à cette section transverse est alors

a, /, ! — a2 /. 2 -+- ... -- ap Kp — h

et, si l'on écrit les grandeurs a sous la forme y -+- o/, les parties réelles des 2/? grandeurs Àfl), À(2), . . ., Â"(2^ sont des fonctions linéaires des grandeurs y,, y2, • • • ? Y/>j 81? 82j • • • j o^.

Maintenant, lorsque aucune équation linéaire à coefficients constants n'a lieu entre les grandeurs wi} iv2l • . ., «>, le déterminant de ces expressions linéaires ne peut s'évanouir.

En effet, s'il n'en était pas ainsi, l'on pourrait déterminer les rapports des grandeurs a de telle sorte que les modules de périodicité de la partie réelle de w seraient tous égaux à zéro, et que, par suite, la partie réelle de w et, par conséquent aussi, w ellemême devraient, en vertu du principe de Dirichlet, se réduire à une constante.

Par conséquent les ip grandeurs y et S peuvent être déterminées de telle sorte que les parties réelles des modules de périodicité prennent des valeurs données; par suite, w peut représenter toute fonction w restant toujours finie, lorsque W\ , w2, •••, wp ne satisfont à aucune équation linéaire à coefficients constants. Mais ces fonctions peuvent être toujours choisies de manière à remplir celle condition; en effet, tant que [jl<^/>, des équations de

THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. Il3

condition flttéaires ont lieu entre les modules de périodicité de la