partie réelle de

Zj Wj-t- a.%vs>%-\-. . .-+- aa «'m -t- const.,

et ainsi pp^ n'est pas renfermé dans cette forme, quand on détermine les modules de périodicité de la partie réelle de cette fonction de telle sorte qu'ils ne satisfassent pas à ces équations de condition, ce qui est toujours possible, d'après ce qui précède.

Fonctions u> qui sont infinies du premier ordre en un point de la surface T {intégrales de deuxième espèce).

Supposons maintenant que (o devienne infinie en un seul points de la surface T, et que pour ce point tous les coefficients dans <p, sauf B, soient nuls. Une telle fonction est alors déterminée, à une constante additive près, parla grandeur Bet par les parties réelles de ses modules de périodicité. Si l'on désigne par £°(s) une fonction quelconque de cette nature, dans l'expression

t\ 11 = $t°(l ) -r- »!«>!+ OEjWj -+-...-+- <XpWp — COIlit.,

les constantes 3, a,, a2 7-/> peuvent toujours être déterminées de telle sorte que pour cette expression la grandeur B et les parties réelles des modules de périodicité prennent des valeurs quelconques données. Cette expression représente donc toute pareille fonction.

Fonctions to qui sont logarithmiquement infinies en deux point < de la surface T {intégrales de troisième espèce).

Considérons en troisième lieu le cas où la fonction to devient infinie seulement logarithmiquement; cela doit avoir lieu, puisque la somme des grandeurs A doit être égale à zéro, au moins en deux points de la surface T, s,, e2j et l'on doit avoir A2 = — A,. Si l'on désigne l'une quelconque des fonctions pour lesquelles ce fait a lieu, les deux dernières grandeurs étant égales à i, par nï0(e|,e2), toutes les autres fonctions, en vertu de conclusions R. 8

I 1 4 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANiW

analogues à celles employées précédemment, sont comprises dans la forme

s?(m, h) = ra°(£i> £2) -+- a1(t'i-+-a2(V2-l-- • •+ Zp«'p-T- const.

Dans les remarques qui suivent nous supposerons, pour simplifier, que les points s ne sont pas des points de ramification et qu'ils ne sont pas situés à l'infini. On peut donc poser j\ = : — zv, en désignant par zv la valeur de z au point ev. Alors, lorsque l'on différence ^(si, £o) par rapport à zt de telle sorte que les parties réelles des modules de périodicité (ou aussi p des modules de périodicité) et la valeur de ^(e,, e2) en un point quelconque de la surface T restent constantes, l'on obtient une fonction t(zi) qui

est discontinue en s, comme 1 est

Réciproquement, £(ei) désignant une telle fonction, l'intégrale

/ tfe^dzt, prise le long d'une ligne quelconque, menant de

e2 à £3, sur la surface T, est égale à une fonction ro(£2? £3)- D'une manière toute pareille, on obtient, par l'effet de n différentiations successives d'une telle fonction t(t{), prises par rapport à Z\ , des fonctions to qui sont discontinues au point e,, comme l'est n\(z — ^1)~",, et qui partout ailleurs restent finies.

Pour les positions des points s que nous avons exclues, ces théorèmes exigent une légère modification.

Maintenant, il est évident que l'on peut déterminer une expression linéaire à coefficients constants formée de fonctions w, de fonctions to et de leurs dérivées prises par rapport aux valeurs de discontinuité, expression telle qu'à l'intérieur de T' elle admette des discontinuités quelconques données de même forme que celles de a), et telle que les parties réelles de ses modules de périodicité prennent des valeurs quelconques données. On peut, par conséquent, représenter toute fonction w par une pareille expression.

L'expression générale d'une fonction to, qui devient infiniment grande du premier ordre en m points £,, e2j • • •, ^m de la surface T est, d'après ce qui précède,

s = 3,/[— 3., /2 — . . . — $mtm — a, u'[ + ac2w2 --. . .4- apwp+ const.,

où fv est une fonction quelconque *(ev) et où les grandeurs a et ,3 sont des constantes. Lorsque, parmi les m points s, un nombre p d'entre eux se réunissenl au même point r, de la surface T, les p fonctions t correspondant à ces points doivent être remplacées par une fonction t(rt) et par les p — i premières dérivées de cette fonction, prises par rapport à sa valeur de discontinuité (§ II).

Les ip modules de périodicité de cette fonction s sont des fonctions linéaires homogènes des p -f- m grandeurs a et (3. Lorsque m p —- i. parmi les grandeurs a et [3, ip d'entre elles peuvent donc être déterminées comme fonctions linéaires homogènes de celles qui restent, de sorte que les modules de périodicité soient tous nuls. La fonction renferme alors encore m — p-\-i constantes arbitraires dont elle est fonction linéaire homogène, et elle peut être regardée comme une expression linéaire de m — p fonctions, dont chacune devient infinie du premier ordre seulement pour p — i valeurs.

Lorsque m =p -f- 1 , les rapports des ip -f- 1 grandeurs a et (3 sont complètement déterminés pour chaque position des p -+- i points e. Mais, pour des positions particulières de ces points, quelques-unes des grandeurs [3 peuvent être égales à zéro. Soit par exemple, m — •/. le nombre de ces grandeurs égales à zéro, de sorte que la fonction ne devient infinie du premier ordre que pour |j. points. Ces p points doivent alors avoir une position telle que, parmi les ip équations de condition entre les/^H- u. grandeurs restantes [i et a, p -f- 1 — >j. d'entre elles soient une conséquence identique de celles qui restent; par suite il n'y en a que i u. — p — 1 qui peuvent être choisies arbitrairement. En outre la fonction contient encore deux constantes arbitraires.

Maintenant, proposons-nous de déterminer s de telle sorte que |/

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PLBLIÉS PAR RIEMANN.

soit le plus petit possible. Lorsque s est p. fois infinie du premier ordre, il en est de même de toute fonction rationnelle de s du premier degré; on peut donc, dans la résolution du problème, choisir un des u. points arbitrairement. La position des autres doit être alors déterminée telle que p + i — jjl des équations de condition entre les grandeurs a et ^ soient une conséquence identique de celles qui restent.

Il faut donc, lorsque les valeurs de ramification de la surface T ne satisfont pas à des équations de condition particulières, que l'on ait

P -+- 1 — l^^V- — l ou ,'JL^v/> + 1-

Le nombre des constantes arbitraires que renferme une fonctions, qui ne devient infinie du premier ordre que pour m points de la surface T et reste continue partout ailleurs, est dans tous les cas égal à im — p -f- i .

Une telle fonction est la racine d'une équation de degré n dont les coefficients sont des fonctions entières de z de degré ni.

Soient 5|, s-,, ..., sn les n valeurs de la fonctions pour la même valeur de z et désignons parcs" une grandeur quelconque ; alors (a* — st) (a1 — s2). . .(d — sfl) est une fonction uniforme de z qui ne devient infinie qu'en un point du plan des z qui coïncide avec un point e, et l'ordre de cet infini sera égal au nombre des points s qui s'y réunissent.

En effet, en un point s qui n'est pas un point de ramification, un seul des facteurs du produit est infini du premier ordre 5 pour un point s, autour duquel la surface tourne sur elle-même jjl. fois,

il V a a facteurs infinis, chacun d'eux étant infini d'ordre -• Si l'on

désigne maintenant les valeurs de z en ces points s, où z n'est pas infini, par Ç, , Ç2, . . ., Çv, et le produit (z — Çt) (z — Ç2) ••• {-• — Cv) par «0, alors a0(J — 5i)(3' — s-) ■ ■ • (^ — s«) est une fonction uniforme de z qui est finie pour toutes les valeurs finies de .z, et qui, pour z = co, devient infinie d'ordre m ; c'est, par conséquent, une fonction entière de z du mieme degré. C'est également une fonction entière de <f du /ilème degré qui s'évanouit pour d = s. Désignonsla par F et désignons, comme nous le ferons dans ce qui suit, par

THÉORIE l>rs FONCTIONS ABÉLIENNKS. T 1 —

ne fonction entière F de degré n en i et de degré m

il m

en z ; alors s est racine d'une équation F(s, z) = o.

La fonction F est une puissance d'une fonction irréductible, c'est-à-dire qui ne peut se décomposer en un produit de fonctions entières de i et de s. En effet, tout facteur rationnel entier de F(rf3 s), puisqu'il doit s'évanouir pour certaines d'entre les racines S|,Sa sn. représente pour rf=s une fonction de z qui

doit s'évanouir en une portion de la surface T et qui, par suite, cetie surface étant connexe, doil être nulle sur toute celte surface. Mais deux facteurs irréductibles de F (s1, z) ne pourraient s'évanouir simultanément pour un nombre fini de couples de valeurs, que si l'un d'eux ne pouvait être obtenu en multipliant l'autre par une constante. Par suite, F est nécessairement puissance dune fonction irréductible.

Lorsque l'exposant v de celte puissance est > i, le mode de ramification de la fonction s n'est pas représenté par la surface T,

mais par une surface t recouvrant partout - fois le plan des z, et

recouverte elle-même partout v fois par la surface T. On peut alors considérer s, il est vrai, comme une fonction ramifiée comme lest la surface T, mais l'on ne peut pas réciproquement dire que T est ramifiée comme l'est s.

Une fonction pareille à s, discontinue seulement en certains

points de T, est représentée aussi par -^T- En effet, cette fonction

reprend la même valeur sur les deux bords des sections trans verses et des lignes /, puisque la différence des deux valeurs que possède co sur ces coupures est constante le long des lignes. Elle peut être infinie seulement en les points où l'est w et en les points de ramification de la surface, et partout ailleurs elle est continue, puisque la dérivée d'une fonction uniforme et finie est également uniforme et finie.

Toutes les fonctions <o sont donc des fonctions algébriques de z, ramifiées comme la surface T, ou sont des intégrales de telles fonctions. Ce système de fonctions est déterminé lorsque la surface T est donnée, et ne dépend que de la position de ses points de ramification.

§ VI

Supposons maintenant'que l'on donne l'équation irréductible

et que l'on demande de déterminer le mode de ramification de la fonction s ou de la surface T qui la représente. Lorsque, pour une valeur [3 de z, ^ branches de la fonction se rattachent ensemble de telle sorte qu'une de ces branches, après u. circuits autour de [3, se reproduise, ces p. brandies de la fonction (comme c'est facile à démontrer d'après Cauchy ou à l'aide de la série de Fourier) peuvent être représentées par une série procédant suivant des puissances ascendantes rationnelles de z — [3, dont les exposants ont pour plus petit dénominateur commun u., et réciproquement.

Un point de la surface T, où se rattachent ensemble seulement deux branches d'une fonction de telle sorte qu'autour de ce point la première branche se prolonge en la seconde et la seconde en la première, je le nommerai un point de ramification simple.

Un point d'une surface autour duquel celle-ci tourne sur ellemême (ix -f- 1) fois, peut alors être regardé comme formant \j. points de ramification simples coïncidents (ou infiniment voisins).

Pour le démontrer, soient, sur une portion du plan des z contenant ce point, si} s2, • • -i s\>.+\ des branches uniformes de la fonction s, et soient ai: a-2, ..., a{)< des points de ramification simples situés sur le contour de cette portion et se suivant en cet ordre dans le sens positif de l'encadrement. Supposons qu'un circuit décrit dans le sens positif autour de aK permute s, et s2, qu'un circuit décrit dans le même sens autour de a2 permute st ets3, ..., enfin qu'un circuit décrit dans le même sens autour de a^ permutes, et5|j.+|. Alors, après un circuit positif autour d'un domaine contenant tous ces points (et nul autre point de ramification),

sont remplacés par

*2> s3i • ■ • ) 5|JH-1> *l!

et, par >uik*. lorsqu'il- coïncident, c'est un point de ramification d'ordre ul qui prend naissance.

Lés propriétés des fonctions <•> dépendent essentiellement de l'ordre de connexion de la surfaceT. Pour le trouver, proposonsnous d'abord la détermination du nombre des points de ramification simples de la fonction s.

En un point de ramification les branches de la fonction qui se rattachent ensemble ont la même valeur et, par conséquent, deux ou plusieurs racines de l'équation

F 1 s ) = <i„ s ' -at sn - ' -. . .-+- an = o

deviennent égales. Cela peut seulement avoir lieu lorsque

F'i s 1 — a0nsn - ' — a{ i n — [) s"-2 -h ...— «„,,

ou la fonction uniforme de s,

I ft I , . . . 1

s'évanouit. Celte fonction ne devient infinie, pourdes valeurs finies I ue lorsque s = x, cl par conséquent lorsque a0 = o, et elle doit pour rester finie être multipliée par «""". C'est alors une fonction uniforme de z, qui reste finie pour toute valeur finie de s, et qui, pour s = oo, devient infinie d'ordre 9.m(n — 1) et c'est, par conséquent, une fonction entière de degré im(n — 1). Les valeurs de s, pour lesquelles F' (s) et F(s) s'évanouissent simultanément, sont donc les racines de l'équation, de degré 2 /??(/? — 1),

Q(^ = «r2 JXF'(") = °>

ou encore, puisque F'(s/) = a0 1 F (s,- — s/), [«<«'], de l'équa-

que l'on peut former en éliminant s entre

F' (s) = o et F (s) = o.

Si F (s, z) = o pour s = a, z = j3, on a

dss

d2 F rJ2 F

O* 0.2 ' 7 ds2

Par conséquent si, pour s = a, 2 = (3, on a

et, si alors -7— > -t-j ne s évanouissent pas, 5 — a est infiniment petit,

comme l'est (3 — jS)2, et, par conséquent, il se présente un poinl

de ramification simple. Dans le produit I I F'(s/) deux facteurs

également seront infiniment petits, comme l'est (z — [3)2, et Q(.z) a

donc (z — 3) pour facteur. Dans le cas où — - et — - ne s'éva-

v ' ' l oz as2

nouissent jamais lorsque F et — sont simultanément nuls, à chaque

facteur linéaire de Q(c) correspond alors ///? point de ramification simple et le nombre de ces points est, par conséquent,

= im{n — 1 ) .

La position des points de ramification dépend des coefficients des puissances de z dans les fonctions a et varie avec eux d'une manière continue.

Lorsque ces coefficients prennent des valeurs telles que deux points de ramification simples, appartenant au même couple de branches, coïncident, ces points se détruisent et deux racines de F(s) = o deviennent égales entre elles, sans qu'un point de ramification prenne naissance.

Si, autour de chacun de ces points, S\ se prolonge en s-, et s2 en 5(, alors, par l'effet d'un circuit autour d'une portion du plan des 3 renfermant les deux points, 5, s'échange en s{ eis2 en s2, et lors de la réunion des deux points les deux branches seront uni-

formes. Par conséquent, leur dérivée y est alors uniforme et finie

et, par suite, on aura

dF ds dF dz dz ds

Si F = — = - = o pour s = a, s = S, alors les trois termes

,iz l '

suivants du développement de F(s, s) fournissent deux valeurs

pour

s — a ds -,

Si ces valeurs sont inégales et finies, les deux branches de la fonction 5, auxquelles elles appartiennent, ne peuvent s'y réunir ni par

conséquent s'y ramifier. Alors — devient pour les deux branches

infiniment petite comme Test z — [3, et Q(z) aura pour facteur (; — j3)2; par conséquent seulement deux points de ramifications simples coïncident.

Dans chaque cas, où, pour z = (i, plusieurs racines de l'équation F (s) = o deviennent égales à a, pour distinguer combien de points de ramifications simples coïncident pour (s = a, z = (3), et combien d'entre ceux-ci se détruisent, l'on devra développer ces racines [d'après le procédé de Lagrange ( ' )], suivant les puissances ascendantes de z — ,3, jusqu'à ce que ces développements soient tous différents, et l'on obtiendra ainsi toutes les ramifications ayant encore une existence effective. On doit ensuite chercher de quel ordre F'(s) devient infiniment petite pour chacune de ces racines, afin de déterminer le nombre des facteurs linéaires correspondants de Q(.s), c'est-à-dire le nombre des points de ramifications simples coïncidents pour s = a, z = (3.

Si l'on désigne par p le nombre indiquant combien de fois la surface T tourne sur elle-même autour du point (s, s), F' (s) sera

au point (z) infiniment petite du premier ordre autant de fois qu'il

i s'y trouve de points de ramifications simples coïncidents, dz P

( ' ) Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries. {Mémoires de l'Académie de Berlin, XXIV; 1780. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 5.) - (YVeber.)

le sera autant de fois qu'il s'y présente de points de ramifications

simples effectifs, et, par suite, F'(s)dz? le sera autant de fois que parmi les points de ramification il y en a qui se détruisent. Désignons par w le nombre des ramifications simples effectives, et par ir le nombre de celles qui se détruisent, on a

Si l'on suppose que les points de ramifications coïncident seulement par paires et en se détruisant, on aura, pour r paires de valeurs (s = yp, z = 8p),

ÔF ÔF

Os oz

dz* lis* dsdz <0'

et, pour w paires de valeurs de s el z, l'on aura

Tz <"'

dF > d*F

Nous nous en tiendrons, en général, à la considération de ce dernier cas, car l'on peut aisément en étendre les résultats aux autres, regardés comme cas limites; et nous pouvons le faire d'autant mieux que nous avons fait reposer la théorie de ces fonctions sur des principes indépendants de leur forme d'expression et qui ne sont soumis à aucune exception.

Maintenant, relativement à une surface simplement connexe recouvrant une portion finie du plan des z, la relation suivante a lieu entre le nombre des points de ramification simples et le nombre des circuits formés par le parcours de son contour d'encadrement : ce dernier nombre est d'une unité supérieur au premier;

rHÉORIE DES FONCTIONS ABÉLÏENNBS. 1^3

à l'aide démette relation l'on peut en tirer une autre, relativement à une surface multiplement connexe, entre ces nombres et le nombre île sections transverses qui décomposent celle surface en une surface simplement connexe.

Cette relation, indépendante au fond de toute relation métrique et qui se rapportée Vanalysis situ*, peut se déduire pour la surface T comme il suit.

En vertu du principe de Dirichlet, sur la surface simplement connexe T . la fonction de s, logÇ peut être déterminée de telle sorte que Ç en un point quelconque à Tint' rieur de cette surface soit infiniment petit du premier ordre, et que logÇ, le long' d une ligne quelconque ne se coupant pas elle-même et allant de ce point rejoindre le contour, soit plus grand de — 27:;' sur le côté positif de cette ligne que sur le côté négatif, et soit partout ailleurs continu et le long du contour de T' imaginaire pure. Alors la fonction Ç prend une luis chaque valeur dont le module est << 1 . La totalité de ses valeurs sera donc représentée par une surface recouvrant une fois un cercle sur le plan des ^. A tout point de T' correspond donc un point du cercle et réciproquement. Par conséquent, en un point quelconque de la surface où z- = z', 'C = "C', la fonction "C — X' est infiniment petite du premier ordre et, par conséquent, en ce point, lorsque la surface T' tourne sur elle-même y. + 1 fois autour de ce point, pour z' fini,

reste fini, mais, pour z' infini, c'est

qui reste fini. L'intégrale

1 dz d\o%Tt.

prise dans le sens positif autour du contour total du cercle, est

dz dî

égale à la somme des intégrales prises autour des points où 3- est

infini ou nul, et, par suite, est égale à ir.i(w — in).

Désignons par s une portion du contour de T', allant d'un seul

I?4 PREMIÈRE PAKT1E. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANX.

et même point déterminé de ce contour jusqu'en un point variable de ce même contour, et par o- la portion correspondante sur le contour du cercle; on aura

, dz , dz . ds , dZ pour les intégrales étendues à tout le contour on aura

— / d io£ -r- = — 2-1, J ° dz

et, par conséquent,

J rf.oS

On a donc alors Or, comme on a, par suite,

W — 2ft = 9.(/) — i).

p = (n — i)(to — i) — /•. [2].

§ VIII

L'expression générale des fonctions s' de z: ramifiées comme la surfaceT,qui, pour m' points quelconques donnés deT, deviennent infinies du premier ordre et qui partout ailleurs restent continues, contient, d'après ce qui précède, m' — p -\- i constantes arbitraires et en est une fonction linéaire (§ V). Par conséquent, si on peut, comme on le démontrera tout à l'heure, former des expressions rationnelles en s et z, qui deviennent infinies du premier ordre pour m' paires de valeurs de s et z quelconques données, salisfaisant à l'équation F = o, et qui sont des fonctions linéaires de m' — p -h i constantes arbitraires, alors toute fonction s' peut être représentée par ces expressions.

Pour que le quotient de deux fonctions entières y(s,z) et 'l(s, z) puisse prendre, pour s = ce et ^=co, des valeurs quelconques finies, les deux fonctions doivent être de même degré.

Désignons donc l'expression, par laquelle s' doit être repré-

sentée, parT \' , et soient en outre vi« — i , u.2: m — i .Lorsque

y l s, 3 | tleux branches de la fonction s deviennent égales sans se prolonger l'une dans l'autre, et lorsque l'on a, par conséquent, en deux points distincts de la surface T, ; = y, s = 8, .s7, en général, prendra des valeurs différentes en ces deux points; pour que l'on ait partout 'l — s'y = o, on doit donc avoir, pour deux valeurs différentes de s',

«j;(Y, 0) — «'/(y, o) = o, et, par suite,

X(y>8) = ° ot (!'(Y1o) = o-

Par conséquent, les fonctions y et à s'évanouissent pour les /• couples de valeurs (s = y?, z = op) [p. 120] ( ■ ).

La fonction y s'évanouit, pour une valeur de s, pour laquelle la fonction uniforme de : et finie pour ; fini,

K(z) = aj 7(51) /(*,) . . . /(*„),

est égale à zéro; cette fonction, pour z infini, devient infinie d'ordre mv + «a; c'est, par conséquent, une fonction entière de degré mv -h « [*-.

Puisque, pour les couples de valeurs (y, 0), deux facteurs du

produit I |'/(s/) deviennent infiniment petits du premier ordre,

et que, par conséquent, K.(.s) devient infiniment petit du second ordre, alors y sera en outre infiniment petit du premier ordre pour

1 = mi — n 'j. — •>. /•

couples de valeurs de s et z, c'est-à-dire de points sur T.

(l) Ici, comme il a été indiqué précédemment, l'on ne s'occupe que du cas où les points de ramification de la fonction s coïncident seulement par paires en se détruisant. En général, les fonctions y et ù, en un point de T, où coïncident, conformément au § 6, des points de ramification qui se détruisent lorsque T tourne p fois autour de ce point, doivent devenir infiniment petites comme l'est

F' (s) dz? , afin que les premiers termes du développement suivant les puis-

sances entières de ( A^;)? de la fonction à représenter puissent prendre des valeurs quelconques. — (Riemann.)

Si v >* n — i , \x >> m — i , alors la valeur de la fonction y reste inaltérée lorsque l'on remplace

où o est quelconque; par conséquent, parmi les coefficients de cette expression, il y en a

( v — n -+- 1) ( fi — m -+- 1 )

qui peuvent être pris arbitrairement. Maintenant, si parmi les

(fx + i) (v + i) — (v — /h-i)({jl — m-hi)

qui restent, on en détermine r comme fonctions linéaires des autres, en sorte que y s'évanouit pour les r couples de valeurs (y, o), alors la fonction y renferme encore

s = ( fJL H- i) (v -H i) — ( v — n -+- i ) ( [i. — m-k-i) — r

constantes arbitraires. On a, par conséquent,

i — s = ( ii ■ — i ) ( m — i ) — r — i = p — i .

Maintenant, si l'on choisit y. et v tels que l'on ail e >> m', l'on peut déterminer 7 de telle sorte que, pour m! couples de valeurs quelconques donnés, celte fonction devienne infiniment petite du premier ordre, et alors, lorsque m'^>p, l'on peut disposer de d/,

de façon que - reste finie pour toutes les autres valeurs res-

tantes.

En effet, ty est également une fonction linéaire homogène de s constantes arbitraires, et, par conséquent, on peut, lorsque £ — i-\- m'l> 1, déterminer i — m! d'entre elles comme fonctions linéaires de celles qui restent, en sorte que <]; s'évanouit également pour les i — m' couples de valeurs de s et z pour lesquels y est encore infiniment petit du premier ordre. La fonction à renferme donc

THÉORIE DES PONCTIONS ABÉLIENNES. 127

constantes arbitraires, el, par conséquent,- peut représenter toute fonction s'.