IX

Comme les fonctions -j- sont des fonctions algébriques de ^ ramifiées comme l'est s, elles peuvent, en vertu de la proposition qui vient d'être démontrée, s'exprimer rationnellement en s et z, et toutes les fonctions u peuvent être représentées comme intégrales de fonctions rationnelles de s et s.

Si l'on désigne par tv> une fonction w qui est partout finie,

sera infinie du premier ordre en chaque point de ramification

simple de la surface T, puisque dw el | dz)2 y sont infiniment

petits du premier ordre, mais partout ailleurs elle reste continue, et, pour ^ = oc, elle est infiniment petite du second ordre. Réciproquement, l'intégrale d'une fonction qui se comporte ainsi demeure partout finie.

Pour exprimer cette fonction —z- comme quotient de deux fonctions entières de s et r. l'on doit (d'après le § VII), prendre pour dénominateur une fonction qui s'évanouit en les points de ramifications et pour les /• couples de valeurs (y, S). On remplira cette condition de la manière la plus simple en prenant une fonclion qui s'annule pour ces seules valeurs et

-— = a0«j"-' + a,(n — i ) s"-'1 — . . . -+- a„-l os

est une telle fonction.

Cette fonction, pour s infini, devient infinie d'ordre (/i ■ — 2) (puisque a0 est alors infiniment petit du premier ordre), et, pour ; infini, elle devient infinie d'ordre m.

De plus, ~r~ devant, hormis en les points de ramification, rester fini, et, pour z infini, être infiniment petit du second ordre, le numérateur doit être, par conséquent, une fonction entière

n-l ro-2

F( s , s ), qui s'évanouit pour les r couples de valeurs (y, B) (p. .21).

On a donc

où cp = o pour s = yp, s = ôp, avec p = i , 2, . . . , /•.

La fonction o renferme (n — 1) (m — 1) coefficients constants, et lorsque r d'entre eux sont déterminés comme fonctions linéaires de ceux qui restent de telle sorte que cp = o pour les r couples de valeurs s = y, 5 = S, alors il en reste encore (m — i)(« — 1) — /•, c'est-à-dire /?, qui sont arbitraires et cp prend ainsi la forme

*i Çt -+- »2 'f , + • • • — */> 'f /»>

où les cp4, 22, . . ., op sont des fonctions cp particulières, dont aucune n'est une fonction linéaire de celles qui restent, et où a,, au, • • . , oip désignent des constantes quelconques.

Comme expression la plus générale de w, on obtient, comme il a été fait précédemment (') d'une autre manière,

ai w\ + a2 w%-+-.. • ••+- ap wp -+- const.

Les fonctions oj qui ne restent pas partout finies et, par conséquent, les intégrales de deuxième et de troisième espèces, peuvent s'exprimer, en vertu des mêmes principes, rationnellement en s et 3, mais nous ne nous arrêterons pas sur ce sujet, vu que les règles générales du paragraphe précédent n'ont besoin d'aucun éclaircissement ultérieur, et que, pour la considération de formes déterminées de ces intégrales, la théorie des fonctions 3 nous fournira la première occasion d'y revenir.

La fonction cp sera infiniment petite du premier ordre, outre pour les /• couples de valeurs [v, 0), encore pour

m ( a — 2 ) -+- n{ m — 2 ) — 2 /•, (') Voir le § IV. — (L. L.)

THÉORIE DBS FONCTIONS ABÉLIENNES. I ?Q

c'est-à-dire ^ /> — i) couples de valeurs de s et s, satisfaisant à

l'équation F = 0. Soient maintenant

— X i1 'fi — x'g1 1 Bj - . . . +- a^,1 Op

et

deux fonctions -.; quelconques; on peut alors dans l'expression 2 — déterminer d abord le dénominateur, de telle sorte qu'il soit nul pour p — 1 couples de valeurs de s et ; quelconques données satisfaisant à l'équation F=o,et ensuite le numérateur, de telle sorte qu'il s'évanouisse également pour p — 2 parmi les couples de valeurs restantes pour lesquelles tp ' J est égal à zéro. C'est alors une fonction linéaire de deux constantes arbitraires et, par conséquent, c'est l'expression générale d'une fonction qui ne devient infinie du premier ordre que pour p points de la surface T. L ne fonction qui devient infinie pour moins de p points forme un cas spécial de cette fonction. Par conséquent, toutes les fonctions qui deviennent infinies du premier ordre pour moins de p -f- 1 points de la surface T peuvent être représentées sous la forme ~~- ■ ou

sous la forme -, .,,» lorsque iv ' et w - sont deux intégrales partout finies de fonctions rationnelles de s et ~.

§ XI

Une fonction z{ de z, ramifiée comme T, qui devient infinie du premier ordre pour /?, points de celte surface est. en vertu de ce qui précède (p. 1 16). racine d'une équation de la forme

et, par suite, prend chaque valeur pour /?, points de la surface T. Par conséquent, lorsque l'on s'imagine chaque point de T représenté par un point d'un plan représentant géométriquement la valeur de z{ en ce point, la totalité de ces points forme une surfaceT, recouvrant partout nt fois le plan des zi} surface qui est, comme l'on sait, une représentation, semblable en les plus petites parties, R. 9

l3o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS PAR RIEMANN.

de la surface T. A chaque point d'une de ces surfaces correspond alors un point unique de l'autre. Les fonctions to, c'est-à-dire les intégrales de fonctions de Z, ramifiées comme l'est T, se transforment alors, lorsqu'au lieu de z, on introduit ;f comme grandeur variable indépendante, en fonctions qui sur la surface T, ont partout une valeur unique déterminée et ont mêmes discontinuités que les fonctions w aux points correspondants de T, et qui, par suite, sont des intégrales de fonctions de z{, ramifiées comme l'est T,.

Si l'on désigne par s, une autre fonction quelconque de z, ramifiée comme l'est T, qui, pour m, points de T et par suite aussi de T,, devient infinie du premier ordre, alors (§ V) entre s, et^t , a lieu une équation de la forme

Fj i si, zt) = o,

où F, est une puissance d'une fonction entière irréductible de s,, ;,, et l'on peut, lorsque cette puissance a pour exposant l'unité, exprimer rationnellement en s, et zt toutes les fonctions de z{ ramifiées comme l'est T,, et, par suite, toutes les fonctions rationnelles dé s et z (§ VIII).

L'équation F(s, s) = opeut donc, à l'aide d'une transformation

rationnelle, être transformée en F, (s,, z%) = o et vice versa.

Les domaines des grandeurs (s, z) et (s,, z,) ont donc même ordre de connexion, puisqu'à chaque point de l'un correspond un point unique de l'autre. Si l'on désigne donc par /•, le nombre des cas où sf et ^,, pour deux points différents du domaine des orandeurs (s,, z,), reprennent tous deux la même valeur, cas où, par suite, on a simultanément

el

ÛSi

''F, et —