OZ

Os'l ôz'l

~ \ds~Tdz

on doit avoir nécessairement

(ni— i)(mt — 1) — /-î =/» = (»■— i)(/n — 1)- r.

On considérera maintenant, comme faisant partie d'une même classe, toutes les équations algébriques irréductibles entre deux grandeurs variables, qui peinent être transformées les unes dans les autres par des substitutions rationnelles ; de la sorte

F ( s, z ) = o et F ! Si , Z\ = o

appartiennent à la même classe lorsque l'on peut remplacer s et ^ par des fonctions rationnelles de s, et z, , telles que F(s, z) = o se transforme en F,' s,, z,) = o, s, et zt étant également des fonctions rationnelles de s et ;.

Les fonctions rationnelles de s et z, considérées comme fonctions de l'une quelconque X d'entre elles, forment un système de fonctions algébriques à mêmes ramifications.

De cette manière, toute équation conduit évidemment à une classe de systèmes de fonctions algébriques à mêmes ramifications qui, par l'introduction d'une fonction du système comme grandeur variable indépendante, sont transformables les unes dans les autres, et cela en sorte que toutes les équations d'une classe conduisent à la même classe de systèmes de fonctions algébriques; et réciproquement (§ XI), toute classe de pareils systèmes conduit à une classe d'équations. Si le domaine des grandeurs (s, z) est <>/> — i) fois connexe et si la fonction "C devient infiniment petite du premier ordre en ;j. points de ce domaine, le nombre des valeurs de ramification des fonctions de Ç, à mêmes ramifications, qui sont formées par les autres fonctions rationnelles de s et z restantes, est égal à 2(|A+/?- — i), et le nombre des constantes arbitraires que renferme la fonction 'Ç est 2 u • — p — 1 (§ V). Ces constantes peuvent être déterminées de telle sorte que 2 |j. — p -j- 1 valeurs de ramification prennent des valeurs données, quand ces valeurs de ramification sont des fonctions indépendantes entre elles de ces constantes, et cela seulement d'un nombre fini de manières, puisque les équations de condition sont algébriques. En chaque classe de systèmes de fonctions à mêmes ramifications et {p.p-\-i)

l32 PREMIÈRE TARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

fois connexes il existe donc un nombre fini de systèmes de fonctions à pi valeurs, pour lesquels 2 p. — /j+i valeurs de ramification prennent des valeurs données. D'autre part, lorsque les 2/a)yj) — 1) points de ramification d'une surface (ip + 1) fois connexe, recouvrant partout tj. fois le plan des Ç, sont donnés arbitrairement, il existe toujours alors (§ II1-V) un système de fonctions algébriques de Ç, à mêmes ramifications que cette surface. Les 3/? — 3 valeurs de ramification restantes en ces systèmes de fonctions à mêmes ramifications et à jjl valeurs peuvent donc prendre des valeurs quelconques 5 par conséquent, une classe de systèmes de fonctions à mêmes ramifications et (2/?+ 1) fois connexes et la classe d'équations algébriques qui lui appartient, dépendent de 3p — 3 grandeurs variant dune manière continue, qui seront nommées les modales de la classe.

Celle détermination du nombre des modules d'une classe de fonctions algébriques ( ip -f- 1) fois connexes, esl valable seulement dans l'hypothèse faite qu'il y a 2 ;j. — p -\- 1 valeurs de ramification qui sont des fonctions, indépendantes entre elles, des constantes arbitraires que renferme la fonction Ç. Cette hypothèse ne se trouve juste que lorsque l'on a p >> 1 ; le nombre des modules est alors égal à dp — 3 ; mais, pour/? = 1 , ce nombre est égal à 1. La recherche directe de ce nombre est difficile à cause du mode suivant lequel les constantes arbitraires entrent en Ç. Pour déterminer le nombre des modules, on introduira, comme grandeur variable indépendante dans un système de fonctions (2« + ') fois connexes à mêmes ramifications, non une de ces fonctions mêmes, mais une intégrale partout finie d'une telle fonction. Les valeurs que prend la fonction w de z sur la surface T' seront représentées géométriquement par une surface recouvrant une ou plusieurs fois une partie finie du plan des w, surface que nous désignerons par S et qui est une représentation (semblable en les plus petites parties) de la surface T'. Comme la valeur de w sur le bord positif de la vunie section transverse surpasse de la constante additive kM la valeur qu'elle prend sur le bord négatif, le contour d'encadrement de S est formé de paires de courbes parallèles qui sont la représentation de la même portion du système de sections qui figurent l'encadrement deT', et la différence de situation des points correspondants sur les portions parallèles

THÉORIE DES FONCTIONS ABÊLIENNES. l33

de l'encadfcment de S, qui sont la représentation de la vième section transverse, sera exprimée par la grandeur complexe kiyK Le nombre des points de ramification simples de la surface S est j.p — a, puisque dwesï infiniment petit du second ordre en ip — 2 points de la surface T. Les fonctions rationnelles de s et ; sont alors des fonctions de <v qui, pour chaque point de S, ont une valeur unique variant d'une manière continue partout où elles ne deviennent pas infinies, et qui reprennent la même valeur aux points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement. Llles forment donc un système de fonctions de (V à mêmes ramifications et >/>-uplenient périodiques. Maintenant (par une voie analogue à celle du i; lll-\ ) on peut, les ip — 2 points de ramification et les ip différences de situation des portions parallèles d'encadrement de la surface S étant par hypothèse donnés arbitrairement, démontrer qu'il existe toujours un système de fonctions à mêmes ramifications <|ue cette surface, qui, aux points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement, reprennent la même valeur et sont, par conséquent, 2/j-uplement périodiques et qui, regardées comme fonctions de l'une d'entre elles, forment un système de fonctions algébriques (2/? 4-1) fois connex.es à mêmes ramifications et conduisent patsuite à une classe de fonctions algébriques (ip + 1) fois connexes. En effet, en vertu du principe de Dirichlet, une fonction de w est déterminée sur la surface S, à une eonstanteadditive près, par ces conditions : à l'intérieur de S elle admettra des discontinuités quelconques données de même forme que celles de w sur T', et aux points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement elle prendra des valeurs qui diffèrent de constantes dont la partie réelle est donnée. On conclut de cela, comme on l'a fait d'une manière analogue au § V, la possibilité d'existence de fonctions qui ne deviennent discontinues qu'en des points isolés de S et qui reprennent la même valeur en les points correspondants sur les portions parallèles d'encadrement. Si une telle fonction z est infinie du premier ordre en 11 points de S et n'est discontinue nulle part ailleurs, elle prend alors chaque valeur complexe en n points de S; en effet, a désignant une constante quelconque, l'intégrale / c/log(^ — «), prise autour de S, est nulle, les intégrales prises le long de parties parallèles de l'encadrement se détruisant,

l34 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

et z — a devient donc sur la surface S autant de fois infiniment petit du premier ordre qu'il y devient de fois infiniment grand du premier ordre. Les valeurs que prend z seront, par suite, représentées par une surface recouvrant partout « fois le plan des c, et les autres fonctions de w ramifiées de même et périodiques forment donc un système de fonctions algébriques de z, (ip + i) fois connexes, à mêmes ramifications que la surface, ce qu'il fallait démontrer.

Maintenant, étant donnée une classe quelconque de fonctions algébriques, (ip -+- i) fois connexes, l'on peut, clans la grandeur

w = aj wt -+- a2 w-2 -H • • . -H olp wp ~h c,

que l'on introduira comme variable indépendante, déterminer et les grandeurs a, de telle sorte que, parmi ip modules de périodicité, p d'entre eux prennent des valeurs données, et la constante c, lorsque p est >i, de telle sorte qu'une des ip — 2 valeurs de ramification des fonctions périodiques de tvait une valeur donnée. De cette manière w est complètement déterminé et, par conséquent, les 3p — 3 grandeurs restantes dont dépend le mode de ramification et la périodicité de ces fonctions de w le sont aussi ; et, puisqu'à des valeurs quelconques de ces 3p — 3 grandeurs correspond une classe de fonctions algébriques, [ip H-i) fois connexes, une telle classe dépend de ôp — 3 grandeurs variables indépendantes.

Lorsque p = 1 , il ne se présente pas de points de ramifications, et, dans l'expression

IV = «! Wj -|- C,

la grandeur a, peut être déterminée de telle sorte qu un des modules de périodicité prenne une valeur donnée, et l'autre module de périodicité est déterminé par cela même.

Le nombre des modules d'une classe est, par conséquent, dans ce cas ésral à 1 .

§ XIII

D'après les principes précédents de la transformation (dévelop - a § XI . pour transformer, par une substitution rationnelle, une équation quelconque donnée 1 s, z ^o en une équation

(Je la même classe et du degré le plus petit possible, on doit d'abord déterminer pour c, une expression r(s, s), rationnelle en s et ;. telle que /?, soit aussi petit que possible, puis déterminer également pour s, une autre expression rationnelle r'(s, z) de telle sorte que mt soit le plus petit possible et qu'en même temps les valeurs de £<, correspondant à une valeur quelconque de ^t. ne soient pas distribuées en groupes de valeurs égales entre elles,

de manière que F. s . : ue puisse être une puissance d'une fonction irréductible supérieure à la première.

Lorsque le domaine des grandeurs (s, s) est i >.p — î i fois connexe, la plus petite valeur que puisse prendre nK est, dune manière générale,

sf- (IV),

et le nombre des cas où s, ei :, prennent tous deux la même valeur pour deux points différents du domaine de grandeurs est égal à

i nx— i i (mt — î) — p.

Dans une classe d'équations algébriques entre deux grandeurs variables, lorsque les modules de la classe ne sont pas astreints à vérifier des équations de condition particulières, les équations du degré minimum ont, par conséquent, la forme suivante :

Pour p — i F s, z - o. /• = o.

Pour p = i Fi s, z ' = o, r = o,

p = i \j. — 3 F (s, z) = o, r = ( [jl

p = 2 [jl — 2 F(s, z ) = o, r — ( [ji — i) ( |jt — 3

Parmi les coefficients des puissances de s et z dans les fonctions entières F, l'on doit en déterminer /• comme fonctions linéaires

homogènes de ceux qui restent tels que -- et — - s évanouissent 8 l *■ as Oz

simultanément pour r couples de valeurs satisfaisant à l'équation F— o. Les fonctions rationnelles de s et s, considérées comme fonctions de l'une d'entre elles, représentent alors tous les systèmes de fonctions algébriques (ip + i) fois connexes.

§ XIV

Je ferai maintenant usage, d'après Jacobi (') (Journ.de Crelle, vol. 9, n° 32, § VIII), du théorème d'addition d'Abel pour l'intégration d'un système d'équations différentielles. Sur ce point, je m'en tiendrai à ce qui sera plus tard nécessaire dans le cours de cette étude.

Lorsque dans une intégrale w, partout finie, d'une fonction rationnelle de s et z on introduit comme grandeur variable indépendante une fonction rationnelle Ç de s et z, qui, pour ni couples de valeurs de s et z, devient infinie du premier ordre.

alors —r- est une fonction de £ à m déterminations. Si l'on dédz

signe les m valeurs de w pour le même Ç par w^ \ (v(21, . . . , iv^'"\

alors

dw^ dw -' d\x< ''"'

~d£~ + ~dÇ +- • -+ ~dÇ~

est une fonction uniforme de Ç dont l'intégrale reste partout finie, et, par conséquent, l'intégrale

d (w>ll) H- w™ •+-...+ «>('»>)

est aussi partout uniforme et finie et, par suite, égale à une constante. D'une manière analogue, on trouve que, w(,), io(-), ..., (o(m) désignant les valeurs, correspondant au même "£, dune inté-

(') Œuvres, t. II, p. i5. — (W. et D.;

VIU-ORIE DES FONCTIONS ABÉI.IENNES. 1 37

;rale quelconque u d'une fonction rationnelle de s el s, 1 intégrale

est déterminée, à une constante additive près, au moyen des discontinuités de o. el cela sous la forme d'une somme d'une fonction rationnelle de Ç el de logarithmes de fonctions rationnelles de ^ affectés de coefficients constants.

A l'aide de ce théorème, comme il le sera démontré bientôt, on peut intégrer, d'une manière générale ou omplète, les p équations différentielles simultanées entre les p + 1 couples de valeurs < , . - , . .: f/»+<» Zp+Ù 0<e s et z satisfaisant à l'équation F(s, ;i = o.

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