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Sî)

OÙ - : I . - p.

\ L'aide de ces équations différentielles, parmi les couples de grandeurs (Su, Sjt), /? d'entre eux sont complètement déterminés comme fonctions de l'un des couples qui reste, lorsque, pour une valeur quelconque de ce dernier, les valeurs des autres sont données.

Par conséquent, lorsque l'on détermine ces p -+- 1 couples de grandeurs comme fonctions d'une unique grandeur variable Ç, de telle sorte que, pour la même valeur zéro de cette grandeur, elles

prennent des valeurs initiales | s,. z\ . - s'\. -',' v". ( . z°+1)

quelconques données et satisfont aux. équations différentielles, on a ainsi par cela même intégré les équations différentielles d'une

manière générale. Maintenant la grandeur - peut toujours être

déterminée comme fonction uniforme et, par suite, rationnelle de (s,z), de telle sorte qu'elle soit infinie seulement, el cela seulement du premier ordre, pour la totalité ou une partie des (p-r-i) couples de valeurs (s,°, z?L), puisque, clans l'expression

les rapports des grandeurs a el [3 peuvent toujours être déter-

l38 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

minés en sorte que les modules de périodicité soient tous égaux à zéro. Alors, lorsqu'aucun des (3 n'est égal à zéro, les (p + i) branches des fonctions s et z de Ç, fonctions de Ç à mêmes ramifications et à p -4- i déterminations, (s, . z\), (.<?2, s2) ('Vf'' -^/>+i)^

qui, pour Ç= o, prennent les valeurs (Y,1, ;','), (.s!,1, z?2), ..., (.?",, £?,+ ,), satisfont aux équations différentielles à résoudre. Mais, lorsque parmi les grandeurs (3, certaines d'entre elles, par exemple les p H- 1 — m dernières, sont égales à zéro, alors les équations différentielles à résoudre sont satisfaites par les m branches des fonctions, à m déterminations s et z, de Ç, (s,, zK ), (s2,.52)ç, • • ., (s/m, £,„) qui, pour Ç = o, sont égales à (s", zj), (s!!, z[',). . . ., (s^, x?)',), et par des valeurs constantes des grandeurs sm+l, zm+i, ... ; sp+il zp+\, c'est-à-dire, par conséquent, par leurs valeurs initiales s° ,., Z°m... ... ; s°n, ., z" ,. Dans ce der-

nier cas, parmi les /> équations linéaires homogènes

entre les grandeurs -r=r-; — , /; + 1 — m d'entre elles sont une

àsp conséquence de celles qui restent. Cela fournit donc p + 1 — m équations de condition qui doivent, pour que ce cas se présente, avoir lieu entre les fonctions (s,, zt), (s2, £2), . . ., (\s/w, zm) et, par conséquent, aussi entre leurs valeurs initiales (s", s°), (*!!, s"), . . ., (smizm)'i Par sulte, comme on l'a déjà trouvé au § V, parmi celles-ci, im — p — 1 seulement peuvent être données arbitrairement.