XV
Désignons maintenant l'intégrale
on(s, z)dz
' const.,
dF(s,z)
ds prise à l'intérieur de la surface T, par wTC, et le module de pério-
THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 1 3a,
dicité de w •-.' relatif à la vlcme section transverse, par /,' ; de la
sorte les fonctions wt, \v2 wp du couple de grandeurs (5, 2),
lorsque le point [s, z) passe du bord négatif au bord positif de la yième section transverse, éprouvent simultanément un accroissement de /. ,v . /.., k(p . Pour abréger le langage, l'on dira qu'un
système de /> grandeurs (64, b2 bp) est congru à un autre
(au a» dp) relativement à ip systèmes, de modules conjugués, lorsqu'il peut être déduit de cet autre système par l'addition simultanée de modules conjugués (zusammengehôr'iger) à tous léments respectifs de ce système.
Ainsi, si le module de la -,n" grandeur dans le v""" système est k{£\ on dira que
bu bt bp) = l au "2 ap 1,
lorsque l'on a
V=îp
où tc = 1 , 2 />. /» 1 . /^j m.lp étant des nombres entiers.
Comme/? grandeurs quelconques, </,, <7o, . . ., ap peuvent toujours, et cela seulement d'une manière unique, être mises sous la forme
de telle sorte cjue les ip grandeurs \ soient réelles, et comme en faisant varier ces grandeurs ç de nombres entiers l'on obtient tous les systèmes congrus à ce système de grandeurs «,, a, . . ., ap et ceux-ci seulement, l'on obtient alors un système, et un seul, de chaque série de systèmes congrus, lorsque, dans ces expressions, l'on fait varier d'une manière continue chaque grandeur ç, en lui faisant prendre successivement toutes les valeurs depuis une grandeur quelconque jusqu'à une grandeur qui la surpasse de 1 , une de ces deux limites étant comprise dans l'intervalle.
Ceci posé, des équations différentielles précédentes ou des p équations
2 dwf=0 (71 = 1,2. ...,P),
l'on tire, par intégration,
[2<it> 2(t^' •■•' 2/^']
= (Ci, c2, . . -, cp),
où les C|, c2, ••••, cp sont des grandeurs constantes qui dépendent des valeurs (s11, z°).
Si l'on exprime Ç comme quotient y de deux fonctions entières
de s et z, les couples de grandeurs (a,, ^1), . . ., (s,w, 5OT) sont les racines communes des équations
F = o et £ = Ç.
Puisque la fonction entière
s'évanouit pour tous les couples de valeurs pour lesquels y et '} s'évanouissent simultanément, quel que soit Ç, alors les couples de
grandeurs (s, , s,) (sm,zm) peuvent être aussi définis comme des
racines communes à l'équation F — o et à une équationy(5,^) = o, dont les coefficients varient de telle sorte que toutes les autres racines communes demeurent constantes. Lorsque l'on a
£ peut être représenté (§ X) sous la forme
et y sous la forme
cpd)
Les valeurs les plus générales des couples de fonctions (sl,zi). (sp, zp), satisfaisant aux p équations
dw(W
THÉORIE DKS FONCTIONS ABÉLIENNBS. 141
seront donc TOrmées par /> racines communes aux équations F = o el - o, qui varient de telle sorte que les autres racines communes qui restent demeurent constantes. D'où l'on conclut aisément une proposition qui sera nécessaire dans la suite, proposition énonçant que le problème de la détermination de (p — i) d'entre les i >.p — 2) couples «le grandeurs
( Si , z 1 ) , . . . ,
comme fonctions des \p — 1) qui restent, de manière que les p équations
\ div£* = O (- = 1,2. ..../<>
soient satisfaites, esl résolu d'une manière absolument générale quand, pour ces >.p — 2 couples de valeurs, l'on choisit les racines communes aux deux équations F = o, cp = o, qui sonl différentes des /• racines s = yp, 3 = op § VI), c'est-à-dire les zp — 2 couples de valeurs pour lesquels dw devient infiniment petit du second ordre; de la sorte le problème n'admet qu'une solution unique De pareils couples de grandeur.» sonl dits associés par l'entremise de l'équation ta = o. Comme conséquence des équations
le système
[2/.-2 îp-ï 2p-2 -1
les sommes s'étendant aux couples de grandeurs (associés), esl
congru à un système
(Ci, c, cp)
de grandeurs constantes, où c- dépend seulement de la constante additi\e dans la fonction w%, c'est-à-dire de la valeur initiale de l'intégrale exprimant cette fonction.
