SECTION II

§ XVII

Pour l'étude ultérieure des intégrales de fonctions algébriques (ip -\- i) fois connexes, il sera d'une grande utilité de considérer une série S/?-uplement infinie, c'est-à-dire une série /O-uplement infinie où le logarithme du terme général est une fonction entière du second degré des indices. Dans cette fonction, pour un terme dont les indices sont m(, m2, ■ . -, mpi nous désignerons le coefficient du carré m^ par <7|j„u, celui du double produit m^m^r par ou, u' = a[>-\\>-> celui du double de la grandeur m^ par ç^, et le terme constant sera pris égal à zéro. La somme de la série, étendue à toutes les valeurs entières positives ou négatives des grandeurs m, sera regardée comme une fonction des p grandeurs e, et nous la désignerons par S(r(, c2, .... vp), de sorte que l'on a

(i) 2r(«>i, ei »p)=[ 2à )

où les sommations dans l'exposant se rapportent à jj. et ja', et celles du signe extérieur à /;?,, m2, . .., mp. Pour que cette série

f '' \ 2 soit convergente, la partie réelle de ( ^ ) aw ■ m^m^j doit être

v i • essentiellement négative, c'est-à-dire que, représentée comme une

somme de carrés positifs ou négatifs de fonctions réelles linéaires indépendantes entre elles des grandeurs m, elle doit être composée de p carrés négatifs.

La fonction 3 jouit de cette propriété qu'il existe des systèmes d'accroissements simultanés des valeurs des p grandeurs c, pour lesquels logEr ne varie que d'une fonction linéaire des grandeurs p, et le nombre de ces systèmes indépendants entre eux (c'est-à-dire aucun d'eux n'étant une conséquence des autres)

est ip. En gffet, en négligeant d'écrire sous le signe fonctionnel 3 les grandeurs c, qui n'éprouvent pas de changement de valeur, l'on a, pour u. = i, 2, ...,/>,

(2) & = 3r(fj1-t-irt) et

(3) 2r = e2lV+<V;*2ri e, — a^, r2-î- «2.:J., i<,,+ aPj[l),

comme cela se voit de suite, lorsque clans la série .3? l'on change l'indice m^ en m^-j- 1, opération qui, sans en altérer la valeur, lui fait prendre la forme dans le second membre de (3).

La fonction 3 est déterminée, à un facteur constant près, et par ces relations, et par la propriété dont elle jouit de rester partout finie. En effet, par suite de cette dernière propriété et des relations (2), c'est une fonction de e'2i'>, e-'~-, . . ., e-vp uniforme et finie pour les v finis, et, par conséquent, c'est une fonction développante en une série /7-uplement infinie de la forme

•■»//( I . III -, ..., ntn 6

à coefficients constants A. Mais des relations (3) l'on tire

L/«, ni-,-\- 1 . ..., m., — '* m, m., in„ &

■ a„ vmVL+av v

et, par suite,

On peut donc employer ces propriétés de la fonction pour la définir. Les systèmes des accroissements simultanés des valeurs des grandeurs p, par l'effet desquels log.v ne varie que d'une fonction linéaire, seront dits systèmes des modules de périodicité conjugués des grandeurs variables indépendantes dans cette fonction Xj.

l4+ PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS PAR R1EMANN.

§ XVIII

Je substituerai maintenant aux/) grandeurs c,, v->, ..., vp, p intégrales ui: u2, •••, Up, restant toujours finies, de fonctions rationnelles d'une grandeur variable z et d'une fonction algébrique s, (2p + i) fois connexe, de celle grandeur z, et aux modules de périodicité conjugués des grandeurs v je substituerai des modules de périodicité conjugués (c'est-à-dire qui sont relatifs à la même seclion transverse) de ces intégrales, de telle sorte qu'ainsi log£? est transformé en une fonction d'une variable unique z qui varie d'une fonction linéaire des grandeurs u lorsque s et z reprennent la même valeur après une variation continue de z.

Il s'agit d'abord de démontrer qu'une telle substitution est possible pour toute fonction s de z-, (2/9 + 1) fois connexe. A cet effet, la décomposition de la surface T doit être pratiquée à l'aide de 2/» sections aK , a2, • • • , ap, bt , è2, . . . , bp revenant sur ellesmêmes de manière à remplir les conditions suivantes :

Lorsque l'on choisit //,, u2, ••-, up, de façon que le module de périodicité de u^, relatif à la section a^, soit égal à ici, et que, relativement aux autres sections a, les modules de périodicité de uv, soient nuls, alors, le module de périodicité de u^, relatif à la section byj, étant désigné par a^„, l'on devra avoir

et la partie réelle de

CTfJL,V — *V,Jll

^ «U., U.'"'jJ./»(J.'