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devra être négative pour toutes les valeurs réelles (enlières)des/? grandeurs /».
§ XIX
La décomposition de la surface T ne sera pas pratiquée, comme on l'a fait jusqu'ici, à l'aide seule de sections transverses revenant sur elles-mêmes, mais de la manière suivante. On pratiquera d'abord une coupure aK revenant sur elle-même et ne morcelant pas
la surface, yuiis on découpera une section transverse bti partant du bord positif de a, el rejoignant au point de dépari le bord négatif de cette même coupure, ce <[ui tonne un contour d'encadrement d'une seule pièce. Ensuite, Ton pourra pratiquer une - m.' section transverse (lorsque la surface n esl pas encore rendue simplement connexe (, partant d'un point quelconque de ce contour pour rejoindre un autre point quelconque du contour d'encadrement, point qui, par conséquent, peut être aussi situé sur le parcours antérieur de cette section transverse. On adoptera ce dernier mode d'opération; de la sorte cette section transverse est formée par une ligne a2 l('N enant sur elle-même et par une portion Ci, parcourue avant cette ligne et la rattachant au système de sections précédent. La section Iransverse suivante /> sera menée depuis le Lord positif de a, jusqu'au point de départ sur le bord
lif, el le contour d'encadrement formé jusqu'ici est encore d'une seule pièce.
La décomposition ultérieure, lorsqu'elle est nécessaire, sera de nouveau encore tonnée par deux -celions a3 et />,.. issues des mêmes points et y aboutissant, et par une ligne de rattachement c», réunissant le système de lignes a2 et 62 à ces lignes c., h.. Si l'on continue ce procédé d'opérations jusqu'à ce que la surface devienne simplement connexe, l'on obtient un réseau de sections formé par/? paires de deux lignes, a{ et b{ . a2 et b2 dp
et bp, commençant et finissant respectivement en un même point,
et parp — i lignes Ci, c2 c p-\ qui rattachent chaque paire à
la suivante. La ligne de rattachement cv pourra être menée d'un point de b-, à un point de #v+1 . Le réseau de sections sera alors regardé comme pratiqué ainsi : la (av — i)k'""' section transverse sera formée par la combinaison de la ligne cv, et de la ligne eu,, partant de l'extrémité de cv i pour y revenir, et la 2vieme section transverse sera formée par la ligne 6V, partant du bord positif de av pour revenir en av sur le bord négatif. Le contour d'encadrement de la surface est ainsi, après un nombre pair de sections. formé d'une seule pièce; après un nombre impair de sections, il est formé de deux pièces.
Ine intégrale tv, partout finie, d'une fonction rationnelle de s et z reprend alors la même valeur sur les deux bords d'une ligner. En effet, tout l'encadrement antérieur esl formé à' une seule pièce.
l46 PREMIÈRE PARTIE. — .MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
et, dans l'intégration prise le long de celui-ci et partant d'un bord de la ligne c pour revenir en l'autre bord, l'intégrale / dw est prise, relativement à chaque élément de section pratiquée précédemment, deux fois et en sens contraires. Une telle fonction est donc partout continue sur la surface T, hormis en les lignes a et b. La surface T décomposée ainsi par toutes ces lignes nous la désignerons par T".
