XXII

Dans la série 3f[l i), § XVII] remplaçons maintenant tf^' par Je module de périodicité de la fonction u,x relativement à la coupure £y, et en désignant par e,, e.2, ... , ep des constantes quelconques, remplaçons r^ par u^ — e^; on obtient alors une fonction de z déterminée et uniforme en tout point de T,

&(«!— elt u-2 — <?2, • ■ • up — ei>), qui, sauf en les lignes 6, est continue et finie et qui, sur le bord

THÉORIE DBS FONCTIONS kBÉLIBNNES. I49

positif de IMigne 6V, esl (e-2(Kv~e»,)-fois plus grande qu'elle ne Test sur le bord négatif, lorsque l'on attribue aux fonctions u sur les lignes b elles-mêmes la moyenne des valeurs qu'elles prennent sur l< > deux bords. Le nombre de points de T\ c'est-a-dire le nombre de paires de valeurs de s el c pour lesquelles cette (onction de\ ienl infiniment petite du premierordre, peul être déterminé parla considération de l'intégrale / rflogSr, prise) positivement autour du contour de T'. En effçt, cette intégrale esl égale au nombre des points en question multiplié par i~i. D'autre part, cette intégrale gale à la somme des intégrales / (û?log3 — ûHogEî )relatives à toutes les lignes de sections, belc. Les intégrales relatives aux lignes a et c sont égales à o, mais l'intégrale relative à />., est égale à — 2 / duy= •>-/, et, par conséquent, la somme de toutes les intégrales est égale à pir.i. La fonction 2? sera donc infiniment petite du premier ordre sur la surface T' en p points que l'on pourra désigner par r,,, r. . . . l\p.

{ ii circuit positif, décrit par le point (s, s) autour d'un de ces points, augmente lo^.:; de ?.-i\ mais le long de la paire de seclions a,, h-, de — 2-/: par conséquent, pour déterminer la fonction log3r d'une manière partout uniforme, on pratiquera, à partir de chacun de ces points 7. une section à travers l'intérieur de la surface, aboutissant chaque fois à une des paires de lignes, la section /v partant de 7)v se rapportant à «v et b.,, et cela en la faisant aboutir à l'origine commune de ces lignes, et la fonction sera déterminée comme étant partout continue sur la surface T* formée de la sorte. Elle est alors sur le bord positif des lignes / plus grande de — 2wt, sur le bord positif de la ligne ay plus grande de g^i-i. et sur le bord positif de la ligne &., plus grande de — 2(wv — ev) — hv2Tzi, qu'elle ne Test sur les bords négatifs desdites lignes, gy et Av désignant des nombres entiers.

La position des points r, et les valeurs des nombres g et h dépendent des grandeurs e, et cette dépendance peut être déterminée comme il suit avec plus de précision. L'intégrale / log.3? c///.,, prise positivement autour de T* est = o, puisque la fonction Iog3 reste continue surT*. Mais cette intégrale est égale à la somme des intégrales /(logS+ — logS>") du^, relatives à toutes les lignes de section /, a. b et c, et Ion trouve, en désignant la valeur

de itp, an point rlV par a^1, cfu'elle est égale à

hp—i-T- 2, ^v^v.fj. — e!l~i~ K\L

expression où k^ est indépendant des grandeurs e, g: h et de la position des points r\. Cette expression est donc égale à zéro.

La grandeur k^ dépend du choix de la fonction u^, qui est déterminée seulement, à une constante additive près, par la condition à laquelle elle est soumise d'admettre relativement à la section a» le module de périodicité tzi et relativement aux sections a restantes le module de périodicité zéro. Si l'on prend pour uv. une fonction qui la surpasse d'une constante c^ et, si l'on augmente en même temps e^ de c^, la fonction S reste invariable et, par suite, les points r\ elles grandeurs g, h restent inaltérés, mais la valeur de u^ au point riv deviendra a^'+Cj,,; par conséquent, />'y. est transformé en A\,- — (p — i)^ et s'évanouit si l'on prend

On peut donc, par suite, comme nous le ferons ultérieurement, déterminer les constantes additives dans les fonctions u ou les valeurs initiales dans les intégrales qui les expriment, de telle sorte qu'en substituant u^ — Saj^' à v^ dans log2r(c,, c2 vp) l'on obtienne une fonction qui devient logarithmiquement infinie aux points 7) et qui, prolongée d'une manière continue sur T*, soit sur les bords positifs des lignes / plus grande de — 2itï, sur ceux des lignes a plus grande de o, et sur le bord négatif de la ligne &v

plus grande de — al uv — 2, avW )' quelle ne l'est sur les bords

négatifs de ces lignes respectives.

Pour déterminer ces valeurs initiales, on emploiera plus loin des moyens plus faciles que ceux donnés par l'expression de A^ par des intégrales.

THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. IJI

§ XXIII

Si l'on ] -

(«l.O, Up) a, .ai' y.

relativement aux >p systèmes * 1 < • modules des fonctions // (§ \ \ .

et, par suite.

Réciproquement, si "h o pour ra = f'ii-, alors (rt, r2 >-p) csl

congru à un système de grandeurs de la forme

(-Va;'.-V^ \\; ).

En effet, si l'on pose

rtp étant choisi arbitrairement, la fonction xï. infiniment petite du premier ordre en rip. le sera encore en p — i autres points; et, si on les désigne par r, , . /,. y,^ ,, Ton a

1 =(/•„ /-SJ .... />)(').

La fonction 2? reste inaltérée, lorsque Ton change les grandeurs c en — r: en effet, si dans la série pour

"r :. vif ..., 9P)

on change les signes de tous les indices m. ce qui n'altère pas la valeur de la série, puisque — my prend les mêmes valeurs que /??v, 3 u,, p2î •••, <>) devient &( — e,, — p2, .... — i>V

( ' ) Voir le Mémoire S«r l'évanouissement des fonctions ~z. — ( YY.et D.)

l52 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANiW

Si l'on prend arbitrairement les points "/■; ( , vt o , ..., t\p i , on aura

cl, par conséquent, puisque la fonction .37 est paire comme nous venons de le voir, Ton aura aussi

On peut donc déterminer les p — i points t\p, vip+\ .... T^p. o, de telle sorte que

et, par conséquent, que

La position des /? — i derniers points dépend alors de celle des/; — i premiers, de telle sorte que, ceux-ci variant de position dune manière continue, l'on a

> d-xlj = o ( avec 7t = ij 2, ...,/>),

cl que, par suite (§ XVI), les points t\ sont ip — 2 points pour lesquels une des expressions d\v devient infiniment petite du second ordre; cela revient à dire que, si Ton désigne la valeur du couple de grandeurs (5, z) au point rlV par (jv, Çv), les (rf!} Ç,), ( 3*0,^0)7 •••■> (o,2/>-23 £2/1-2) sont des couples de valeurs associés (§ XVI) par l'entremise de l'équation <p — o.

*Sï /'o/? choisit les valeurs initiales des intégrales u comme nous l'avons fait ici, l'on aura, par conséquent,

THÉORIE DE> PONCTIONS ABËLIENNES. l53

mmatmns étant prises relativement à toutes les racines

communes: aux équations

F >» et ci o, c :- ) ... - cp¥p — °

et différentes des couples de grandeurs (y*, $p) (§ ^' • les constantes c étant quelconques.

Si E|, e2 tm désignent m points pour lesquels une fonction rationnelle ç de s et de s, qui devient di fois Infinie du premier ordre, reprend la même valeur, et -i // - :, désignent les valeurs de u-, s, z en un point £;J, alors § XA

' m m ni

est congru à un système constant de grandeurs (&,, A2- • ■•, bp), c'est-à-dire à un système indépendant de la valeur de la grandeur z. el Ton peut alors, pour chaque position arbitraire d'un point £, déterminer la position de ceux qui restent, de telle sorte que 1 on ait

( i";'- S"? 2"'^ ) l,x-hi- ■■■'bp)-

On peut donc, lorsque m =/>, ramener

[ut—bt up— bp .

et, lorsque m <^/>, ramener

pour chaque position arbitraire du point (s, s et des p — m points 71, a la forme

■ Va':", .... — >, a

en faisant coïncider un des points s avec (.?, z), et l'on a, par suite,

pour toutes les valeurs, quelles qu'elles soient, des couples de grandeurs (s, z) et des p — m couples de grandeurs (tfv, Çv).