XXIV

Des considérations du § XXII résulte comme corollaire qu'un système de grandeurs quelconque donné (et , . . ., ep) est toujours congru à un seul et unique système de grandeurs de la forme

lorsque la fonction %}(ut — et, ..., up — ep) ne s'évanouit pas identiquement; en effet, il faut alors que les points 7} soient les p points pour lesquels celte fonction est égale à zéro.

Mais lorsque la fonction £f(u\p) — <?,, ..., u(p) — ep) s'évanouit pour chaque valeur de (sp, zp), on peut écrire (§ XXIII)

(«r-e, u^-ep) ( V<'. .... -2»?

et, par conséquent, pour chaque valeur du couple de grandeurs

\sp, zp), l'on peut déterminer les couples de grandeurs (s{,z^

(sp-t) zp-t)> de telle sorte que l'on ait

(2«ï"' •••• 2"" )s(fli,—,e')!

par suite, la position de (sp, zp) variant d'une manière continue, l'on a, pour — = i , 2. . . . , p,

UiroKIF DES PONCTIONS ABÊL1BNNES. t55

Les /- couples de grandeurs (s . : sonl donc p racines. difïérentes des couples de grandeurs (yp, Sp), d'une équation ç = o, dont les coefficients varient d'une manière continue et de telle1 sorte que !es/> — 2 autres racines restantes demeurent constantes.

Si l'on désigne les \ aleurs de /'-. pour ces /> — a couples de valeurs de .s- el --. par m^1», uf"1 "^' -\ on a

J/.-2 2/--S \ ( V BW V „ | 0 o),

et, par suite,

/ ip-j î/.-î

(«i ej,)=( - ^ «.'" ~2 "'''

Réciproquement, lorsque cette congru ence a lieu, on a

tp-i ip-i

S »V e, ujf»-ep) = ar( V Bç> V B« | ,,

Un système de grandeurs quelconque donné (e{. . . ., ep) est, par conséquent, congru à un seul et unique système de grandeurs de la forme

lorsqu'il n'est pas congru à un système de grandeurs de la forme

au cas contraire, il est congru à une infinité de systèmes. Puisque

2? est une fonction de chacun des/? couples de grandeurs (o^, ^)

absolument de même qu'elle l'est de (s, s). Cette fonction de (o'jj., Çjj,) sera nulle pour le couple de valeurs (s, z) et pour les p — 1 points associés, par l'entremise de l'équation m — o, aux p — 1 couples de grandeurs restantes (o1, Ç). En effet, si l'on désigne la valeur de i/n en ces points par [i'^\ jj^f , .... ^~", on a

et, par suite, S = o, lorsque tjjj. coïncide avec un de ces points ou avec le point (s, z).