XXV

Grâce aux propriétés précédemment exposées de la fonction 2r, on obtient l'expression de log'3? à l'aide d'intégrales de fonctions algébriques de (s, z), (g1,, Ç,), . . ., (o1^, ^).

La grandeur

logS/^'-j^af, ... V-Iog^(<'-V,;, .

regardée comme fonction de (a1^, Ç^), est une fonction de la position du point 7j », qui devient discontinue au point s1 , comme l'est — log(^ — z,), au point e2, comme l'est — log^Ç^ — -.z2); sur le bord positif d'une ligne joignant st à e2, cette fonction est plus grande de 2tzï, sur le bord positif de la ligne bv elle est plus grande de i{u^] — w!;2)), qu'elle ne l'est sur les bords négatifs de ces lignes respectives, mais, hormis en les lignes b et en la ligne de rattachement allant de s( à e2, elle reste partout continue.

Désignons maintenant par ttï ^ M- •> ( s , , e2) une fonction quelconque de (o^,, Ç„) qui, sauf en les lignes b, est discontinue d'une manière pareille, et qui, sur l'un des bords d'une telle ligne, est également plus grande d'une constante qu'elle ne l'est sur le bord opposé; cette fonction ne diffère de la précédente (§ III) que

d'une grandeur indépendante de (o1^, ^.), et, par suite, elle ne dif-

p fère de \ ra^-'fs,, s2) que d'une grandeur indépendante de toutes

les grande tir» i i , Ç) et qui. par conséquent, dépend seulement de i\ . Zi et de s2j sa • Alors w{'x] i t{ , t., exprime, pour s,z" -i,±, Ç„), la valeur d'une fonction ts{ :,. :>' du s; IV, Fonction dont les modules de périodicité relatifs aux sections a sont égaux à o. Si

l'on ajoute à cette fonction une constante c, N gtO^s,, s2) est

augmentée de pc\ l'on peut donc, comme il sera fait dans la suite, déterminer la constante additive dans la fonction rn(et, e2), ou la valeur initiale dans 1 intégrale de troisième espèce qui représente cette fonction, de telle sorte que l'on ait

lOg2r<2 - I0g3 ' - ■ V m;;. 1 ;.. £,).

Comme .:? dépend de chaque couple de grandeurs ( j, Ç) d'une manière tout analogue à celle dont elle dépend de (s. s), la variation qu'éprouve logSr, lorsqu'un quelconque <\c> couples de

grandeurs s, z . i{,X>\) 3p) Ç/>) éprouve une variation finie,

tandis que les autres demeurent constants, peut s'exprimer par une somme de fonctions tu.

On peut évidemment, par conséquent, en faisant varier succes-

sivement chaque couple de grandeurs (s, z), (tft, £,) ipi Zp),

exprimer logSf par une somme de fonctions cj et par

log ?: 0.0, .... o)

ou la valeur de log.:7 pour un autre système quelconque de valeurs.

La détermination de logS(o, o, .... o), comme fonction des >// — 3 modules du système de fonctions rationnelles de s et z ('£ XI 1 . nécessite des considérations analogues à celles employées par Jacobi dans ses travaux sur les fonctions elliptiques pour la détermination de ©(o). On peut y parvenir lorsque, à l'aide des équations

et

rfi'ï

ï 58 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

ul étant différent de jjl', l'on exprime, dans l'équation

c/loeriï

■v-i d log;?

da

du

fj.,a'>

les dérivées de logSr, prises par rapport aux grandeurs <7, au moyen d'intégrales de fonctions algébriques.

Pour pratiquer ces calculs, une théorie plus complète des fonctions qui satisfont à une équation différentielle linéaire à coefficients algébriques semble nécessaire, théorie dont je pense à entreprendre l'étude prochainement en faisant usage des méthodes employées ici.

Si (s2, zz) est infiniment peu différent de (s, . zt), cj(e( , e2) devient dzK t(&t), £(ei) désignant une intégrale de deuxième espèce d'une fonction rationnelle de s et s, qui en s, est discontinue comme l'est — -, et dont les modules de périodicité relatifs aux sec-

tions a ont la valeur zéro. On trouve ainsi que le module de périodicité d'une telle intégrale relativement à la section by est égal

a 2— , — ) et que la constante a intégration peut être déterminée

de telle sorte que la somme des valeurs de t(et) pour les/? couples

c)lo°-3'11' de valeurs (a1,, t{ . .... (jdp, "Çp) soit égale à — r-

Alors — ~ est égal à la somme des valeurs de £(riu,) pour les

(p — ■ 1) couples de valeurs associés, par l'entremise de l'équation o = o, aux [p — 1) couples de valeurs (a\ £) différant de (s^, Ç^) et pour le couple de valeurs (s, s). Pour

dz^^

dZij. = d\o£?j ' ,

l'on trouve alors une expression qui a été donnée par Weierstrass [Journal de d'elle, t. 47, p. 000, expression (35)] pour le cas où s est une fonction de z qui ne possède que deux déterminations.

Les propriétés de &(zt) e2) et f(e(), comme fonctions de (.?,, z{) et (s2, z2), se tirent des équations

w(«i,si) = - [logHr(aV2 —pu\

pih

ÎIU'ORIK DES FONCTIONS AliF.LIK.\M>. I 5o,

1 d log Z > a r — />Ki.

/' àzi

qui sont renfermées, comme cas particuliers, dans les expressions

. • 1 1 Û./01 1 e r.i dloçâ»»! roi

précédentes pour log.3 - - iog.3 " et — r- — - [oj.