XXVI

On peut maintenant traiter le problème qui consiste à représenter des fonctions algébriques de z sous forme de quotients de deux produits, chacun d'un même nombre de fonctions

.r Ui — e,,

multiplies par des puissances des grandeurs e".

L ne telle expression, lors de la traversée des sections trans- - s par (*, s), éprouve l'adjonction de facteurs constants, et ceux-ci doivent être des racines de l'unité, lorsque celle expression devra dépendre de z algébriquement, c'est-à-dire, par conséquent, lorsque, prolongée d'une manière continue, elle ne devra prendre pour le même r qu'un nombre fini de valeurs. Si tous ces facteurs sont des racines u.ièmesde l'unité, alors la u.,ème puissance de cette expression est une fonction uniforme et, par suite, rationnelle de s et de z.

Réciproquement, l'on peut aisément démontrer que toute fonction algébrique /• de z qui, prolongée d'une manière continue sur l'intérieur de la surface T', ne prend partout qu'w/ie valeur et qui, à la traversée d'une section transverse, est multipliée par un facteur constant, peut être exprimée d'une foule de manières comme quotient de deux produits de fonctions 3j et de puissances des grandeurs e". Désignons une valeur de u^ pour r — oo par j;j et pour r= o par v„, et menons chaque fois, à partir de chacun des points où /• est infini du premier ordre jusqu'à l'un de ceux où /• est infiniment petit du premier ordre, une ligne à l'intérieur de T7. De la sorte la fonction logr sera partout continue sur ï, sauf en ces lignes. Alors, si log/% sur le bord positif de la ligne 6V, est plus grand de gv2Tzi et, sur le bord positif de la ligne av> plus

grand de — h^iTzi, qu'il ne l'est sur les bords négatifs de ces lignes, la considération de l'intégrale de contour flogrdu^, nous donnera

où a = i , 2, ..,/? et où g\t et Av, d'après les remarques précédentes, doivent être des nombres rationnels et où les sommes du premier membre de l'équation précédente doivent se rapporter à tous les points où ;• est infiniment petit ou infiniment grand du premier ordre, en observant qu'un point où /■ est infiniment petit ou infiniment grand d'un ordre plus élevé doit être regardé (§ II) comme la réunion de plusieurs points où l'ordre est simple.

Lorsque tous ces points sont donnés, hormis p d'entr'eux, ces derniers p points peuvent toujours être déterminés, et cela, en général, d'une seule et unique manière, de telle sorte que les 2p facteurs e^27", e~k<'2m prennent des valeurs données (§ XV, XXIV).

Maintenant, dans l'expression

où P et Q désignent chacun un produit d'un même nombre de

('onctions 2n «, — > a.'f\ . . . ) à même (s, s) et à (a1, Ç.) différents,

si l'on substitue les couples de valeurs de s et z, pour lesquels /• devient infini, à des couples de grandeurs (s1, Q dans les fonctions S? du dénominateur, et les couples de valeurs, pour lesquels /■ s'évanouit, à des couples de grandeurs (a1, Ç) dans les fonctions 27 du numérateur, et, si l'on prend égaux les couples de grandeurs restants (rf, Ç), au dénominateur comme au numérateur, alors le logarithme de celte expression admet les mêmes discontinuités que logr, à l'intérieur de la surface T', et éprouve, de même que log/', à la traversée des lignes a et b, l'addition d'une grandeur constante le long de ces lignes et imaginaire pure.

D'après le principe de Dirichlet, ce logarithme, par conséquent, ne diffère de log/1 que par une constante, et l'expression elle-même ne diffère de r que par un facteur constant. Bien entendu cette substitution n'est admissible que lorsque aucune des fonctions 2? ne s'évanouit pour chacune des valeurs de z.

THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. l6l

Ce fait aurait lieu (§ X.XIII) si tous les couples de valeurs, pour lesquels s'évanouit une fonction uniforme de (s, s), étaient substitués Jaus une même fonction 3 à des couples de grandeurs (tf, Ç).

§ XXVII

I ue fonction uniforme, c'est-à-dire rationnelle de (s, z), ne peut donc pas cire exprimée sou-; la forme d'un quotient de deux fonctions &, multiplié par des puissances des grandeurs eu. Mais toutes les fonctions /• qui, pour le même couple de valeurs de s et z, prennent plusieurs valeurs et ne deviennent infinies du premier ordre que pour un nombre/? ou moindre de couples de valeur-, sont représentables sous cette forme ; et ces fonctions r renferment toutes les fonctions algébriques de ^ représentables sous cette l'orme. On obtient, abstraction faite d'un facteur constant, chacune d'elles une fois et une seule fois, lorsque, dans

vx — ffiiei— ^Avai,v, • • •

3i vi, .. .,vp)

on prend pour hv et g^ des fractions rationnelles positives et plus

p petites que i , et que l'on remplace rv par uv — Naf.

Celte grandeur est également une fonction algébrique de chacune des grandeurs Ç, et les principes développés (dans le paragraphe précédent) suffisent complètement pour trouver son expression algébriqne au moyen des grandeurs z, ^,, . .., £„.

En effet, regardée comme fonction de s, z, lorsqu'elle est prolongée sur toute la surface T\ elle prend partout une valeur unique déterminée, elle devient infinie du premier ordre pour les couples de valeurs (s1,, £,), . . ., (ip, tp), et, lorsque l'on passe du bord positif au bord négatif de la section «v, elle éprouve l'adjonction du facteur eh'2ni et, de même, sur la section b,n celle du facteur e~s<2T-l\ toute autre fonction de (s, z) qui remplit ces mêmes conditions n'en diffère que par un facteur indépendant de (.s, s). R.

Regardée comme fonction de (c^,^), lorsqu'elle est prolongée d'une manière continue sur toute la surface T', elle prend partout une valeur unique déterminée, elle devient infinie du premier ordre pour le couple de valeurs (s, z) et pour les (p — i) couples de valeurs (rfW, Çf), . . . , (rfW | , £<W f ), associés, par l'entremise de l'équation 'f =lo, aux (/j> — i) autres couples de grandeurs restants (a*, Ç); elle éprouve, relativement à la coupure «v, l'adjonction du facteur e~,l'-Tl' et, relativement à la coupure 6V, celle du facteur eS ■'-7:i ; loule autre fonction de(o,!J., Ç^,) qui remplit les mêmes conditions n'en diffère que par un facteur indépendant de (fl^, t^). Si l'on détermine, par conséquent, une fonction algébrique

/[(*,*); (<*!, Ci), ....(a'p.Çp)]

de ;,Çi, ..., Çp> de sorte que, en tant que fonction de chacune de ces grandeurs, elle admette ces mêmes propriétés, elle ne différera delà fonction envisagée que par un facteur indépendant de toutes les grandeurs 2, Çl3 . . ., "Çp, et sera donc égale à A/, A désignant ce facteur. Pour déterminer ce dernier, exprimons dans f les couples de grandeurs (a*, Ç) qui diffèrent de (3^,^) par (rff , ÇW), ;. . , (rfW( , ÇW f ), ce qui fera prendre à / la forme

y[(oV, ^); («, *), (af> , çf ), . . ., (rfWn ^yj.

Evidemment, l'on obtient alors la valeur inverse de la fonction à représenter et, par conséquent, une expression qui doit être

égale à -—-. lorsque, clans A.g, l'on substitue à (o1^, Çp,) le couple

de grandeurs (s, z) et, lorsque aux couples de grandeurs (s, z), (<3f\ Ç'W), . . . , (<*£!,, ÇJ1,) on substitue les couples de valeurs de (5, s) pour lesquels la fonction à représenter, et par suite y aussi, sera égale à zéro.

On obtient de cette manière A2 et, par suite, aussi A, abstraction faite du signe qui peut être déterminé par la considération directe des séries S dans l'expression à représenter [4].

NOTES

[1] (p. 9J ). Le théorème énoncé ici demande certaines restrictions et plus de précision, comme Tonelli l'a fait observer (A/li délia R. Accademia dei Lincci, •.>'' série, vol. II; 187").— Extrait publié dans les Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften de Gottingue; 1875).

Lorsque le système de courbes a, considéré au~si bien dans sa réunion avec le système de courbes b que dans sa réunion avec un second système de courbes c, forme l'encadrement complet d'une portion de la surface F, alors en général, pour que la réunion des systèmes de courbes b et c forme également l'encadrement complet d'une portion de F, il est nécessaire qu'uni' partie des courbes a, réunie soit aux b. soit aux c, ne forme pas déjà l'encadrement d'une portion de surface.

La portion de surface encadrée parles systèmes de courbes b et c et qui, même lorsque les portions de surface a, b et a, c sont simples, peut être formée par plusieurs pièces séparées, est décrite par Tonelli comme il suit : cette portion est formée de la totalité des portions de surface a, b et a, c, quand on ne tient pas compte, parmi les morceaux communs à ces deux portions de surface, de ceux dont l'encadrement est formé par les courbe- -/.

L'exemple, choisi par Tonelli, d'une double surface annulaire, dont l'encadrement est un point (surface percée d'un trou) et quintuplement connexe, éclaircit et rend intuitive cette discussion.

Dans l'application que fait Riemann de ce théorème à la définition de la connexion (n -+- i)-uple, comme le système désigné précédemment para n'est jamais formé par plus d'une courbe, courbe a qui sera remplacée par b, ces remarques ne portent pas sur l'exactitude de ce qui suit.

[2] (p. 124). Si l'on pose

dz — ds e'?,

o sera l'angle compris entre la direction de l'élément ds de la ligne d'encadrement et l'axe des x, et, par conséquent, l'intégrale

- — ; / c/Iog — = — / do

■1-lJ ° ds 1T.J '

est égale au nombre des circuits décrits par la direction de la ligne d'encadrement lorsqu'on la parcourt dans le sens positif. Alors chaque section transverse sera parcourue deux fois, en sens opposés, de telle sorte que ces portions du chemin se détruisent et qu'il ne reste que les parties

l64 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

relatives aux ip — i nœuds du réseau de sections transverses (§ III), chacune contribuant à la valeur itz. L'on obtient ainsi la relation

formule dont la proposition qui commence le § VII est la traduction.

Une démonstration de ce théorème où il n'est fait aucun usage du principe de Dirichlet, et où il est fait surtout complètement abstraction de toutes relations métriques, a été donnée par C. Neumann ( Vorlesungen iiber Rieniann's Théorie der Abelschen Intégrale, Chap. VII, § 8, -2e édition, Leipzig, Teubner; 1884).

[3] (p. i5g). La marche des idées et les théories exposées dans ce § XXV ont été plus tard poursuivies et perfectionnées par J. Thomae (Journal de C relie, t. 66, 71, 7o); Fuchs (Ibid., t. 73) et Félix Klein (Mathematische Annalen, t. 36).

[4f] (p. 162). L'on peut encore faire quelques remarques sur la forme des fonctions algébriques/:

Lorsque 11 est le plus petit dénominateur commun des grandeurs hy et gy, la nUme puissance de f est une fonction uniforme aussi bien de (s, z) que de tous les couples de grandeurs (s, Ç), et, par suite, f est racine n',me d'une fonction rationnelle. Cette fonction rationnelle doit être déterminée comme fonction de (s, s), de telle sorte qu'elle soit infinie du nieme ordre poulies/) couples de grandeurs (j, Ç), et que, parmi les np points pour lesquels elle devient infiniment petite, n d'entre eux soient coïncidents.

Alors l étant une fonction quelconque de (5, z), qui éprouve sur les sections transverses l'adjonction des mêmes facteurs que la fonction f. et Xm, désignant la valeur de cette fonction pour le couple de valeurs (3,j., ta), la fonction f. l~l A[)*2. ..Xp est une fonction rationnelle p de (s, z) et de toutes les grandeurs (<j, Ç), et l'on a, par conséquent,

[Cette dernière Note a été tirée du brouillon ou première esquisse du précédent Mémoire trouvé dans les papiers laissés par Riemann.]