INFERIEURS A UNE GRANDEUR DONNÉE
Monatsbcrichte der Berliner Akademie, novembre 1 85rj. Œuvres de Riemann, i* édition, pages i45-i55.
Je ne crois pouvoir mieux exprimer mes remercîments à l'Académie pour la distinction à laquelle elle m'a fait participer en m'admettant au nombre de ses Correspondants qu'en faisant immédiatement usage du privilège attaché à ce titre pour lui communiquer une étude sur la fréquence des nombres premiers. C'est un Mijet qui, par l'intérêt que Gauss et Dirichlet lui ont voué pendant de longues années, ne me semble peut-être pas indigne de faire l'objet d'une telle Communication.
Je prendrai pour point de départ dans cette étude la remarque faite par Euler que le produit
A J 1 Jmd ns
lorsque/? prend pour valeur tous les nombres premiers, et n tous les nombres entiers. La fonction de la variable complexe s, qui sera représentée par ces deux expressions, tant qu'elles convergent, je la désignerai par Ç(s). Toutes deux ne convergent qu'autant que la partie réelle de s est supérieure à i . Néanmoins il est
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facile 'de trouver pour la fonction une expression qui reste toujours valable.
En faisant usagée de l'équation
e-nxxS x c{x __v /
on obtient d'abord
xs~l d.r
Si maintenant l'on considère l'intégrale
(—x)s'1 dx ex — i
prise dans le sens positif de -f- x à + co et autour d'un domaine de grandeurs qui contient à son intérieur la valeur o, mais qui ne contient aucune autre valeur de discontinuité de la fonction sous le signe d'intégration, on obtient aisément pour la valeur de cette intégrale
.x rx xs-^dx
( — e-nsi eitw ) j
en faisant l'hypothèse que, dans la fonction multiforme
(— xy-i = e^-U'ost-.r),
le logarithme de — x est déterminé de telle sorte qu'il soit réel pour x négatif. On aura donc
inic«n(s — i)£(s) = i f
(—xY-i dx
l'intégrale étant définie de la manière indiquée ci-dessus.
Cette équation donne maintenant la valeur de la fonction Ç(s) pour chaque valeur complexe de s et nous enseigne que cette fonction est uniforme, qu'elle est finie pour toutes les valeurs finies de 5, sauf i, et aussi qu'elle s'évanouit lorsque s est égal à un nombre pair négatif [1].
Lorsque la partie réelle de s est négative, l'intégrale, au lieu d'être prise dans le sens positif autour du domaine de grandeurs assigné, peut être prise dans le sens négatif autour du domaine de
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grandeurs qui contient toutes les grandeurs complexe- restantes, car l'intégrale, pour des valeurs dont le module esl infiniment grand, est alors infiniment petite. Mais, à l'intérieur de ce domaine, la fonction sous le signe d'intégration ne devient discontinue que lorsque x esl égal à un multiple entier de =t itti et l'intégrale, par conséquent, - de à la somme des intégrales prises dans le -en- négatif autour de ces valeurs. Mais 1 intégrale relative à la valeur n 2tï i égale ( — 2Tzi)s~*( — 2-/); on obtient donc
2sin-5ll(.y — i)Ç(s I = (aïs ^Vfl*-1 [(— i )*~l -+- is~[ |.
c'est-à-dire une relation entre £(s) el >?(i — .s) qui. en vertu de propriétés connues de la fonction 11. peut aussi s'exprimer ainsi : la quantité
reste inaltérée lorsque s est remplacé par 1 — s.
Cette propriété de la fonction m'a engagé à introduire, au lieu
de 11(5 — 1), l'intégrale U (- 1) dans le terme général de la
série N — > ce qui fournit une expression très commode de la fonction Ç(s). On a en effet
i-(S-)--"-jf
et, par conséquent, si l'on pose
GO
Vr"'"1' = •l(x),
e~n°~' x- dx.
on a
n(- — 1 j — *ç(*) = f ty(x)xî l dx\
ou bien, puisque
(') Jacobi, Fund. nova, p. 18^ (Riemanx. ) — Œuvres complètes de Jacobi, roi. I, p. 235.
on a encore
^(a?)^'2 dx-t- I <M - )x 2 «?#-!-- / (^r 2 — .r2 j rfo?
= — -+- / i>(x) \x- -}- x - l dx.
Je pose maintenant
et
n(^](*-i)- «Ç(*) = £(0, en sorte que
;(0 = (/2+7) / ^0)^~* cos ( - Moga? W/>r,
ou encore
^=V, & * 4cosU
cos ( - t \ozx ) dx
Cette fonction est finie pour toutes les valeurs finies de t et peut être développée suivant les puissances de t- en une série qui converge très rapidement. Puisque, pour une valeur de s dont la partie réelle est plus grande que i,logÇ(s) = — 2log(i — P~s) reste fini et que ce même fait a lieu pour les logarithmes des facteurs restants de £(/), la fonction %(t) peut seulement s'évanouir lorsque la partie imaginaire de / se trouve comprise entre |i et — |i. Le nombre des racines de q(t) = o dont les parties réelles sont comprises entre o et T est environ égal à
— log ,
car l'intégrale / dïog^(t) prise le long d'un contour décrit dans le sens positif, comprenant à son intérieur l'ensemble des valeurs de t dont les parties imaginaires sont situées entre - ? et i
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et les parties réelles entre 0 el T, es! égale f abstraction faite d'une partie fractionnaire de même ordre que la grandeur ^.J à (Tlog — — ï) 1; or cette intégrale est égale au nombre des racine- de z(=o situées dans ce domaine, multiplié par 2-1. On trouve, en effet, entre ces Limites un nombre environ égal à celui-ci. de racines réelles, et il est très probable que toutes les racine- -"lit réelles.
Il serait à désirer, sans doute, que Ton eût une démonstration rigoureuse de cette proposition; néanmoins j'ai laissé celte recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux, car elle paraît superflue pour le but immédiat de mon étude.
Si l'on désigne par y. toute racine de l'équation £(<x) = o. on peut exprimer log;(ô par
V'"?(/'-^)-1«Sî(o)-
En effet, puisque la densité des racine- de grandeur t augmente
seulement avec t comme le fait log — , cette expression converge
et pour / infini ne devient infinie que comme l'est tiogt; elle diffère de log;(/) par conséquent d'une fonction de t2 qui, pour t lini. reste finie et continue et qui, divisée par t-, sera infiniment petite pour t infini.
Cette différence, par suite, est une constante dont la valeur peut être déterminée en posant t = o.
A laide de ces principes auxiliaires, nous pouvons maintenant déterminer le nombre des nombres premiers qui sont inférieurs à x.
Soit F(.r) ce nombre lorsque x n'est pas exactement égal à un nombre premier, et soit F( x) ce nombre augmenté de £, lorsque x est premier, de telle sorte que, pour une valeur x pour laquelle F(.r) varie par un saut brusque, on ait
IyO PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
Si, maintenant, dans l'expression
logÇO) = — ^log(i —p-*) =2/>-*+ \ ^P~-s + \ ^P-3S +
on remplace p~s par s f x~s^i dx, p~'2s par .v / x~s~* dx ,
= Ç /(w)x-'-i dx,
on obtient
logÇ(»)
où l'on a désigné par/(;z) l'expression
F(a?)+ - F (a?*) h- ' fU») h-....
Celte équation a lieu pour toute valeur complexe a + &« de s lorsque a >> i . Mais lorsque, sous ces hypothèses, l'équation suivante
do
a lieu, l'on peut, à l'aide du théorème de Fourier, exprimer la
fonction h par la fonction g. Cette équation, quand li[x) est réel
et que
g(a-h bi) = gl(b)-ï-igî(b)
se décompose en les deux suivantes :
g\{b) = I /t(x)x-a cos(blogx) d\o™x,
do
ig2(b) = — i f h(x).r-a sin(blogx) dlogx.
do
Lorsque l'on multiplie les deux équations par
[cos(6 logjO -h i sin(6 logj)] db,
et que l'on intègre de — co à -j- go, l'on obtient, en vertu du théorème de Fourier, dans les seconds membres des deux équations izh(y)y~a, et, par conséquent, en ajoutant les deux équations et multipliant par iya, on a
f g(s)y*ds,
a — cci
NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS A UNE GRANDEUR DONNÉE. i"i
où l'intégrawon doit être prise de telle sorte que la partie réelle de s reste constante [-].
Cette intégrale représenle3 pour une valeur de v pour laquelle ;i lieu une variation par saut brusque de la fonction, la valeur moyenne des valeurs de la fonction // de chaque côté du saut. \xec les inodes de détermination exposés ci-dessus, la fonction / poss de celte même propriété, et l'on a donc, d'une manière toute générale,
-râ/
On peut maintenant substituera log^ l'expression trouvée précédemment
log - — 'og(,s — I )
'"-" ., 2 log I '
-log^o
Mais les intégrales de chaque terme de cette expression, prises jusqu'à l'infini, ne convergent pas; il sera donc convenable de transformer l'équation précédente à l'aide d'une intégration par parties en
/xi . „ ~di X t
Comme
xs ds.
-logn(-j = li
