IO" ( I
— log m I ,
pour m = x, et que, par suite,
s \ in
ds ^u ds
tous les termes de l'expression de /(ce), à l'exception de
~«-t- x i • 1 / -, logç(o) Xsds = log;
prennent alors la forme
± : \o<zx
/ ds
xs ds.
Mais on a maintenant
et, lorsque la partie réelle de s est plus grande que la partie réelle de p,
ou bien
= / a?P— 1 ofo?,
selon que la partie réelle de (3 est négative ou positive. On a donc, dans le premier cas,
= : / - lOff I 7- ) Xs C/S = I ; ■ ClX -1- COIlSt.
21"./«— i ' \ P/ J. los^
et, dans le second cas,
arp-i
Loi
c/.r — const.
Dans le premier cas, la constante d'intégration peut être déterminée en faisant tendre la partie réelle de [3 vers l'infini négatif.
Dans le second cas, l'intégrale de o à x prend des valeurs qui diffèrent de 2 7cî, lorsque l'intégrale relative à des valeurs complexes est prise dans le sens positif ou dans le sens négatif, et elle sera, prise dans ce dernier sens, infiniment petite lorsque le coefficient de 1 dans la valeur de [3 est égal à l'infiniment grand positif; mais ce fait aura lieu, clans le premier cas, lorsque ce coefficient est égal à l'infiniment grand négatif.
Ceci nous enseigne comment log (1 — 5 ] doit être déterminé
dans le premier membre de manière à faire disparaître la constante d'intégration.
NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS A UNE GRANDEUR DONNÉE. i~ !
En portant ces valeurs dan- l'expression de/(.r), on obtient
où, dans la série JK on donnera à x pour valeurs toutes les racines
positives ou à partie réelle positive) de l'équi tion ;(a) = o. en les rangeant par ordre de grandeur. On peut alors, après une discussion plus approfondie de la fonction ;, démontrer aisément que. lorsque les termes sont rangés, comme il est prescrit cidessus, dans la série
celle-ci converge vers la même limite que l'expression
a — bi
— î xs ds,
as
lorsque la grandeur b croit sans limites. Mais, si l'on changeait cet ordre des termes de la série, on pourrait obtenir pour résultat a 'importe quelle valeur réelle.
A l'aide àe f(x) l'on obtient F (se | par inversion de la relation
ce qui donne l'équation
où m doit être remplacé successivement par tous les nombres qui ne sont divisibles par aucun carré excepté î, et où u. désigne le nombre des facteurs premiers de m.
Si on limite N à un nombre fini de termes, la dérivée de l'expression f(x) c'est-à-dire, abstraction faite d'une partie qui dé-
croit très rapidement lorsque x croît,
2cos(aloga?).r 2 loga?
fournit une expression approchée pour la densité des entiers premiers -f- la moitié de la densité des carrés, + le tiers de celle des cubes, -f- . . . des entiers premiers inférieurs à x.
La formule approchée connue, F(#) = Li(#), n'est, par consé-
quent, exacte qu'aux grandeurs près de l'ordre de x~ et fournit une
valeur un peu trop grande ; car les termes non périodiques dans
l'expression de F(.r) sont, abstraction faite de grandeurs qui ne
croissent pas indéfiniment avec x,
\A(x) — - Li(x') 4LiC*') -3Li(fl7*)-HsLi(»«) — -Li(»')+.... 2 0 > b ~
Du reste, la comparaison, entreprise par Gauss et Goldschmidt, de L\(x) avec le nombre des nombres premiers inférieurs à x et poursuivie jusqu'à x = o millions a révélé que ce nombre, à partir de la première centaine de mille, est toujours inférieur à hi(x) et que la différence des valeurs, soumises à maintes oscillations, croît néanmoins toujours avec x. Mais la fréquence et la réunion plus dense par endroits des nombres premiers, si l'on peut s'exprimer ainsi, sous l'influence des termes périodiques, avaient déjà attiré l'attention, lors du dénombrement des nombres premiers, sans que l'on eût aperçu la possibilité d'établir une loi à ce sujet. Il serait intéressant, dans un nouveau dénombrement, d'étudier l'influence de chaque terme périodique contenu dans l'expression donnée pour la totalité des nombres premiers. Une marche plus régulière que celle donnée par F(x) serait obtenue à l'aide de la fonction f(x) qui, cela se reconnaît déjà très évidemment dans la première centaine, coïncide en moyenne avec hi(x) -|-logç(o).
