AYANT UNE AMPLITUDE DE VIBRATION FINIE
{Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Gôttingen, t. VIII ; 1860.) Traduit par M. Stouff, professeur à la Faculté des Sciences de Besancon.
Bien que les équations aiiK dérivées partielles d'après lesquelles on détermine le mouvement des gazaient été établies depuis longtemps, leur intégration n'a guère été effectuée que pour le cas où les différences de pression peuvent être considérées comme des fractions infiniment petites de la pression totale, et l'on s'est contenté, jusqu'à l'époque la plus récente, de tenir compte des premières puissances de ces fractions. C'est seulement depuis peu qu'Helmholtz a fait intervenir dans le calcul les termes du second ordre, et expliqué ainsi l'existence objective de sons accessoires ( ' ). Cependant, pour les cas où le mouvement initial se fait partout dans la même direction, et où la vitesse et la pression restent constantes dans chaque plan perpendiculaire à cette direction, on peut intégrer complètement les équations exactes. Le problème a, il est vrai, été traité jusqu'ici d'une manière parfaitement satisfaisante pour l'explication des phénomènes constatés par l'expérience. Mais, par suite des grands progrès qu'Helmholtz a fait faire tout récemment aux méthodes expérimentales en Acoustique,
(') Le mot Combinationstône du texte allemand est celui même employé par Helmholtz dans ses Mémoires [Ueber Combinationstône {Œuvres complètes, vol. I)]. — (Stouff.)
les résultats du calcul plus précis que contient ce Mémoire pourront peut-être, dans un temps qui n'est pas trop éloigné, fournir quelques points d'appui à la recherche expérimentale. Ceci justifiera la présente Communication en dehors de l'intérêt théorique qu'offre l'étude d'équations aux dérivées partielles non linéaires.
On devrait admettre la loi de Boyle, comme relation entre la pression et la densité, si les différences de température produites par les changements de pression se neutralisaient assez rapidement pour que l'on eût le droit de considérer la température du gaz comme constante. Mais l'échange de chaleur par lequel ces différences disparaîtraient est prohahlement tout à fait négligeable, et l'on doit en conséquence adopter, pour cette relation, la loi d'après laquelle la pression du gaz change avec la densité quand il ne reçoit ni n'abandonne de chaleur.
D'après les lois de Boyle et de Gay-Lussac, si v est le volume de l'unité de poids, p la pression et T la température comptée à partir de — 278° C, on a
log/> -1- \ogv = logT -t- const.
Considérons ici T comme fonction de p et de c; désignons par c la chaleur spécifique à pression constante, par c' la chaleur spécifique à volume constant, toutes deux rapportées à l'unité de poids; cette unité de poids, quand p et v varient de dp et de ch\ gagne la quantité de chaleur
àT , , àT ,
c —— dv -+- c —— dp , ov dp
ou, comme
r)logT <HogT
d\o™v diogp
T(c cl logv -h c' dlogp).
Si donc il n'y a aucun gain de chaleur, on a
dlogp =— -; dlogo,
et, si l'on admet avec Poisson que le rapport des deux chaleurs spécifiques — = k est indépendant de la température et de la
pression
logjo = — /ilogc-i- const.
D'après 1 *p nouveaux essais de Regnault, Jouir et W . Thomson,
- [ois sont probablement vraies avec une très grande approximation pour L'oxygène, l'azote, L'hydrogène et leurs mélanges à toutes les températures el Les pressions que présente la Physique.
Regnault a prouvé que ces gaz suivent de très près les Lois de
ie et de Gay-Lussac et que la chaleur spécifique à pression
constante c est indépendante «le la température et de la pression.
Pour l'air atmosphérique, Regnault a trouvé, entre
— \o < '.■ et io° C c = o.
-+- 10" C. et — 100" Ci.. .. c = 0,237g — 100" C. et — 2i5°C c = o,-2J7<'.
Pour des pressions variant de une à dix atmosphères, il ne se produisit non plus aucune variation sensible de la chaleur spécifique.
En outre, d'après des expériences de Regnault et de Joule, L'hypothèse de Maver adoptée par Clausius paraît être tout près de l'exactitude, à savoir : un gaz se dilatant à température constante n'absorbe que juste la chaleur nécessaire pour produire le travail extérieur. Si le volume du gaz varie de dv, la température restant
constante, on a
dlogp = — d log p :
la quantité de chaleur reçue est ï(c — c') c/logc, le travail effectué pdv. Cette hypothèse donne donc, si A désigne l'équivalent mécanique de la chaleur,
ATic — c ) d loge = /> de.
OU
Pv C-C=:ÂT'
donc c — c' est indépendant de la pression et de la température.
D'après ceci, k = -, est aussi indépendant de la pression et de
la température. Suivant Joule, A égale 4Mkgm; 55 : pour la température de o° C, ce qui correspond à la température absolue
T= — ïff=> pv a pour valeur, d'après Regnault, -g()om,26- . De
ces données résulte k= i,4ioi. La vitesse du son dans l'air sec
l8o PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
à o° C. est par seconde
et serait trouvée, avec cette valeur, de k égale à 332™,44°5 tandis que les deux séries complètes d'expériences de Moll et Van Beek, calculées séparément, donnent 332m, 028 et 33 1111^ 867, et réunies 332m,27i, et que les expériences de Martins et A. Bravais fournissent, d'après leurs propres calculs, 332m,37.
11 n'est pas nécessaire de faire tout d'abord une hypothèse déterminée sur la relation entre la pression et la densité; nous supposons donc la pression correspondant à une densité p égale à 3(0) et nous laissons la fonction© provisoirement encore indéterminée.
Introduisons un système de coordonnées rectangulaires x,y, z, Taxe des x dans la direction du mouvement, et désignons par p la densité,/? la pression, u la vitesse des points matériels qui correspondent à la coordonnée x au temps t et par w un élément du plan parallèle au plan des yz à la distance x.
Le volume du cylindre droit ayant pour base l'élément to et de hauteur dx est ta dx, et la masse contenue dans ce cylindre u>p dx. La variation de cette masse pendant l'élément de temps dt est
égale à w -~ dt dx. On obtient une autre formule pour cette variation en remarquant qu'elle est égale à la valeur algébrique de la masse qui pénètre dans le cylindre pendant le temps dt, soit
à — to — ! — — dx dt. L'accélération d'une molécule matérielle du
dx
cylindre est
Ou du
dt dx
et la force qui l'entraîne dans le sens des x positifs est
/- w dx = — œ'( p ) — - w dx,
dx ' ox
PROPAGATION d'ONDBS AÉRIENNES PLANES. I S I
où i : .léeigne la dérivée de =p(p)' On a donc, pour p et pour //, les doux équations aux dérivées partielles
dp h 0u\ ,, . dp
= — el : u -T- = — 9(?)-r-»
àt àx v \àt àx)
ou
du du ,, . d los.0
dt • ■ àx
el
d loçp d lo : c)«
— -+- u si =
'.// t^j? àx
Si l'on multiplie la seconde équation par rir y'V(p), qu'on l'ajoute à la première, et qu'on pose, pour abréger,
(i) j s ?'(p)rflogp =/(p)
et
les équations prennent la forme plus simple
où u et 0 sont des fonctions de /' et de s déterminées par les équations (2). De l'équation (3) il vient
(4) dr=o7r f^-LW^CPXWi
(5) ds = -£\dx-[u — \ffî(p~j\dt\.
En supposant ©'(p) positif, hypothèse toujours vérifiée dans la nature, ces équations expriment que r reste constant, quand a; varie avec t de telle sorte que dx = [m + \ <p'(p)J <^ et que s reste constant quand .r varie avec t de façon queeta" = [// — \ ■-,'(? )\dt.
Le point géométrique de l'axe des x pour lequel /", ou, ce qui revient au même, f(p) + «, a une valeur déterminée se meut donc, dans le sens des x positifs, avec une vitesse v<p'(p) — u\ un point géométrique correspondant à une valeur déterminée de s ou de f\ p) — « dans le sens des x négatifs avec la vitesse y/©' ( p ) — m.
l82 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS PAR RIEMANN.
Un point géométrique correspondant à une valeur déterminée de /• rencontrera donc successivement tous les points géométriques correspondant à des valeurs déterminées de s qui se trouvent d'abord avant lui sur l'axe des x, et sa vitesse dépend, à chaque instant, du point géométrique s avec lequel il coïncide.
L'Anal jse est maintenant prête à nous donner les moyens de répondre à la question suivante : où et quand le point géométrique qui correspond à une valeur r' de r rencontre-t-il un point géométrique correspondant à une valeur 5' de s qui se trouve devant lui? Gela revient à déterminera et t comme fonctions de r et de s. Et, en effet, si l'on prend, dans les équations (3) du paragraphe précédent, /■ et s comme variables indépendantes, ces équations deviennent des équations aux dérivées partielles linéaires par rapport à x et t, et peuvent être intégrées par des méthodes connues. Pour la réduction des équations aux dérivées partielles à une équation linéaire, le procédé le plus avantageux est de mettre les équations (4) et (5) du paragraphe précédent sous la forme
enogvV(p)
d\oii ;p
rflogyY(p)
j ds [Mof/ïïï) +,1^ [£"28*535 -,] ! X ( t. dlogp J L «iogp J ) )
On obtient alors, si l'on considère s et ;• comme variables indépendantes, pour 3? et / les deux équations linéaires aux dérivées partielles
d\ x — [u -4- /cp'( p)] t j
Os
Or
rflogyAp'(p) ûflogtp
^logy/(p'(p) ] . ^logP J
11 on ré soi te que
; x - [u ■+■ s 7T71] * [ dr — \*— [« — n/^TTII < ; ds
est une différentielle totale exacte, dont l'intégrale w satisfait à l'équation
t</loiî v ''''-'( - > I ' àw dw\ J v ■ v> — i =m ( — -i-— - ,
OU
m — ' /r/logv/o'(p)
et est, par suite, une fonction de /—s. Si l'on pose
il vient
et, en conséquence,
a Ioï -7-
2 ûfff
Dans l'hypothèse de Poisson sp(f ) = aapk, et
const.,
et si l'on prend la constante arbitraire'égale à zéro,
U k — i)<s 2(Àr — !)(/•-+-*)
Dans l'hypothèse de la loi de Bovle, çp (p) = «a p, on obtient /(p) = « logp,
\ V (p) 4- a = /• — s -4- a, y çp' (p ) — u = s — r -f- a,
valeurs que l'on peut déduire des précédentes en retranchant de
l84 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
/(/>) la constante j~-> par suite de r et de s ^~, et en faisant ensuite / = i (').
L'introduction de /• et de s comme variables indépendantes n'est toutefois possible que si le déterminant fonctionnel de ces quantités par rapport à x et t, déterminant dont la valeur est
2 VV(?) fa fa> n'est pas nul, donc que si ~ et ~ sont tous deux différents de zéro.
Si — est nul, de l'équation (i) résulte dr = o; l'équation (2) montre alors que x — [u — vAp'(p)] t est une fonction de s. L'expression (3) est, par suite, encore une différentielle exacte, et w est une fonction de s seulement.
Pour des raisons analogues, si ^ est nul, s, qui devient alors constant par rapport à x, devient aussi constant par rapport à /, x ~~ lu + vV(p)J' et «' deviennent de simples fonctions de /•.
Sl enfîn te et te sont tous deux nuls> rJ *j w deviennent, en vertu des équations aux différentielles totales, des constantes.
Pour résoudre notre problème, il faut actuellement déterminer w comme fonction de /• et de s, de telle sorte qu'elle satisfasse à l'équation aux dérivées partielles
/,\ à2 w I dw dw
drds \ dr ds
et aux conditions initiales, ce qui la détermine à une constante près, qui peut évidemment lui être ajoutée à volonté.
La fonction w étant supposée connue, l'époque et le lieu où un point géométrique, correspondant à une valeur déterminée de /•, rencontre un point géométrique correspondant à une valeur déter-
( ' ) On prend les vraies valeurs pour k = 1 . — ( Stouff. )
minée de s, s'obtiennent par l'équation
jx — [u- ^- yj]t \dr— ja? — [u — fa'(p)]tlds = d«> (»);
là-dessus on obtiendra finalement les quantités // et p comme fonctions de x et / en joignant à l'équation précédente les équations
En effet, on obtient, comme conséquences de (2), à moins que dr ou ds ne soient nuls le long d'un segment Uni et, par suite. /• ou s constants pour ce segment, les équations
r /—, 1 àw
qui, jointes aux équatioi permettent de trouver les expres-
sions de u el p <'n ./■ et /.
.Mais si, dans les circonstances initiales, r conserve la même valeur /•' sur une étendue finie les points géométriques qui appartiennent à la valeur /■' se déplacent avec le temps dans le sens des x positifs. A l'intérieur de ce domaine, où r= r' , on ne peut
pas déduire de l'équation (2) la valeur de x — \u + \Ap'(p)] t\ car dr est nul ; et, en effet, la question : où et quand un point correspond-il à la fois à la valeur r' de r et à une valeur déterminée de 5? n'admet aucune réponse précise. L'équation (4) n'est alors valable qu'aux limites de ce domaine et fait connaître entre quelles valeurs de x à une époque déterminée r prend la valeur constante rJ, ou aussi, pendant quel espace de temps /'conserve cette valeur en un point déterminé.
Entre ces limites, u et a s'obtiennent comme fonctions de x et de / à l'aide des équations (3) et (5). On obtient ces fonctions par une voie analogue si s garde la valeurs' dans un domaine fini, /• étant variable, aussi bien que dans le cas où /• et s sont constants tous deux. Dans ce dernier cas, 0 et u prennent des valeurs con-
(') En remplaçant dw par — dr — — ds et égalant alors les multiplicateurs
Or ds '
île dr et de ds dans les deux membres de (2). — ( Stouff. )
l86 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
stantes déterminées par les équations (3) entre certaines limites déterminées par les équations (4) et (5).
8 IV
Avant d'aborder l'intégration de l'équation (i) du paragraphe précédent, il semble avantageux de faire quelques discussions préalables, qui ne supposent pas que cette intégration ait été effectuée. Relativement à la fonction <p(p) une seule hypothèse est nécessaire, c'est que sa dérivée n'est pas décroissante quand p augmente. Ce fait se présente sûrement toujours dans la réalité; nous faisons dès à présent une remarque qui sera appliquée plusieurs fois dans le présent paragraphe : c'est qu'alors la quantité
?(p1)?(p2) rl
-! — ! T ' = / m [otpi-h (i — a) p.,1 dx,
Pi— ? 2 ^o '
si l'on ne fait varier que p< ou p2 séparément, reste constante ou varie dans le même sens que celle de ces deux quantités dont la valeur change. Il en résulte aussi que la valeur de celte expression est toujours comprise entre ©'(pi) et <p'(p2).
Nous considérons maintenant le cas où la perturbation initiale de l'équilibre est limitée à un domaine fini déterminé par les inégalités a<C.x<^b. En dehors, u et o et, par suite aussi, r et .s sont constants; j'emploie ces lettres affectées de l'indice i pour désigner les valeurs quand x <C «, et de l'indice i pour les valeurs quand ,r ^> b. D'après le § I, le domaine où r est variable s'avance
peu à peu, sa limite postérieure avec la vitesse \/'f'(pi) + «i, tandis que la limite antérieure de la région où s est variable recule avec la vitesse y/V(p2) — u2. Après un espace de temps égal à
vty(Pi)-+-V<p'(Ps)-l- "i— l'i
les deux domaines se séparent, et entre eux se forme un intervalle dans lequel s égale s2 et /• égale ;"( , et où par suite les molécules gazeuses sont de nouveau en équilibre. De la région ébranlée d'abord partent donc deux oncles qui marchent dans des direc-
lions opposfes. Dans celle qui va en avant, s = s2 ; la vitesse d'une molécule matérielle u =/(o) — '2S2 y est donc une fonction de la densité z: un point géométrique correspondant à une valeur déterminée de 0 correspond aussi à une valeur fixe de u et s avance avec la vitesse constante
vVt?) + " = V V1 ,; ) -+-/( P) ~ iSi- Dans l'onde qui recule à la densité p appartient la vitesse
le point géométrique correspondant se meut en arrière avec la vitesse
p l ~/<? > — arf.
Ces \ilesses, qui sont les vitesses de propagation des deux ondes, vont en croissant avec la densité, parce que cp'(p) et /(p) croissent avec p.
Si l'on prend p pour ordonnée d'une courbe correspondant à l'abscisse x, chaque point de cette courbe se meut parallèlement à Taxe des abscisses avec une vitesse constante et d'autant plus considérable que son ordonnée est plus grande. Celte remarque fait voir facilement que les points dont les ordonnées sont les plus grandes finiraient par dépasser les points à ordonnées moindres situés d'abord en avant d'eux, de sorte qu'à une valeur de x appartiendraient plusieurs valeurs de p. Comme cela est impossible dans la réalité, il doit se présenter une circonstance qui rende la loi précédente inapplicable. En effet, pour obtenir les équations aux dérivées partielles, nous sommes partis de l'hypothèse que u et p sont des fonctions continues de x et ont des dérivées finies; cette hypothèse cesse d'avoir lieu dès que la courbe des densités devient en l'un de ses points perpendiculaire à l'axe des abscisses, et, à partir de ce moment, la courbe présente une discontinuité, une valeur de o étant suivie immédiatement par une plus grande. Cette circonstance sera discutée dans le prochain paragraphe.
Les ondes condensées, c'est-à-dire Jes parties de l'onde où la densité décroît dans le sens de la propagation, deviennent donc dans leur marche de plus en plus étroites et se transforment finalement en condensations brusques; l'amplitude des ondes dila-
tées croît au contraire continuellement et proportionnellement au temps.
On peut montrer facilement, du moins clans la loi de Poisson (ou dans celle de Boyle), que, même lorsque la perturbation initiale d'équilibre n'est pas limitée à une étendue finie, il se formera toujours, dans la suite du mouvement, des condensations brusques, excepté dans des cas tout à fait spéciaux. La vitesse avec laquelle avance un point géométrique /■ est, dans la loi de Poisson,
en moyenne les plus grandes valeurs de r auront des vitesses plus grandes, et une grande valeur /•' en atteindra finalement une plus petite r", qui chemine devant elle, si les valeurs de s qui coïncident successivement avec r" ne sont pas inférieures en moyenne aux valeurs de s qui coïncident simultanément avec r1 d'une quantité supérieure à
Dans ce dernier cas, s aurait une valeur négative infiniment grande pour^r égal à l'infini positif; donc, pour oc = -\-co, ou bien la vitesse u serait + oo, ou bien, mais seulement dans l'hypothèse de la loi de Boyle, la densité serait infiniment petite. Donc, en dehors de cas particuliers, le cas où une valeur de /' sera sui\ie immédiatement par une plus grande, offrant avec la première une différence finie, se présentera toujours ; par suite, — devenant infini, les équations aux dérivées partielles perdront leur validité et il se formera des condensations brusques se propageant en avant. De même, presque toujours, — devenant infini, il se formera des condensations brusques se propageant en arrière.
Pour déterminer les temps et les endroits auxquels -—ou — deviennent infinis et où commencent des condensations brusques, on obtient, à l'aide des équations (i) et (2) du § II, en y introduisant la fonction ir,
àr\frw plogyW] , ,~| , | .
dx\ dr* dlogp ' J | '
as \ (Y- w dx \ cls-
['les vV(jj+I] ,1
Il nous faut maintenant, puisque des condensations subites se présentent presque toujours, même quand la densité et la vitesse varient partout d'une manière continue dans les conditions initiales, rechercher les lois de la marche de ces condensations.
Nous supposons qu'au temps t pour x = Ç, u et p varient brusquement, et nous désignons les valeurs de ces quantités et de celles qui en dépendent au moyen de l'indice i pour x = £ — o, et au moyen de l'indice 2 pour x = ç + o ; désignons pare, et v2 les vitesses relatives avec lesquelles le gaz se meut dans le voisinage du point de discontinuité, vitesses égales respectivement à
de d\ w . , , , ,. , ,
u{ Tf' u- — Tff' L,a masse> °,111 traverse pendant 1 élément de
temps dt un élément co du plan ayant pour équation x = ç, dans le sens des x positifs, est alors égale à c, 0, to dt = p2 °j(iJ dt : la force qui lui est appliquée [cp (p,) — cp (p2)] ««> (') et l'augmentation de vitesse produite par cette force v2 — c, : on a, par suite,
[ r( :i > — V ?i)]<*dt = (t>2— pt)f, p,w efr, où
''îpi = P2P2; il en résulte
donc
Vl = = i/îl ?(?i) — ?(P«) >
V Pi Pi — P2
dt y p, pi — p2 " y Pî pi— ?2
Pour une condensation brusque la différence p2 — p, doit être de même signe que c, et v2, négative si celte condensation se propage en avant, positive si elle se propage en arrière. Dans le premier cas, on doit prendre les signes supérieurs et p, est plus
(') Il y a dans le texte ['■?(?,) — ?(?2)] w dt, ce qui ne correspond pas au sens classique actuel du mot force. — (Stouff. )
igO PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
grand que o2', par suite, d'après l'hypothèse faite sur la fonction 0(0) au commencement du paragraphe précédent,
(■*■) «,-t- vV(pi)> -£ > "2 h- vV(Pî);
d'après ces inégalités le point de discontinuité avance plus lentement que les valeurs de r qui le suivent et plus rapidement que celles qui le précèdent 5 /"i et r2 sont donc à chaque instant déterminés par les équations aux dérivées partielles applicables de part et d'autre du point de discontinuité.
Comme les valeurs de s se meuvent en arrière avec la vitesse
y/V(p) — u-, s-i et, par suite, p2 et u-> s'obtiennent de la même façon; mais cela n'a pas lieu pour st. Les valeurs de s, et de -j se
déduisent sans ambiguïté de celles de rx, p2 et u-i Par les équations (1). En effet, l'équation
(3) 2(r1-r,)=/(pi)-/(p«)
» /(P'~ P«>t? (Pi) — ?(p»)]
n'est vérifiée que par une seule valeur de p t ; car le second membre, quand o, croît de p2 à l'infini, prend une fois et une seule toute valeur positive, car ,/(?')> a,JSS* bien que les deux facteurs
) — ? ( Ps )
dans lesquels on peut décomposer le dernier terme, est constamment croissant, le dernier facteur pouvant aussi rester constant; a{ étant déterminé, on a également des valeurs tout à fait déterminées pour U\ et -A parles équations (1).
Les condensations brusques qui se propagent en arrière donnent heu à des conclusions complètement analogues.
§ VI
Nous venons de trouver que dans la marche d'une condensation brusque, entre les valeurs de u et de p de part et d'autre du
PROPAGATION D'ONDES AÉRIENNES PLANES. igr
poinl de discontinuité, existe toujours l'équation tu ,, v - (?'— M?(?^-r
Pi pï
Il v a maintenant lieu de se demander ce qui arrive quand on se donne arbitrairement des discontinuités à un temps et à un endroit donnés. Suivant les valeurs de m,, p,, //>. p2 du point de discontinuité peux eut partir en -eus opposés deux condensations brusques, ou une seule en avant ou une seule en arrière. 11 peut aussi arriver qu'il ne s'en propage aucune de manière que le mouvement ait lieu d'après les équations aux dérivées partielles.
Si Ton désigne à l'aide d'un accent les valeurs que prennent u et p en arrière d'une condensation ou entre deux condensations au premier instant après leur entrée en mouvement, dans le premier cas p' est supérieure à ot et à p2, et l'on a
i «M — " — i / ■ — — -, — |B.Ut=|/<ëEEEZÏEï<£3:
Donc, comme les deux termes du second membre de l'équation (2) croissent tous deux avec p', il fout que 1/ 1 — u2 soit positif et
,,„-„.,.><i*-ftWP->-?(."»,
et, réciproquement, si ces conditions sont remplies il y a toujours un système de valeurs de u' et de p', et un seul, satisfaisant aux équations (1).
Pour que le dernier cas se présente et, par suite, que le mouvement puisse se déterminer conformément aux équations aux dérivées partielles, il faut et il suffit que r<~r2 et s,^s2, donc que uK — Mo soit négatif et (a, — u.2)2 ^ [/(pi ) —/(?:>)]"• Alors /•, et s* se séparent respectivement de r2 et de st, parce que chacune de ces valeurs va moins vite que celle qui la précède dans son mouvement, de sorte que la discontinuité disparaît.
Lorsque ni les premières ni les dernières conditions ne sont
remplies, les conditions initiales conviennent à une seule condensation brusque, qui se propagera en avant ou en arrière suivant que p, est supérieur ou inférieur à p2. En effet, alors, si pi>-po, la quantité i(r{ — r2) ou /(pt) — /(P2) + "i — u-i est positive (parce que
(«i-«2)2<[/(pi)-/(p2)]2);
cette quantité est aussi inférieure ou égale à
/(p. ) -/< p.) + J^EESSMESm
V Pi ?2
parce que
< (pi — Pi)[?(pi) — ?(P«)1
Pi P2
On peut donc trouver pour la densité p', en arrière du point de condensation brusque, une valeur satisfaisant à la condition (3) du paragraphe précédent, valeur inférieure ou égale à p,. Par suite, comme s' =f(p') — rl} st =f(p{) — rtJ on a aussi s'"Ss{, de sorte que le mouvement, en arrière de la condensation brusque, peut s'effectuer conformément aux équations aux dérivées partielles. L'autre cas, où o, << p2, ne diffère évidemment pas d'une manière essentielle de celui-ci.
§ VII
Pour élucider les théories qui précèdent par un exemple simple, où le mouvement puisse se déterminer par les méthodes que nous avons acquises jusqu'ici, nous supposerons que la pression et la densité dépendent l'une de l'autre par la loi de Bojle, et que, dans les conditions initiales, la pression et la densité changent brusquement pour x — o, mais restent constantes de part et d'autre du plan des yz.
D'après la discussion faite antérieurement il y a quatre cas à distinguer :
