I. Si uK — u-2 >> o, donc si les deux masses gazeuses vont à
la rencontre l'une de l'autre, et si ( — — — ) > -^ — ^— , il se
\ « / pi?*
forme deux condensations brusques se propageant en sens contraire. D'après le § VI, équation (1), si Ton désigne t {' par y. el par H la racine positive de l'équation
la densité entre les deux condensations brusques p' a pour valeur BQi o, :,. et. d'après le § A . équation (1), on a, pour la condensation brusque qui marche en avant,
—2 = uo -+- a aO = 11 -1 :
dt - a'J
pour celle qui marche en arrière,
dt
les \aleurs de la vitesse et de la densité sont donc, après un espace de temps t, u' et p' pour les valeurs de x qui satisfont à la
double inégalité
m, et p, pour les valeurs de x inférieures à la plus petite de ces deux limites, u2 et p.» pour celles qui sont supérieures à la plus
grande.
II. — Si uK — - u2 <C o, et qu'en conséquence les masses gazeuses tendent à s'éloigner l'une de l'autre, et qu'en même temps on ait
de la limite partent, dans des sens opposés, deux ondes dilatées ( ■ ) dont l'étendue va peu à peu en augmentant. D'après le § IV on a, entre elles, r = rt, s = s2, u — r{ — s-2- Dans celle qui se propage en avant, s = s2 ; x — (u -f- a) t est fonction de r seulement, et
( ' ) Deux ondes où la densité croit dans le sens de la propagation. — (Stouff. R. i3
celte fonction, d'après les valeurs initiales x = o, t == o, se trouve égale à zéro ; pour l'onde qui se propage en arrière on a /•=/•,, et x — (u — a) t = o. L'une des équations pour la détermination
de u et de p est donc
pour
(>'i — Sj-ba)£ < a? <(i*2 -+- a) t;
pour les valeurs de x inférieures à (/•, — s2 -f- a)t, r = /•) , et pour les valeurs de x supérieures à (u2 -\-a)t, r = /-2; l'autre équation est
pour
pour les valeurs de x moindres que celles-ci, s = Sj, et pour les valeurs plus grandes, * = s2.
III. — Si aucun de ces deux cas ne se présente, et si p, >- p2, il se produit une onde dilatée qui marche en arrière, et une condensation brusque qui se propage en avant. Pour cette dernière on trouve, d'après le § V, équation (3), en désignant par 8 la racine de l'équation
?('\7/V) = 2ioge + o-l,
p' = 9B-p2> et d'après le § V, équation (i),
7t = Ut + a* = u+ï;
après un espace de temps t, on a, en avant de la condensation brusque, c'est-à-dire lorsque x^>(u2 -+- a§)t,
en arrière de cette condensation on a r = /-, et de plus, pour
pour les valeurs de x moindres que celles-ci u = «,, et pour les valeurs plus grandes u = //'.
1\ . — !>i enfin les deux premiers cas ne se présentent pas. et si p1<Cpa, tout se passe comme dans le cas III : les phénomènes présentent seulement une disposition inverse.
§ VIII
Pour résoudre noire problème d'une manière générale il faut, d'après le § III. déterminer la fonction w de telle sorte qu'elle satisfasse aux dérivées partielles
Or Os \ or as /
et aux conditions initiales.
Si l'on exclut le cas où des discontinuités se présentent, le temps et le lieu, c'est-à-dire les valeurs de x et de i, pour lesquels le point géométrique correspondant à une valeur déterminée /'' de /• rencontre le point géométrique correspondant à une valeur déterminée 5' de s, sont complètement déterminés si les valeurs initiales de /• et s sont données pour le segment de l'axe des x qui s'étend entre les positions initiales des points géométriques /• et s', et si les équations aux dérivées partielles (3) du § I ont lieu dans toute la multiplicité (S) qui comprend toutes les valeurs de x correspondant aux points intermédiaires entre les points /•' et s' pour chaque valeur de t. La valeur de w pour /■=/•', s = s' est donc complètement déterminée, si w satisfait partout dans la multiplicité S à l'équation aux dérivées partielles (1), et si les valeurs
i à w an- , , , , ..... ,
de -T- et — sont données pour les valeurs initiales de r et de s, ce or os L
qui détermine pour ces valeurs initiales w à une constante près,
et si enfin cette constante a été choisie arbitrairement. En effet,
ces conditions ont un sens équivalent aux précédentes. Il résulte
aussi du § III que, si /'garde une valeur constante r" le long d'un
segment fini, — prend des valeurs présentant une différence finie
h h ■ àw • 11
pour /• — o et r -h o, mais que — ■ varie partout d une manière
■ , àiv
continue avec s; que, de même, —7 est continu par rapport a /',
et que la fonction w est continue partout à la fois par rapport à r et à s.
Après ces préliminaires, nous pouvons aborder la résolution de notre problème, c'est-à-dire la détermination de w pour deux valeurs arbitraires r' et s' de r et de s.
Pour représenter le phénomène prenons x et t comme abscisse et ordonnée d'un point d'un plan et imaginons dans ce plan les courbes r = const. et s = const. Nous désignerons les premières par (/), les secondes par (s), et sur chacune d'elles nous considérerons comme positive la direction où t va en croissant. La multiplicité (S) est alors représentée par une partie du plan, limitée par la courbe (/"'), la courbe (Y) et la portion de l'axe des x interceptée entre ces deux courbes, et il s'agit d'obtenir la valeur de w au point d'intersection des deux courbes à l'aide des
, , dw dw , -, t\t - '
valeurs de -r— y —— données sur ce dernier segment. IMous sreneraor as °
liserons encore un peu le problème, et nous supposerons que le
domaine (S), au lieu d'être limité par ce segment, est limité par
une courbe arbitraire c, qui ne coupe pas plus d'une fois chacune
des courbes (/•) et (5); on se donne pour les systèmes de valeurs
de /• et de 5, qui correspondent à chaque point de c, les valeurs
de — - et de — • Comme la solution du problème le fera voir, ces
Or Os l
1 1 àw -, dw , , . ,...
valeurs de -— et de -r— sont seulement soumises a Ja condition de
or os
varier d'une manière continue avec le point de la courbe, mais peuvent être prises d'ailleurs arbitrairement, tandis que ces valeurs ne seraient pas indépendantes les unes des autres, si la courbe c coupait plus d'une fois l'une des deux courbes (/•) et (s).
Pour déterminer des fonctions, qui doivent satisfaire à dos équations linéaires aux dérivées partielles et à des conditions linéaires aux limites, on peut employer un procédé absolument analogue à celui qui consiste, dans la résolution d'un système d'équations linéaires, à multiplier toutes les équations par des facteurs indéterminés, puis à les ajouter et à déterminer ensuite ces facteurs de manière à annuler les coefficients de toutes les inconnues sauf une.
Imaginons la partie (S) du plan partagée en parallélogrammes
infinimen petits par les courbes | r) et (s), el désignons par or et 5s les variations qu'éprouvent les quantités /'et s, quand 1rs éléments d'arcs qui forment les côtés de ces parallélogrammes sont parcourus dans le sens positif; soit, de plus, v u/ne fonction arbitraire do r el de s, qui soit partout continue et ait des dérivées continues. En conséquence de l'équation (i), on a alors
celle intégrale étant étendue à toute la multiplicité (S). Il faut ordonner le second membre de cette équation par rapport aux inconnues, c'est-à-dire ici le transformera l'aide d'intégrations par parties, de sorte qu'il ne contienne plus, en dehors de quantités connues, que la fonction cherchée, mais non ses dérivées. Par celte opération l'intégrale se change en l'intégrale suivante, étendue à la multiplicité S,
/ c>-'c dmv dmv \ Or Os dr Os
et une intégrale simple qui, à cause de la continuité de . par
rapport à s, de celle de -r- par rapport à /• et de celle de w par rapport à ;• et à s, n'est étendue qu'au contour de (S). Si dr cl ds désignent les variations de r et de s dans un élément du contour de S, ce contour étant parcouru dans une direction telle qu'en chaque point du contour la normale vers l'intérieur présente, par rapport à cette direction, la même disposition que la direction positive des courbes (s) par rapport à la direction positive des courbes (/*), cette intégrale curviligne est égale à
r\ (dw \ , fdv \ . "1
— / <M — — m»' as -+- w — -+- mv dr . J l \às J \0r I J
L'intégrale étendue au contour entier de (S) est égale à la somme des intégrales relatives aux courbes (c), (5'), (/*') qui forment ce contour; donc, en désignant leurs points d'intersection par (c, r'), (c,s'), (/•', s'), elle a pour valeur
/r,s' „r\ s' nC,r
..>•' Je, s' ' S .1
igS PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
De ces trois parties : la première ne contient, en dehors de la fonction p, que des quantités connues; la seconde ne contient, ds étant nul dans cette intégrale, que la fonction inconnue w, mais non ses dérivées; la troisième peut, à l'aide d'une intégration par parties, se transformer en
( P Vf )/•',*•' -(Cff )c,r' -+" / «" ( ,— -+" '" P ) ds,
\ds
de sorte que la fonction cherchée w s'y présente seule.
Après ces transformations, l'équation (2) donne évidemment la valeur de la fonction w au point /', s' exprimée par des quantités connues, si l'on détermine la fonction ç conformément aux conditions suivantes :
d2p dmv dmv
dr Os Or Or
jnv = o ;
i° Partout dans S
20 Pour r = /■' 3 " Pour s = s'
4° Pour r = r', s = s'
On a alors
( 4) wr,s' = (PPP )c,r' -+- / P ( 37- — fflW ) fifo H- W ( —
de
ds 7 \dr
§ ix.
Le procédé que nous venons d'appliquer réduit le problème, de déterminer une fonction w par une équation linéaire aux dérivées partielles et par des conditions linéaires aux limites, à la résolution d'un problème analogue, mais beaucoup plus simple, pour une autre fonction e; ce qui est ordinairement le plus facile pour obtenir la fonction v, c'est de choisir un cas spécial du problème primitif et de le traiter par la méthode de Fourier. Nous
devons nott contenter ici d'indiquer la marche de ce calcul el de démontrer le résultat par une autre méthode.
Si, dans L'équation (1) du paragraphe précédent, à la place de r et tle s on introduit /•— s = <r et r — s = u comme variables indépendantes, et si Ton choisit pour la courbe c une courbe sur laquelle a soil constant, le problème peut être traité parles règles de Fourier, et l'on obtient, par la comparaison du résultat avec l'équation ( () du paragraphe précédent, en posant r1 -\- 5' = o-', r-s =u\
do ■1 —u')-j- ['li 1;') <l2{ - 1 — d/2! -' J •!/! ( - I ] '/[>■-
où<jf|((r) et ^(cr) désignent deux solutions particulières de l'équation différentielle
telles que
IVi «y» — O-i il» i = -r-
Si Ton suppose applicable la loi de Poisson, on sait que, d'après cette loi,
on peut alors exprimer <!/, et <|»2 par des intégrales définies de manière à obtenir pour v une intégrale triple, qui se réduit à
fr'-hs'\* *-lv[3 i J l (r — r')(s-s')l
~\r + s) li k — i' k-i a'1' (/•■+*) (^-+-*')J*
Il est facile de prouver a posteriori l'exactitude de ce résultat, en montrant qu'il satisfait effectivement aux conditions (3) du paragraphe précédent.
Si Ton pose
ces conditions deviennent, pour r,
d-y /dm dr as \ di
ely=i aussi bien pour r= r' que pour s = s'. Dans l'hypothèse de Poisson, on peut satisfaire à ces conditions en supposant que y
est une fonction de z = — —-- — —, seulement. En effet, si
Ton désigne par À la quantité
donc
et
ds d/- a- L<ilog\32 \ s/ dlogz j
Par suite
et y est une solution de l'équation différentielle
' c/log~- rflog~ ^
ou, d'après la notation introduite dans mon Mémoire sur la série de Gauss, y est une fonction
y est la solution particulière qui devient égale à i pour 3 = 0.
D'après les principes de transformation développés dans ce Mémoire, y peut s'exprimer non seulement par les fonctions
P(o, il -+-ï, o),
mais encore par les fonctions
P(i,.,x + ï). P(«, X+i.XH-i);
on obtient par suite pour y un grand nombre de représentations par des séries hjpergéométriques et des intégrales définies, parmi
lesquelles nous remarquons seulement les suivantes
qui suffisent à tous les cas.
Pour déduire de ces résultats, trouvés pour la loi de Poisson, ceux qui conviennent pour la loi de Boyle, on doit, d'après le § II, diminuer les quantités /•, s, /•', s' de -r — - et faire ensuite k = i ; on obtient ainsi
et
ni n\ ( 2 a i - ''
Si Ton porte l'expression trouvée pour v dans le paragraphe
précédent, dans l'équation (4) du § VIII, on obtient la valeur de w
i i 111 àw dw .
pour r = rjS= s exprimée par les valeurs de n\ — et — sur la
courbe c: mais comme, dans notre problème, les valeurs de -— ?
1 Or
— sont toujours seules données immédiatement, et qu'il faudrait en déduire w par une quadrature, il est convenable de transformer l'expression de «v S'i de telle sorte que les dérivées de w figurent seules sous le signe d'intégration.
Désignons les intégrales des expressions
et
mvds ■+- ( h niv ) dr
Or
( <r- mv ) ds — mv dr,
qui, à cause de l'équation
d-v dmv dmv
Or Os dr ds
sont des différentielles exactes, par P et S, et par co l'intégrale de. P dr -\- Jlds, expression qui, à cause de
àP dZ.
— = — ■ mv = • — ?
Os dr
est aussi une différentielle exacte.
Si l'on détermine dans ces intégrales les constantes d'intégra-
, . , dix) OU) , -, , ,
lion de manière que to — , — s annulent pour r = r, s =s , to satisfait alors aux équations
- 1 h i = v, - — - = — mv.
dr Os Or Os
De plus on a, soit pour r = /■', soit pour s = s',
