CO

Enfin, remarquons-le en passant, to est complètement déterminé par ces dernières conditions aux limites et l'équation aux dérivées

partielles

à'2 u> / dix> dio \

or ds dr ds J

Si l'on introduit w au lieu de v dans l'expression de wrVj on peut, en intégrant par parties, transformer cette expression en

rc's' r /àià \ dw , dto dw , 1

Pour déterminer le mouvement du gaz d'après son état initial,

on doit prendre pour c la courbe qui correspond à t = o ; sur celte

courbe on a

dw dw

dr ds ~ X'

et l'on obtient, en intégrant par parties,

w,.i>si = wc,r' -ht ( w dx — x ds);

en conséquence, d'après les équations (4) et (5), § III,

l j x — [/«p'(p) -+- u] t |,-,,' = x,, -+- J -£ dx,

I | X 4- [/cp'(p) — u] t }r',s- = «V — / ^7 dx;

PROPAGATION D'ONDES AÉRIENNES PLANES. 2o3

uatifes (2) ne représentent le mouvement qu'aussi longtemps que

Hog \ - ■ : ' , \ , , e-<r | d

V d\i ds* \ d\ I

restent différents de zéro. Aussitôt qu'une de ces quantités s annule, il se produit une condensation brusque et l'équation (1) n'est applicable qu'en dedans de domaines situés tout entiers d'un seul et même côté par rapport à cette condensation. Alors les principes développés ici ne suffisent pas. du moins en général, pour déterminer le mouvement d'après l'état initial; on peut, il est vrai, à l'aide de l'équation (1) et des équations qui, d'après le £ V , conviennent à une condensation brusque, déterminer le mouvement, si le lieu de cette condensation est donné au temps /. c est-à-dire si ; est donné en fonction de /. Nous ne poursuivrons cependant pas davantage ce sujet, et nous renonçons à traiter le cas où l'air est limité par une paroi fixe, le calcul ne présentant pas de difficultés, et une comparaison des résultats avec l'expérience n'étant pas encore possible actuellement.