ANNONCE DU MÉMOIRE PRÉCÈDENT

Publiée par Riemann dans les Gôttinger Nachrichten, iv 19;

Cette étude n'a point la prétention de fournir à la recherche expérimentale des résultats utiles: l'auteur désire seulement qu'on la considère comme une contribution à la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires. De même que les méthodes les plus fécondes pour l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles n'ont pas été trouvées en développant l'idée générale du problème, mais ont tiré leur origine de l'élude de questions de Physique particulières, la théorie des équations non linéaires aux dérivées partielles parait surtout devoir obtenir ses progrès du traitement approfondi de problèmes de Physique spéciaux et d'une considération attentive de toutes les conditions accessoires de ces problèmes; et, en effet, la solution de la ques-

lion toute spéciale qui forme le sujet de ce Mémoire a exigé de nouvelles méthodes et des conceptions originales, et nous a conduits à des résultats qui joueront probablement un rôle dans des questions plus générales.

La solution complète de ce problème permettrait de décider d'une manière plus précise les questions agitées avec vivacité, il y a quelque temps, entre les mathématiciens anglais Challis, Airy et Stokes ('), autant du moins que Stokes ne les a pas déjà éclaircies (2), et de juger plus complètement le différend qui s'est élevé sur une question relative au même sujet dans la Société Impériale et Royale des Sciences de Vienne, entre MM. Petzval, Doppler et A. von Ettinghausen (:i).

La seule loi empirique qu'il était nécessaire de supposer, en dehors des lois générales du mouvement, est la loi d'après laquelle varie la pression d'un gaz avec sa densité quand il ne gagne ni ne perd de chaleur. L'hypothèse déjà faite par Poisson, mais reposant alors sur une base fort peu solide, que la pression pour une densité p est proportionnelle à pA, k étant le rapport de la chaleur spécifique à pression constante à la chaleur spécifique à volume constant, peut maintenant s'établir à l'aide des expériences de Regnault et d'un principe de la Théorie mécanique de la chaleur. Il a paru nécessaire de mettre cette démonstration de la loi de Poisson dans l'Introduction; car elle parait encore peu connue. On trouve ainsi pour k la valeur i,4ioi tandis que la vitesse du son à o° G. et dans l'air sec serait, d'après les expériences de

Martins et A. Bravais ('■ ), égale à j — et fournirait pour k la

valeur 1 ,4oyj.

Bien que la comparaison avec l'expérience des résultats de nos recherches, exécutée par l'observation, présente de grandes difficultés et soit à peine praticable actuellement, nous nous permettons d'exposer ici ces résultats autant que cela est possible sans prolixité.

Le Mémoire ne traite le mouvement de l'air ou d'un gaz que

(') Phi/, mag., vol. XXXIII, XXXIV et XXXV.

(-) Phil. mag., vol. XXXIII. \>. .V,,,.

1 1 Sitzungsberichte der K. K. Ges. cl. IF., voni i5 janv., 21 mai et ier juin i85a.

I ) Ann. de Chim. et de Phys., 3e sér., t. XIII, p. 5.

pour le ras où, au commencement et, par conséquent, aussi dans la suite, la direction du mouvement est partout la même, et où la p ression et la densité restent constantes dans tout plan perpendiculaire à cette direction. Pour le cas où la perturbation initiale d'équilibre est limitée à une étendue finie, et où, comme on le suppose habituellement, les différences de pression sont des fractions infiniment petites de la pression totale, on sait C|ue de la région ébranlée partentdeus ondes, dans chacune desquelles la vitesse est une fonction déterminée de la densité et que ces deux ondes cheminent en sens contraire avec la vitesse yV(p), constante dans cette hypothèse [œ ( p) est la pression pour la densité p et 'f'(p) la dérivée de 'f(p)]- H se passe aussi quelque chose de tout à fait analogue quand les différences de pression sont finies. La région où l'équilibre a été troublé se décompose de même, après un espace de temps fini, en deux ondes se propageant en sens contraires. Dans celles-ci la vitesse, mesurée dans le sens de

la propagation, estime fonction déterminée, j\ tp'(p) ûHogp, de

la densité; la constante d'intégration pouvant être différente dans les deux ondes. Mais dans chacune d'elles, prises séparément, à la même valeur de la densité correspond toujours la même valeur de la vitesse, à une plus grande valeur de la densité une valeur algébrique plus grande de la vitesse. Les deux valeurs correspondantes se déplacent avec une vitesse constante. Leur vitesse commune relative aux molécules du gaz est yV(p), leur vitesse absolue s'obtient en ajoutant à cette quantité la vitesse des molécules gazeuses, mesurée dans le sens de la propagation. Sous 1 hypothèse, toujours réalisée dans la nature, que 'f'(p) n'est pas décroissant pour o croissant, les plus grandes densités sont animées de vitesses plus grandes. Il s'ensuit que les ondes dilatées, c'est-à-dire les parties de l'onde où la densité croît dans le sens de la propagation, croissent en amplitude proportionnellement, au temps, les ondes condensées diminuent de largeur et se transforment nécessairement en condensations brusques. Les lois applicables avant la séparation des deux ondes, ou convenant à une perturbation d'équilibre s'étendant à tout l'espace, ne peuvent être données ici, à cause de la complication des formules qu'elles exigeraient.

Au point de vue de l'Acoustique, la recherche présente fait connaître ce résultat que, dans le cas où les différences de pression ne peuvent pas être considérées comme infiniment petites, il se produit un changement dans la forme des ondes sonores, et, par conséquent, dans le son, pendant la propagation. Une vérification expérimentale de ce résultat parait fort difficile, malgré les progrès qu'Helmholtz a fait faire récemment à l'analyse du son; car, aux petites distances, le changement de son n'est pas sensible, et aux grands éloignements il sera difficile de séparer les causes variées qui peuvent modifier le son. Il ne faut pas songer à une application à la Météorologie, car les mouvements de l'air, étudiés dans notre Mémoire, appartiennent à ceux qui se propagent avec la vitesse du son, tandis qu'au contraire les courants atmosphériques ont, selon toute apparence, une vitesse beaucoup moins grande.