L'ÉVANOUISSEMENT DES FONCTIONS THÊTA

Œuvres mathématiques de Riemann, 2p édition, page 212.

La seconde Partie de mon Mémoire sur la Théorie des fonctions abéliennes^ parue dans le Journal de Crelle, contient la démonstration d'un théorème sur 1 évanouissement des fonctions thêta, sur laquelle je me propose de revenir, en supposant connues les méthodes employées dans ce Mémoire. Ce qui suit, ici n'est qu'une courte exposition dc> applications de ce théorème, qui, dans notre méthode fondée sur la détermination des fonctions à l'aide de leurs discontinuités et de leurs inlinis, doit, comme cela se reconnaît aisément, être le principe de base de la théorie des fonctions abéliennes. Quant au théorème lui-même, et à sa démonstration, l'on n'y avait pas rendu compte de cette circonstance que la fonction thêta peut s'évanouir identiquement par la substitution des intégrales de fonctions algébriques d'une variable, c'est-à-dire pour chaque valeur de ces variables. Remplir cette lacune est le but de l'opuscule suivant (').

Dans les recherches où l'on emploie la représentation des fonctions 2? à nombre indéterminé de variables, le besoin se fait sentir d'une abréviation d'écriture pour une suite telle que

Vu v% vm,

l'expression de t\, se compliquant de v.

(') Pour le théorème et sa démonstration, voir § XXIII et suivants du Mémoire Sur les Fonctions abéliennes. — (L. L. )

L'on pourrait imaginer un symbole tout analogue aux signes somme et produit, mais une telle notation serait encombrante et incommode à imprimer clairement sous le signe fonctionnel.

Je préfère désigner

par

et, par conséquent, par

v Ov)

&(i'1} P2, •• -, Vp)

Lorsque dans la fonction 2?(ci, v2, • • -, »>) au lieu des/? variables v l'on introduit les p intégrales u{ — <?,, i(2 — c-2, • • • , a,, — ep de fonctions algébriques de z, ramifiées comme l'est la surface T, on obtient alors une fonction de z qui varie d'une manière continue sur toute la surface T, sauf en les lignes b, et qui, lors du passage du bord négatif au bord positif de la ligne 6V, est multipliée par le facteur

Ainsi qu'il a été démontré au § XXII (loc. cit.), cette fonction, lorsqu'elle ne s'évanouit pas pour toutes les valeurs de g, est infiniment petite seulement en p points de la surface T et du premier ordre. Ces points ont été désignés par t,, , yj2, . . . , t\p et la valeur de la fonction uv au point t\^ l'était par aif. On a obtenu alors pour les ip systèmes de modules (modules de périodicité) de la fonction 2r, la congruence

(0 (eu et,..., ep) == ( £ af> 4- K„ £ «f + K2, . . ., >] aW -+- Kp J,

où les grandeurs K. dépendent des constantes additives, arbitraires