SI R [/EVANOUISSEMENT DES FONCTIONS THÊTA. 20Q
encore pouf" l'instant, dans les fonctions i/. mais oe dépendent ni ilrs grandeurs e ni des points rj.
Si l'on poursuit le calcul indiqué (loc. ci/.) l'on trouve
Dans eeite expression l'intégrale / ( a;J" + w^) â?«v<, doit être
prise dans le sens positif le long de 6V . et dans la somme l'on doit faire prendre à v' toutes les valeurs entières de 1 jusqu'à/?, à ["exception de v; ev = ±i, selon que L'extrémité de A, rejoint le bord positif ou le bord négatif de av, et z',,--=.± 1, selon que cette même extrémité rejoint le bord positif ou le Lord négatif de 6V.
La détermination des signes est, d'ailleurs, seulement nécessaire lorsque les grandeurs e doivent être déterminées complètement, d'après les équations données au § XXII, à l'aide des discontinuités de logSr. La congruence précédente (1) reste exacte, quelque signe que l'on puisse choisir.
Nous nous en tiendrons d'abord à l'hypothèse, faite pour simplifier les choses, que les constantes additives dans les fonctions u sont déterminées de telle sorte que les grandeurs K. soient toutes égales à zéro. Pour lever cette restriction hypothétique et en débarrasser les résultats qu'on obtiendrait alors, il est évident qu'il
suffirait seulement d'ajouter partout — K,, — Ko, — . . . K
aux arguments dans la fonction 2r.
Par conséquent, lorsque la fonction
<3(ul — e1,u2—eî,. ..up — ep)
s'évanouit pour les p points r, , , tj.,, .... rip et ne s'évanouit pas identiquement pour chaque valeur de z, l'on a
Ce théorème a lieu pour des valeurs absolument quelconques des grandeurs e, et en faisant coïncider le point (s, s) avec le R. l4
point T\p, nous avons conclu que
c'est-à-dire, puisque la fonction 3? est paire, quels que soient les points Y),, r\2, . . . , 7)i,,.
La démonstration de cette proposition demande néanmoins à être complétée, à cause de ce fait que la fonction
peut s'évanouir identiquement (ce qui a lieu, en effet, pour certaines valeurs des grandeurs e) dans chaque système de fonclions algébriques à mêmes ramifications.
Eu égard à cette circonstance, l'on doit se contenter d'abord de faire voir que le théorème reste exact lorsque les points r\ varient de position, indépendamment les uns des autres, entre des limites finies.
L'on conclut alors l'exactitude générale du théorème d'après ce principe qu'une fonction d'une grandeur complexe ne peut s'annuler à l'intérieur d'un domaine fini à moins qu'elle ne soit partout égale à zéro.
Lorsque z est donné, les grandeurs e(, e2, . . . , ep peuvent être choisies telles que
ne s'évanouisse pas ; en effet, s'il en était autrement, il faudrait que la fonction Sr ( f, , r2, . . ., vp) s'évanouisse pour toutes les valeurs des grandeurs v et, par suite, il faudrait que tous les coefficients soient nuls dans le développement suivant les puissances
SUR L'ÉVANOUISSEMENT r>i:s FONCTIONS THÊTA. 211
entières d£ e-v*} e2"», . . . , (,2'V, ce qui n'est pas le cas. Les grandeurs e peuvent donc varier indépendamment cnlre elles à l'intérieur de domaines de grandeurs finis sans que la fonction
2f(aj — ei, u3 — <?o, . . ., u,, — ep)
s'évanouisse pour cette valeur de ;. Ou bien, en d'autres ternies : on peut toujours assigner un domaine de grandeurs E à ip dimensions, à l'intérieur duquel le système de grandeurs e peut être mobile sans que la fonction
3r< m, — eu k2— e2, . . . , up — ep )
s'évanouisse pour cette valeur de s. Cette fonction sera donc infiniment petite du premier ordre seulement pour p positions de (s, s), et si l'on désigne ces points par -/-,,. rr2, . . . , 7é/M l'on a
(i) («i, ««,... ,eP)sï £ «f. 2Xw» •••> Zai»w •
V chaque mode de détermination du système des grandeurs e à l'intérieur de E, c'est-à-dire à chaque point de E, correspond alors un mode unique de détermination des points t\ et l'ensemble de ces déterminations forme un domaine de grandeurs H correspondant au domaine de grandeurs E. Or, en vertu de l'équation (i), à chaque point de H correspond aussi un point unique de E. Par conséquent, si H avait seulement ip — i, ou un nombre moindre de dimensions, E ne pourrait avoir ip dimensions; par suite, H a bien ip dimensions.
Les raisonnements sur lesquels se base notre théorème restent donc applicables, pour des positions quelconques des points y,, à l'intérieur de domaines finis, et l'équation
a donc lieu pour des positions quelconques des points/,,, rl2, ..., r,p,, à l'intérieur de domaines finis, et, par suite, a lieu d'une manière générale.
Il s'ensuit que l'on peut toujours écrire que le système de grandeurs (e(, e-2, • • •, g p) est congru, et cela d'une manière unique, à une expression de la forme
lorsque 3r ( v (wv — <?v) ) ne s'évanouit pas pour chaque valeur de ; ;
en effet, si les points tj,, ri2, . . ., rip pouvaient être déterminés de plusieurs manières, de telle sorle que la congruence
ïw)-(ï(|^))
fût satisfaite, alors, d'après le théorème qui vient d'être démontré, la fonction
s'évanouirait pour plus de p points sans être identiquement nulle, ce qui est impossible.
Lorsque 2t/v(mv — ev)) s'évanouit identiquement, l'on doit.
afin d'obtenir (v(<?v)] sous la forme précédente, considérer la fonction
v(Mv -+-<»> — ai" — «v)),
et lorsque cette fonction s'évanouit identiquement pour toute valeur s, Çt, ;,, l'on doit considérer celle-ci :
SUR l'évanouissement DES FONCTIONS THÊTA. 2 1 3
Nous supposerons donc que
, ( V ;.; - ■■ V u|P-W evj
s'évanouil identiquement, mais que
/ / tu — 1 m
\ ne s'évanouit pas identiquement.
Celle dernière fonction, considérée comme fonction de £/>+<? s'évanouit pour ep u S/>j, .... £/>w et, par conséquent, en outre, s'évanouit encore pour/; — m autres points ; désignons ces derniers par /,,. vi2 ï).m, l'on aura
et. pour qu'ils satisfassent à la congruence, ces points ne peuvent être déterminés que d'une manière unique, sinon la fonction s'évanouirait pour plus de p points. La même fonction, considérée comme fonction de zp ii s'évanouit, en sus des points
encore pour^? — m — i autres points et, si l'on désigne ces derniers par
El) -2; • • -7 zp-»l-l,
l'on aura
et les points el5 e2, ..., zp m\ seront complètement déterminés par cette congruence.
Par conséquent, sous l'hypothèse faite en (î), afin de satisfaire aux congruences
et
m d'entre les points 7) et m — i d'entre les points e peuvent être choisis arbitrairement; mais, par cela même, les points restants sont déterminés. 11 est évident aussi que la réciproque de ces propositions est également exacte, c'est-à-dire que la fonction s'évanouit lorsque Tune de ces conditions est remplie. Par conséquent, lorsque la congruence (2) peut être satisfaite de plus d'une manière, la congruence (3) peut aussi être satisfaite, et lorsque, parmi les points rn m d'entre eux, mais non davantage, peuvent être choisis arbitrairement, il en sera de même des points £ au nombre de m — 1, et les points restants sont, par cela même, déterminés, et réciproquement.
On reconnaît d'une manière toute pareille que, lorsque
■(vi rv 1 I = o,
les congruences
(4) (Ç (rv)) = (5(2<w
admettent toujours des solutions; et aussi bien parmi les points /, que parmi les points s, m d'entre eux peuvent être choisis arbitrairement, et, par cela même, les autres p — 1 — m points restants sont déterminés lorsque
est identiquement nulle,
sin l'évanouissement m:s fonctions thêta. 2i5
par contre .ne l'étant pas, le cas m = o n'étant pas exclus. Ce théorème également admet une réciproque exacte.
Par conséquent, lorsque parmi les points y,, m d'entre eux. el pas davantage, peuvent être choisis arbitrairement, l'hypothèse dont il s'agit est remplie, et, par suite, parmi les points e, n/ d'entre eux. et pas davantage, pourront être également choisis arbitrairement.
§ iv.
Désignons les dérivées premières de
i S-(rl5 vt,
prises par rapport à ev par 2f^, les dérivées secondes par l'apport à i\ et cx par .3r, \, . ... et ainsi de suite ; alors, lorsque
5 ( v ( 4 > > — ay ) -+- /■,
s'évanouit identiquement pour chaque valeur de zt el Çl5 toutes les v - rv) I sont égales à zéro. En effet, l'équation
3r(v(My -««' + /%.))
quand 5, et z{ diffèrent infiniment peu de s-, et ^,, se transforme en l'équation
Supposons que l'on ait
(pu, (s, z) rf.3 Os alors cette expression, après suppression du facteur
2l6 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
se transforme en
et, comme entre les fonctions z> aucune équation linéaire à coefficients constants n'a lieu, il s'ensuit que toutes les dérivées premières de .37(^1, t-'2j • • ■ > Vp) doivent s'évanouir pour
v frv = rv).
Pour démontrer la réciproque du théorème supposons que
v (t'v = /\, ï et v (i\ = /v)
soient deux systèmes de valeurs pour lesquels la fonction 2» s'évanouisse sans qu'elle s'évanouisse identiquement pour
v ( cv = »,/ i — a,/ » -+- rv) et v ( Pv = «V ' — */ ' -+- ty ),
et formons alors l'expression
2r (v („.</> - ai/' -wy)) 2f (v«l> - «i/' + /-v))
S ('?«> - a/) + fv)) 2r/v (a«> - "!/' + /v)
Considérons cette expression comme fonction de ^( ; l'on reconnaît que c'est une fonction algébrique de zi: et cela, fonction rationnelle de st etzt, puisque le dénominateur et le numérateur sont continus sur (la surface) T" et acquièrent les mêmes facteurs à la traversée des sections transverses.
Pour z-t =Ç\ et s{ = o-, le dénominateur et le numérateur deviennent infiniment petits du second ordre, de sorte que la fonction reste finie; mais, quant aux autres valeurs, pour lesquelles le dénominateur ou le numérateur s'évanouissent, elles sont, comme il a été précédemment démontré, complètement déterminées par les valeurs des grandeurs /et des grandeurs / et, par conséquent, sont tout à fait indépendantes de Ç|. Maintenant, puisqu'une fonction algébrique est déterminée, abstraction faite d'un facteur
SUR [/ÉVANOUISSEMENT DBS FONCTIONS THÊTA. m;
constant, ptir les valeurs pour lesquelles elle devient nulle et infinie, l'expression considérée est égale à une fonction rationnelle de s, et s,, yi st, Z|), indépendante de ^, et multipliée par une constante, c'est-à-dire une grandeur indépendante de st. Comme l'expression est symétrique relativement aux systèmes de grandeurs i •>,. s( i et t, . Z, I, cette constante est égale à y* ~i- ^i1 multiplié par une grandeur A, indépendante aussi de 1{. Si Ion pose alors
mi obtient, pour notre expression (2), la valeur
p ( S j , Zl)p(<Tl>Çl)l
où p| 5, s) est une fonction rationnelle de s et de z.
Pour la déterminer, il suffit de faire tendre ~, vers ;, et 7, vers S\ . On obtient ainsi
V^/v (y., M du,/.
eu. en extrayant la racine carrée et supprimant le facteur r/Fi si. zt )
^ .r - .,1 st> si)
En vertu de cette équation, on tire de (3) et de (4) la suivante,
3 (vu,./1,-2vn - /Y) ) &(?(««»' - i#» + IV))
& ( v ( ai1
V 3r;J. ( v (/-v)) ?uOi, -1) V &(i f v 1 rv 1 ) -ïy 7, . :, 1
y] ^(v («V)J ?lti s,, s, , y :r;, ( v < /,, , ) -f,,( 7l. :, )
2l8 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
Il s'ensuit de cette équation que
^(u&U-aU'+rv)
doit, pour toute valeur de ^, et Ç, , être égal à zéro, lorsque les dérivées premières de la fonction 3>(r,, r2. . . ., cy,) s'évanouissent toutes pour
v ( (;v = rv ).
Lorsque
s'évanouit identiquement, c'est-à-dire pour chaque valeur de
}*■ (<3"[jt., S[a) el de tj. (s^, s^), l'on reconnaît, ainsi qu'il a été indi-
que précédemment, en faisant tendre "Çm vers zm et o-w vers sm, d'abordque les dérivées premières de la fonction 2f((^, r2, ..., vp) s'évanouissent toutes pour
= 2Xw-2>vw- M-
ensuite, lorsque l'on fait tendre Sw-i — ~-m-\ et ?m\ — 5,.,, vers zéro, que pour
toutes les dérivées secondes s'évanouissent également; et l'on reconnaît encore,' évidemment, que les dérivées d'ordre n s'évanouissent toutes pour
quelles que soient les valeurs des grandeurs z et des grandeurs Z.
SUR L'ÉVANOUISSEMENT DBS FONCTIONS THÊTA. 2 fO
L'on en conclut, sous L'hypothèse (i) du paragraphe actuel, que
pour v n'.,= rv) toutes les dérivées de la fonction .'ir,. p2 »>)<
depuis les premières jusqu'aux m""" \ sont égales a zéro.
Pour montrer que la réciproque de ce théorème est également
vraie, démontrons d'abord que. lorsque
s'évanouit identiquement et que les grandeurs <^'"r' ( v (f\)j sont
toutes nulles.
!;(va;.v„/ + „
doit au>>i s'évanouir identiquement, et dans ce but généralisons l'équation (5) du § IV.
Y eet eiïet. nous supposerons que
s'évanouit identiquement, mais que
ne s'évanouit pas identiquement; nous conserverons, relativement aux grandeurs (, l'hypothèse faite précédemment, et nous considérerons 1 expression
I xJi&(ïkpi-^+^))&(î«'-^+m) \
(a) ! ^L^ll !
( n)"(^< -«<r+M)9r(-;(«if,)-«v,1+*»))
Dans cette expression, sous les signes produit, l'on doit donner
à p, comme à p', toutes les valeurs depuis i jusqu'à m, mais au dénominateur les cas où p = p' doivent être exclus.
Si nous considérons cette expression comme fonction de ;,, nous voyons que, relativement aux sections transverses, elle est affectée du facteur 1, et que, par conséquent, elle est fonction algébrique de Z\. Pour z{ = Çp, et st = 3-p, le dénominateur et le numérateur deviennent infiniment petits du second ordre, et la fraction reste par conséquent finie; quant aux grandeurs restantes pour lesquelles le dénominateur et le numérateur s'évanouissent, ces grandeurs, comme il a été démontré précédemment au § III,
sont complètement déterminées à l'aide des grandeurs u. (s„, z„),
des grandeurs v et des grandeurs £, et sont, par suite, complètement indépendantes des grandeurs Ç. Maintenant, comme l'expression est une fonction symétrique des grandeurs z, elle jouit également des précédentes propriétés pour chaque z^ quelconque ; c'est une fonction algébrique de z^, et les valeurs de cette grandeur s^, pour lesquelles elle devient infiniment grande ou infiniment petite, sont indépendantes des grandeurs Ç. Elle est donc égale à une fonction algébrique y(£|, z2, • ••, zm) des grandeurs s, indépendante des grandeurs £, multipliée par un facteur indépendant des grandeurs ;. Mais puisqu'elle reste invariable lorsque l'on échange les grandeurs z et les grandeurs Ç, ce facteur est égal à y (^ , , Ç2, ••-, ÇTO) multiplié par une constante A indépendante des grandeurs z et des grandeurs Ç; et nous pouvons ainsi, en posant
v VSZl> ~-' ■ • • ' ~'/" ) = V ( -^ 1 1 ztt • • • i zm )>
mettre notre expression (2) sous la forme
<\>( z,, :■,, ..., zm)'b(Xi, Ça, • ••, Km),
où '^(^i, z.2, . .., zm) est une fonction algébrique des grandeurs z, indépendante des grandeurs Ç, fonction qui, par suite de son mode
de ramification, doit être exprimable rationnellement en [A (5^, z^).
Maintenant, si Ton fait coïncider les points 7) avec les points s, en sorte que les grandeurs ^ — Zy. et les grandeurs cr^ — s^ deviennent toutes infiniment petites, l'on obtient, en désignant les
>L 11 L'ÉVANOUISSEMENT DES FONCTIONS THÊTA. ''i
dérivées dew(rt, ù. . . ., \-p) comme précédemmenl (i), § IV,
I ii V',-1-^-
