V.=mv=p /n

du:;

n ii *

où les sommations au numérateur sonl relatives à v,. v2 vm.

\ - à peine nécessaire de remarquer, et que le choix du signe es! indifférent puisqu'il n'a aucune influence sur la valeur de

il s4, s2 S/ji y Ci, ~j Cm '• el (]ut' 1 ou lK',lf introduire

simultanément au numérateur et au dénominateur, aux lieu cl place : - randeurs du'/ . du/ , . . ., dufi , les grandeurs ç>j(*|j., Sji)j

-. ■ . r ?/»(*iu 3 M"' '''"'' s"nl proportionnelles.

De l'équation que l'on peut déduire de (2), (3) et (4) et qui esl démontrée exacte pour le cas où

esl égal à zéro et où

est différent de zéro, l'on conclut que

ne peut être différent de zéro, lorsque les fonctions *3[m) ( v (/'/)) sont toutes nulles.

Par conséquent, lorsque les fonctions 3 m+i) (v(rv)j sont toutes égales à zéro, de l'exactitude de l'équation

222 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PURLIÉS PAR R1EMAINN.

pour /? =m, résulte son exactitude pour n = m-\- i. Si l'équation est donc exacte pour n = o, c'est-à-dire si 2n v (/\)) = o, et

si les dérivées de la fonction S? (v (rv)j, depuis les premières jus-

qu'aux mièmes, s'évanouissent toutes pour v (cv= rv), cela au con-

traire n'ayant plus lieu pour toutes les (m + i)ièmes dérivées, alors

l'équation est exacte aussi pour toutes les valeurs plus grandes

de n, jusqu'à n = m, mais ne l'est plus pour n=m-\- i ; en effet,

dans ce dernier cas, si l'on avait

il faudrait, comme nous l'avons déjà trouvé, que toutes les grandeurs 2f(»*+0 (v(/-v)) s'évanouissent.

Réunissons ce qui vient d'être démontré aux propositions précédentes, nous obtiendrons alors le résultat suivant :

Si S7(/"i, r2, • • • , ''p) = o, l'on peut déterminer (j> — i) points "lu »Ja> • • •} ri/>-i> Lels (lue

et réciproquement.

Lorsque, outre la fonction 2î(('i, r2, . . ., c/(), ses dérivées également, depuis les premières jusqu'aux /?îiemes, sont toutes nulles pour

fi = ru t>2 = t'i, • • -, Vp = /'/;,

cela au contraire n'ayant plus lieu pour toutes les (m+ i)ièm*s dérivées, alors m d'entre ces points 'f\ peuvent être choisis arbitrairement, sans que les grandeurs /' éprouvent de variation, et les