S II

Dans le cours des considérations que nous venons de présenter, nous avons d'abord séparé les rapports d'étendue ou de région des rapports métriques, et nous avons trouvé que, pour les mêmes

BYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDRMENT V LA GÉOMÉTRIE. 2QO

rapports rTélendue, on pourrait concevoir différents rapports métriques; nous avons ensuite cherché les systèmes de déterminations métriques simples, au moyen desquels les rapports métriques de l'espace ><>ui complètement déterminés, ei dont toutes les propositions concernant ces rapports sonl des conséquences nécessaires. Il nous reste maintenant à examiner comment, à quel degré et avec quelle extension ces hvpothèses sont confirmées par l'expérience. V ce point de vue, il existe, entre les souples rapports d'étendue et les rapports métriques, cette différence essentielle que, dans les premiers, où les cas possibles forment une variété discrète, les résultats de l'expérience ne sont, à la vérité, jamais complètement certains, mais ne sont pas inexacts ; tandis que. dans le second, où les cas possibles forment une variété continue. toute détermination de l'expérience reste toujours inexacte. quelque grande que puisse être la probabilité de son exactitude approchée. Cette circonstance devient importante lorsqu'il s'agit d'étendre ces déterminations empiriques au delà des limites de l'observation, dans l'immensurablement grand ou dans l'immensurablement petit: car les seconds rapports peuvent évidemment devenir de plus en plus inexact-, dès que l'on sort des limites de l'observation, tandis qu'il n'en est pas de même des premiers.

Lorsqu'on étend les constructions de l'espace à l'immensurablement grand, il faut faire la distinction entre l'illimité et l'infini; le premier appartient aux rapports d'étendue, le second aux rapports métriques. Que l'espace soit une variété illimitée de trois dimensions, c'est là une bvpotbèse qui s applique dans toutes nos conceptions du monde extérieur, qui nous sert à compléter à chaque instant le domaine de nos perceptions effectives et à construire les lieux possibles d'un objet cherché, et qui se trouve constamment vérifiée dans toutes ces applications. La propriété de l'espace d'être illimité possède donc une plus grande certitude empirique qu'aucune autre donnée externe de l'expérience. Mais l'infinité de l'espace n'en est en aucune manière la conséquence: au contraire, si l'on suppose les corps indépendants du lieu, et qu'ainsi l'on attribue à l'espace une mesure de courbure constante, l'espace serait nécessairement fini, dès que cette mesure de courbure aurait une valeur positive, si petite qu'elle fut. En prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions

initiales silures dans un élément superficiel, on obtiendrait une surface illimitée de mesure de courbure constante, c'est-à-dire une surface qui, dans une variété plane de trois dimensions, prendrait la forme d'une surface sphérique, et qui serait par conséquent finie.

6 III

Les questions sur l'immensurablement grand sont des questions inutiles pour l'explication de la nature. Mais il en est autrement des questions sur l'immensurablement petit. (Test sur l'exactitude avec laquelle nous suivons les phénomènes dans l'infinimenl petit, que repose essentiellement notre connaissance de leurs rapports de causalité. Les progrès des derniers siècles dans la connaissance de la nature mécanique dépendent presque seulement de l'exactitude de la construction, qui est devenue possible, grâce à l'invention de l'analyse de l'infini, et aux principes simples découverts par Archimède, par Galilée et par Newton, et dont se sert la Physique moderne. Mais dans les Sciences naturelles, où les principes simples manquent encore pour de telles constructions, on cherche à reconnaître le rapport de causalité en suivant les phénomènes dans rétendue très petite, aussi loin que le permet le microscope. Les questions sur les rapports métriques de l'espace dans l'immensurablement petit ne sont donc pas des questions superflues.

Si l'on suppose que les corps existent indépendamment du lieu, la mesure de courbure est partout constante, et il résulte alors des mesures astronomiques qu'elle ne peut être différente de zéro; dans tous les cas, il faudrait que sa valeur réciproque fut une grandeur en présence de laquelle la portée de nos télescopes serait comme nulle. Mais si cette indépendance entre les corps et le lieu n'existe pas, alors, des rapports métriques reconnus dans le grand, on ne peut rien conclure pour ceux de l'infinimenl petit; alors la mesure de courbure de chaque point peut avoir suivant trois directions une valeur arbitraire, pourvu que la courbure totale de toute portion mesurable de l'espace ne diffère pas sensiblement de zéro; il peut s'introduire des rapports encore

plus compliqués, lorsqu'on ne suppose plus que l'élémenl linéaire puisse être représenté par la racine carrée d'i expression différentielle du second degré. Or, il semble que les concepts empiriques, sur lesquels sonl fondées les déterminations métriques de l'étendue, le concepl du corps solide el relui du rayon lumineux,

--eut de subsister dans l'infinimenl petit. Il est doue très légitime de supposer que les rapports métriques de l'espace dans ('infiniment petit ne sont pas conformes aux hypothèses de la G umétrie, el c'est ce qu'il faudrait effectivement admettre, du moment où l'on obtiendrait par là une explication plus simple des phénomènes.

La question de la validité des hypothèses de la Géométrie dans l'infinimend petit est liée avec la question du principe intime des rapports métriques dans l'espace. Dans cette dernière question, que l'on peut bien encore regarder comme appartenant à la doctrine de l'espace, on trouve l'application de la remarque précédente, que, dans une variété discrète, le principe '\c> rapports métriques est déjà contenu dans le concept de cette variété, tandis que, dans une variété continue, ce principe doit venir d'ailleurs. Il faut donc, ou que la réalité sur laquelle est fondé l'espace forme une variété discrète, ou que le fondement des rapports métriques soit cherché en dehors de lui. dans les forces «le liaison qui agissent en lui.

La réponse à ces questions ne peut s'obtenir qu en partant de la conception des phénomènes, vérifiée jusqu'ici par l'expérience, et que \e\vton a prise pour base, et en apportant à celte conception les modifications successives, exigées par les fails qu'elle ne peut pas expliquer. Des recherches parlant de concepts généraux., comme l'étude que nous venons de faire, ne peuvent avoir d'autre utilité que d'empêcher que ce travail ne soit entravé par des vues trop étroites, et que le progrès dans la connaissance de la dépendance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés traditionnels.

Ceci nous conduit dans le domaine d'une autre science, dans le domaine de la Physique, où l'objet auquel est destiné ce travail ne nous permet pas de pénétrer aujourd'hui.

TABLE DES MATIÈRES

Paragraphes. Pages.

Plan de cette étude >8o

A. — Concept d'une grandeur de n dimensions ( ' ) 181

I. Variétés continues et discrètes. Les parties déterminées d'une va-

riété sont dites des quanta. Division de la doctrine des grandeurs continues en :

i° Doctrine des simples rapports d'étendue, dans laquelle on ne suppose pas que les grandeurs soient indépendantes du lieu:

2° Doctrine des rapports métriques, dans laquelle cette indépendance doit être supposée. >s «

II. Génération du concept d'une variété d'une, de deux. ... de n di-

mensions >S3

III. Réduction de la détermination de lieu, dans une variété donnée, à

des déterminations de quantités. Caractère essentiel d'une variété

de n dimensions (8^

B. — Rapports métriques dont une variété de n dimensions

est susceptible (-), dans l'hypothèse où les lignes possèdent une longueur indépendamment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne

I. Expression de l'élément linéaire. On considère comme planes les

variétés dans lesquelles l'élément linéaire est exprimable par la racine carrée d'une somme de carrés de différentielles complètes. jSfi

II. Etude des variétés den dimensions, dans lesquelles l'élément linéaire

peut être représenté par la racine carrée d'une expression différentielle du second degré. Mesure de leur écart de la planarité (mesure de courbure) en un point donné et suivant une direction superficielle donnée. Pour la détermination de leurs rapports métriques, il est (sous certaines restrictions) nécessaire et suffisant que l'on donne arbitrairement en chaque point la mesure de

courbure suivant n ■ directions superficielles ,ss