SURFACES D'.URE MIXIM.V POUR UN CONTOUR DONNÉ

8 VI

Si les équations (3) et (4) sont intégrées, l'on obtiendra facilement aussi l'aire de la surface minima elle-même, c'est-à-dire

Le déterminant fonctionnel (dydz) sera transformé comme il

suit :

(dy dz dy dz

— - (ds ds' )

I \ Or <)./■

' drt\ dt[ .

D'où

ii S

i , Or O.r ,

/* /* / (te dr ds rV 'As- ds' . , ,

A»)' 0ri <)ri 0rl dt\ )

Pour transformer encore cette expression, l'on peut exprimer y au moyen de \ et V, 3 au moyen de Z et Z', de même que x est exprimé au moyen de X et X'; l'on obtient ainsi les équations

*=f¥drn X'=fd*d1,

J an J oc;

Y= f^dr„ Y'= f%dn',

J àrt J Or '

— I — ~ df. Z' — I — , cir' :

a? = X-t-X', ti = X — X',

jK = Y — Y'. pi'^Y — Y',

3l4 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

On en conclut alors

j s = — i f f [ i dX dX ) + ( dX d\' n- (dZ dZ' ) ]

/ = - / / l(dxdt) ~(dyd\)) -+- (dz d})].