SORFACBS D'AIRE MINIMA. POUR UN CONTOUR DONNÉE

d'où

J\- --«/Y- dl? =o,

d\- -rfY's -dZ'» = o.

Le rapport de deux quelconques des précédents carrés d éléments linéaires est indépendant de dt\ et rfVi c'est-à-dire de la direction de l'élément; or c'est précisément sur cela que repose la similitude de' la représentation dans les [dus petites parties.

Puisque l'agrandissement linéaire dans la représentation en un point quelconque est le même dans toutes les directions, l'on obtient, pour l'agrandissement de la surface, le carré de l'agrandissement linéaire. Mais le carré tic l'élément linéaire sur la surface

minima es! égal au double de la somme des carrés des cléments lier

néaires correspondants sur les plans des V. des Y et des Z. Par pient. l'élément de surface sur la surlace minima est égal au double de la somme des éléments de surface correspondants sur ces plans. 11 en est de même de toute la surface et de ses représentations sur les plans des X, des \ et des Z.

§ VIII

On peut encore tirer une conséquence de haute importance du théorème relatif à la similitude en les plus petites parties, en introduisant une nouvelle variable complexe y,,, de manière à transporter le pôle de la sphère en un point quelconque (r\ = y.) en choisissant arbitrairement le méridien initial. Alors y,, avant la même interprétation dans le nouveau système de coordonnées que y, dans l'ancien, l'on peut représenter un triangle infinitésimal de la sphère sur le plan des y,, aussi bien que sur le plan des y,. Les deux représentations ainsi obtenues sont alors aussi des représentations l'une de l'autre semblables en les plus petites parties. Dans le cas de la similitude directe, on reconnaît de suite sans discussion que -y^ est indépendant de là direction du déplacement de y,, c'est-à-dire que y,, est une fonction de la variable complexe y,. Le cas de la similitude inverse (symétrique) peut se ramener au précédent en remplaçant r, , par la grandeur complexe conjuguée.

Maintenant, pour exprimer y,, comme fonction de r,, on doit observer que ym = o est le seul point de la sphère où 7| = a, et que •/), =z oo est le point antipode, c'est-à-dire en y, = •

De là résulte

Pour déterminer la constante c on observera que, lorsque = [3 pour r, = o, l'o On a, par conséquent,

7|| = [i pour y, r= o, l'on a par cela même y^ = — ^ pour r, = oc.

P = — C* et — Ô7 = -,»

c'est-à-dire

On en conclut ce' -— i et, par suite, c = e0' pour 9 réel. Les grandeurs a et 9 peuvent prendre des valeurs quelconques; a dépend de la position du nouveau pôle et 9 de celle du nouveau méridien initial. Ace nouveau système de coordonnées sur la sphère correspondent les directions des axes d'un nouveau système de coordonnées rectangulaires.

Dans le nouveau système, xh, st, s\ pourront désigner la même chose que x, s, s' dans l'ancien. On obtient alors les formules de transformation

'il — r e 5 la 7]

+ a«Vi = 0 — aot')r— a'»' -h a s',

-— aa' ) Si e~ ®' = • — 2 a.r - - 5 — or2 s',

-+- aa') s't e™ = ■ — 2 a'37 — a'2s -+- s'.