SURFACES DAIRB MINIMA POUR IN CONTOUR DONNÉ. OIJ

Il sera awntageux, par suite, d'introduire une nouvelle grandeur complexe // définie par L'équation

J \ rflogl) ' '

et qui est indépendante de la situation du s\slèmc de coordonnées i /'.v. r . Si l'on parvient alors à déterminer u comme fonction de r,, l'on obtient

X= - l I { -r- rflogT) + i / — , ,/lo-r :

. ' -. r .. J \alog

.r est la distance du point correspondant à r, de la surface minima à un plan mené par l'origine des coordonnées perpendiculairement à la direction rj = o.

On obtient la distance de ce même point de la surface minima à un plan passant par l'origine des coordonnées et perpendiculaire à la direction t\ = a, en remplaçant y, dans l'équation (8) par — ' — -'— r'u . ()n a donc en particulier, pour tx= i et 'J. i.

9 y- -ï/(5^)'(T<"^)rfIogv U(^k V-v^v.

' 10 5= / | ,, — | (t.— - ] il02T\ / ( -r: ;) ( T.'—- . j l\ogT\ .

ij //logr, ' , ' ' ij WlogV/ \ 17

Il s'agit de déterminer la grandeur m comme fonction der,, c'està-dire comme fonction uniforme du lieu sur la surface qui, étendue sur le plan des r,, représente la surface minima en conserva ni la similitude en les plus petites parties. Avant tout se présente alors la considération des discontinuités et des points de ramification de celte représentation. Dans cette recherche il convient de faire une distinction entre les points à l'intérieur de la surface et les points du contour d'encadrement.

S'agit-il d'un point à l'intérieur de la surface minima, l'on choisira ce point comme origine du système de coordonnées (#, y, z), l'axe des x positifs coïncidant avec la normale positive,

3l8 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

le plan des y, tétant par suite le plan tangent. Alors, dans le développement de x, manquent le terme indépendant de x et les termes multipliés par y et z. En choisissant une direction convenable pour l'axe des y et celui des ,z, on peut aussi faire disparaître le terme multiplié par y;. L'équation aux dérivées partielles de la surface; minima se réduit donc dans ces hypothèses, pour des valeurs infiniment petites de y et z, à

(l-.r il'.r

La mesure de la courbure est donc négative; les rayons de courbure principaux sont égaux entre eux et de signes opposés. Le plan tangent partage la surface en quatre quadrants, lorsque les rayons de courbure ne sont pas =00. Ces quadrants sont situés alternativement de part et d'autre au-dessus et au-dessous du plan tangent.

Si le développement de x commence d'abord par des termes d'ordre n, (n^> 1) les rayons de courbure sont infinis, et le plan tangent partage la surface en m secteurs, qui sont situés alternativement au-dessus et au-dessous de ce plan, et qui sont partagés en deux parties égales par les lignes de courbure [2].

Maintenant, si l'on veut regarder X comme fonction de la variable complexe Y, l'on obtient, dans le cas des quatre secteurs,

logX — 1 log Y -+- fonct. continue,

dans le cas des in secteurs

logX = n log Y -+- fonct. continue.

Et, comme on a, en vertu de (8 ") et (9 .

,7Y ~ T^rp

le développement de r, dans le premier cas commence par la première puissance de Y, dans le second cas par la (n — i)ième. Inversement, lorsque "Y doit être envisagé comme fonction de ■/), le développement procédera donc dans le premier cas suivant les

puissances entières de 7), dans le second suivant les puissances

entières de r/'-1. C'est-à-dire : ou bien la représentation sur le

surfaces d'aire MIMMA POUB IX CONTOUR donm:. 3 19

plan des r, tle possède pas au point en question de point de ramification, ou bien v possède un point de ramification (n — a)-uple, selon que c'est ou bien le premier ou bien le second cas qui se nte.

Quant à u, l'on a

du il 11 d logl\

d log Y ~~ d log 1, rflog \

et. par conséquent, en vertu tle l'équation

du . d\ ri (dt\ * Y«

d\^\ ~2' 7ht i — ^ \d~\ ':) v '

On a donc, en un point de ramification (n — 2)-uple de la représentation sur le plan des y .

1 dy n 1 1/ e

l°ï ~n — ir — — toc 1 -+- tonct. coni.. c'est-à-dire

log -==; = ( 1 ) losrY + fonct. cont.

0 dY \i ) °