S XI

Dans ce qui suit, nous bornerons d'abord notre étude au cas où le contour d'encadrement donné est formé par des lignes droites. Alors la représentation de l'encadrement sur le plan des t\ peut être pratiquée effectivement. Les normales menées en des points quelconques dune ligne droite d'encadrement sont situées dans des plans parallèles, et la représentation sur la sphère est, par suite, un arc de grand cercle.

Dans l'étude d'un point situé sur une ligne droite d'encadrement, prenons comme précédemment ce point pour origine des coordonnées, l'axe des x positifs coïncidant avec la normale positive. Alors toute la ligne d'encadrement est située sur le plan des y, z. La partie réelle de X est donc = o sur toute la ligne d'encadrement. Par conséquent, lorsque sur la surface minima on décrit autour de l'origine un circuit à partir d'un point du contour pour revenir au contour par l'intérieur de la surface en un point

qui suit le premier, l'argument de X doit varier de jitz, un multiple entier de iz. L'argument de Y variera simultanément de t:. On a donc, comme précédemment,

logX = n log Y -+- fonct. cont.,

logTj = (n — i) logY -f- fonct. cont., , du In \ , . .

g dY = ( . ■! ~~ ' / g + l* cont'

Au point considéré du contour correspond ainsi un point de ramification (n ■ — a)-uple de la représentation sur le plan des r,. Dans cette représentation, la partie d'encadrement qui suit le point fait avec celle qui le précède un angle égal à [n — 1)7:.

§ XII

Quand on passe d'une ligne d'encadrement à la suivante, nous devons distinguer deux cas : ou bien ces lignes se rencontrent en un point d'intersection situé à distance finie, ou bien elles s'étendent à l'infini.

Dans le premier cas, soit a- l'angle compris sur la surface minima entre les deux lignes d'encadrement. Si l'on prend comme origine des coordonnées le sommet de cet angle, l'axe positif des x coïncidant avec la normale positive, alors sur ces deux lignes de contour la partie réelle de X est = o. Quand on passe de la première ligne d'encadrement à la suivante, l'argument deX varie de mn, multiple entier de -, l'argument de Y de cor. On a donc

— logX = lo« Y + fonct. cont.,

1 ) losrX = logr -+- fonct. cont..

dU 1 '" \ 1 -\r r

lo<2' —rr- — { — — 1 loe 1 - tonct. cont. 0 dY \ia ! p

Si la surface dans le second cas s'étend à l'infini entre deux droites d'encadrement successives, on prendra pour axe des x positifs la ligne la plus courte qui joint ces deux lignes d'encadré-

SURFACES D'AIRE MINIMA. POl'R UN CONTOUR DONNÉ. 321

mont, parallèle à la normale positive à l'infini. Soit A la longueur de celle plus courte droite et soit a- l'angle que remplit la projeclion île la surface minima sur le plan des yz. Alors les parties réelles deXet tlogr, restent finies eteontinues à l'infini et prennent une valeur constante sur les droites d'encadrement. On a donc ainsi ( pour y = 00, s x :

\- — - - logïj -+- fonct. cont. ,

logT] - fonct. cont..

V — 1- fonct. cont. [31.

Si Ton l'ait coïncider Taxe .r, d'un système de coordonnées avec une ligne droite d'encadrement, l'axe x2 d'un autre système avec la deuxième ligne d'encadrement, etc., sur la première ligne Iog7)|, sur la seconde logvjo, etc., sont des imaginaires pures, car la normale est respectivement perpendiculaire à l'axe des .r,,

des.ro, etc. Par conséquent, i , ' — est réel sur la première ligne

1 dlOgT]| l °

dx* , d'encadrement, i , ' — l'est sur la seconde, etc. ' ologïja

Mais, puisque l'on a toujours aussi, pour un système quelconque

de coordonnées .r.v.z .

/ ■ ,jx 71 . /• àx\ ,, / . dx<,

1 / 1 — . a logr. = i / 1 —. a lO£T7ii = i / 1—1 — - — cl \0sr\1

on reconnaît que, sur chaque ligne droite d'encadrement,

/ • àx au = [ / 1 — d lojr r\

a des valeurs ou bien réelles, ou bien imaginaires pure

§ XIII

La surface minima est déterminée pourvu que l'on puisse exprimer une des grandeurs u, r,,X,Y, Z par l'une de celles qui restent. On peut y arriver en bien des cas. Parmi ceux-ci, l'on remarque

particulièrement ceux où ». est une fonction algébrique de r,.

Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que la représentation sur la sphère et les prolongements symétriques et congruents de cette représentation forment une surface fermée qui recouvre simplement ou multiplement toute la sphère.

En général, il est difficile d'exprimer directement une des grandeurs u, rn X, Y, Z par l'une de celles qui restent. Mais, au lieu de cela, l'on peut exprimer chacune de ces grandeurs comme fonction d'une nouvelle variable indépendante convenablement choisie. Nous introduirons une variable indépendante t telle que la représentation de la surface sur le plan des t recouvre simplement la moitié du plan infini, et nous choisirons le demi-plan où la partie imaginaire de t est positive. Il est, en effet, toujours possible de déterminer t comme fonction de u (ou de l'une quelconque des grandeurs restantes y\, X, Y, Z) sur la surface, de telle sorte que la partie imaginaire soit =o sur le contour, et qu'en un point quelconque (a = b) du contour la fonction soit infinie du premier ordre, c'est-à-dire telle que l'on ait

ron«t .

/ = t -+- fouet, cont. (u = 6).

L'argument du facteur de r est déterminé par la condition

que la partie imaginaire de t soit = o sur le contour, et soit positive à l'intérieur de la surface. Il ne reste donc d'arbitraire dans l'expression de t que le module de ce facteur et une constante additive.

Soient :

t = «n a-2, • . • pour les points de ramification à l'intérieur de la

représentation sur le plan des 7) ; / = bl} b2- • • • pour les points de ramification sur l'encadrement

qui ne sont pas des sommets; t — d} c2, • • • pour les sommets; £ = eu e2, • • • pour les secteurs s'étendant à l'infini.

Pour simplifier, nous supposerons que toutes les grandeurs <7, b, c, e sont situées dans le domaine des grandeurs finies sur le plan des t.

SURFACES D'AIRE Ml.M.MA POUR UN CONTOUR DONNÉ. 323

On a aloi 'S

pour t = a,

. du (n . . ,

log — = i i | iog(t — a tonct. cont. :

pour t = b.

du / n , , x ,

log — = i t ) log( t — b ) -t- fonct. cont . :

pour t = c,

log j- = ( i ) log i t — c> - tonct. cont. :

lûur t

/A a u= i/ - iog(t — e) — fonct. cont.

On peut borner la recherche au cas n =3, m = i, c'est-à-dire au cas de points de ramification simples, et en déduire le ca- général en faisant coïncider ensemble plusieurs points de ramification simples.

Pour former l'expression pour —j- ■> on observera que le long

du contour dt est réel, et du soit réel, soit imaginaire pure. Par

conséquent j est réel lorsque t est réel. Cette fonction peut

être prolongée d'une manière continue au delà de la ligne des valeurs réelles de £, si l'on ajoute cette donnée que, pour des valeurs conjuguées t et t' des variables, la fonction devra également

avoir des valeurs conjuguées. Alors ( —r- ) est déterminé pour tout

dt le plan des £, et cela d'une manière uniforme.

Soient a\. a'.,. ... les valeurs conjuguées de a{. a2, ... et désignons le produit it — a, ) t — a2)--- par 13 (t — a). On aura alors

Ç /U(t — a)n(t — a')U(t — b) const . dt

iij u = const. — fl/ • =r =-, •

Jy U{t — c) U(t — e)

Les constantes «, b, c. ... doivent être déterminées de telle sorte que l'on ait

/ — — log( t — e) — lonct. cont.

pour t = e.

Pour que u demeure finie et continue pour toutes les valeurs de /, hormis a, 6, c, e, le nombre de ces dernières valeurs doit satisfaire à une relation. 11 faut que la différence entre le nombre des sommets et le nombre des points de ramifications situés sur le contour surpasse du nombre 4 le double de la différence entre le nombre des points de ramifications intérieurs et le nombre des secteurs qui s'étendent à l'infini. Si l'on pose, pour abréger,

(t — a)U(t — a')U(t — b) = o(t), II(* — c)JI(t — e)2 =x(Oi

c'est-à-dire

dit / 7cp ( t i

— - = const. i / -—-

dt y x(0

alors la fonction entière tp(?) est de degré v — [\ lorsque '/(/) est de dearé v. Ici v désigne le nombre des sommets augmenté de deux fois le nombre des secteurs qui s'étendent à I infini.

§ XIV

11 reste encore à exprimer r( comme fonction de t. On n'y parvient directement que dans les cas les plus simples. En général, on adoptera la méthode suivante : Soit v une fonction de t que l'on déterminera plus loin d'une manière plus précise, mais que nous supposerons connue pour l'instant. Dans les équations (8),

(q), (k>) il s'agit essentiellement de y. > que l'on peut aussi

écrire sous la forme -r- -j-, — • Le dernier (acteur peut être enviai a log v, J

sage comme le produit des deux facteurs

fdv , fcli

qui satisfont à l'équation différentielle du premier ordre