SURFACES D'AIRE HINIMA POOR UN CONTOUR DONNÉ

ainsi qu'à%selle du second ordre

ki dv'2 A 2 dvi

Par conséquent, réussit-on à exprimer L'un ou l'autre membre il cette dernière équation comme fonction de t, on peut établir une équation différentielle linéaire homogène du second ordre dont k\ et k-2 sont des intégrales particulières. Soit A l'intégrale

complète. Remplaçons -=-^ par l'expression équivalente

dv d-k dk d'-v ~dt ~dt* ~ dt <li-

dv dt

el nous obtenons pour/,- l'équation différentielle

dv d}k d-v dk dv "■ / t dîkl\

dl \(i- dt- dt~ dt) \k~x ~d^)

Soient alors K, cl k> deux, intégrales particulières indépendantes entre elles connues de l'équation (i5), dont le quotient

--= H fournil sur la sphère une représentation du demi-plan

positif des /. encadrée par des arcs de grands cercles. La même représentation peut être alors pratiquée par l'entremise de chaque expression de la forme

(16) n=fl0.__,

où 0 est réel et où a, a' sont des grandeurs complexes conjuguées. La fonction v doit être choisie telle que, pour des valeurs finies

de t, les discontinuités de T -7-7- ne soient pas situées autrement

k dv- l

qu'en les points a, a', b, c, c.

Si l'on pose

dv 1 1

dl

/<p(Ox(0 \7<"

la fonction T -=— - dans la région du fini n'est discontinue que

k dv2 ° '

pour les points a, a', b, c, el cela en devenant en chacun d'eux infinie du premier ordre.

On a notamment, pour t = c,

Par suite

d'où

\/f'(c) ï] — 7]c = const. ( i — c)Y.

= l/^=con«.(P-Pc)±-T,

i rfU- = i (t2-{)/'(c) .

On obtient des expressions analogues pour t = a, a', b en remplaçant ci-dessus c respectivement par a, a', b et y par le nombre 2.

Une recherche toute pareille nous apprend que pour t = e la

fonction r -7-7 reste continue.