te

dvi ' dv\ \} dvx ' J " ^4 t-

id* xr

La fonction dans le premier membre est finie pour t = co. Par suite, au second membre on doit écrire que les coefficients respectifs de t- et de /, dans les développements de £~2v+8F(f) et de

a2 — r— — , sont égaux.

Pour le développement de y.1 — = — -

un calcul simple donne

rf[*-V+*./Y*)]

Il reste donc dans F(£) encore av — y coefficients indéterminés. Mais il est important d'observer que ceux-ci doivent être réels. En effet, au § XII nous avons trouvé que du doit être réel ou imaginaire pure sur toutes les lignes droites d'encadrement de la surface minima, et doit, par suite, l'être de même en chaque point de l'encadrement des représentations. En vertu de l'équation (i- ), il en est de même de dv. On peut en déduire que, pour

les valeurs réelles de t. la fonction T —r-r possède nécessairement 7 k dv'2 l

des valeurs réelles.

Pour en effectuer la démonstration, considérons la représentation sur la sphère de rayon î et prenons une portion quelconque du contour, par conséquent un arc d'un certain grand cercle. Menons à la sphère le plan tangent au pôle de ce grand cercle et

3i8 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMAN.N.

prenons-le pour plan des 7H. Alors les grandeurs constantes a, , a,, 8, peuvent être déterminées de telle sorte que

l -H <t\ Il

et nous obtenons deux fonctions

qui sont des intégrales particulières de l'équation différentielle (i5). Nous avons, par suite,

k (/r- k\ tA'-

La portion du contour considérée est représentée sur le plan desYM par l'entremise de l'équation

et, lorsque l'on porte cette valeur en À',, l'on reconnaît aisé-

ment que, sur la partie de contour en question, p y-1 est réel.

1 ar suite, il en est de même de T -,— - et, comme ces raison ne-

ments peuvent s'appliquer à chacune des portions du contour,

-t — r-r est nécessairement réel sur tout le contour.

A- at>2

Mais maintenant, pour c/r réel ou bien imaginaire pure, la fonc-

m — — —-^ est alors aussi kl av2

d'une manière plus générale

tion -r-r —r~ est alors aussi elle-même réelle lorsque l'on pose

çp. I

1)1 = ?lff ,

en prenant le module p, constant.

Par conséquent, pour que l'axe des quantités réelles soit effectivement représenté sur la sphère de rayon î, le long d'arcs de grands cercles, l'on doit en chaque partie d'encadrement avoir p1 = i . Cela fournit exactement autant d'équations de condition qu'il existe de lignes différentes d'encadrement données.

Dans ces considérations l'on a supposé tacitement, comme dans