XVI

Prenons pour contour d'encadrement trois lignes droites dont deux se coupent et dont la troisième court parallèlement au plan des deux premières.

Prenons pour origine des coordonnées le point d'intersection des deux premières droites, l'axe des x positifs coïncidant avec la normale négative; alors le point d'intersection a pour représentation sur la sphère le point r\ — vi. La représentation des deux premières droites sur la sphère sera formée par deux demi-grands cercles allant de r\ = x jusqu'en 7) = o. Soit y- l'angle compris entre eux. La représentation de la troisième ligne sera un arc de grand cercle qui, partant de r, = o. suit son cours jusqu'en un certain point où, changeant de sens, il retrace son propre chemin pour revenir au point y, = o. Soient — 3tî et "- les angles formés par cet arc avec les deux demi-grands cercles, en sorte que [3 et y sont des nombres pris en valeur absolue, et que l'on a

Pour obtenir la représentation sur le demi-plan des t, supposons t = x pour i\ =00, et supposons qu'au secteur infini entre la première et la troisième ligne corresponde t = b, qu'au secteur infini entre la seconde et la troisième ligne corresponde t = c, et qu'au point où change le sens de rotation de la normale sur la troisième ligne corresponde t = a. Alors a, b, c sont réels et c > a^> b. Aces déterminations correspond t\ = (t — b)? (t — c)ï. La valeur a dépend de b et de c. On a notamment

d\ogr, $(t — c)-±-y(t — b) dt (t — b ) ( t — c)

expression qui, pour le point où change le sens de rotation de la normale, doit être — o; l'on a, par conséquent,

p-t-Y On a ensuite, d'après les § XII et XIII,

(t — a Y1 dt

du - 4 /A(C"i)(^'^ (t-aY-dt

ou Lien, si Ton prend c — b = —

du = y/3 -+- V

du i

àiog^~ y/^a + Y)^^)J

/ du \- , . ///

-71 alogr = ;

Vrflogï)./ b ' (« — b){t — c)

et, par suite,

/ . /" rff . /* eft'

J {t — b)(t-^c) ~^lJ (f-

i r(t-bf(t-c^-<.t-by'Ut-c)-\

J ' ij ^t—b)(t—c)

(t'~ b)V(t'—cy~< t'- b)-P(t'—cY

{b) { - f -df.

: = i r (t ~ bf (i - c? + (t - b)-? (t - c)-^

ij {t — b)(t — c)

i r(t'—bf(t'—cy-h(f—b)° -i-J (t'—b)(t'—c)

dt'.

§ XVII

Prenons pour encadrement trois lignes droites qui se croisent (dans l'espace) et dont les plus courtes distances respectives entre elles soient A, B, C.

Entre chaque couple de lignes de contour la surface s'étend à