SURFACES D'AIRE MINTMA POUR UN' CONTOUR DONNÉ

l'infini. Soient a-. ^-. y- les angles formes par les directions suivant lesquelles les Lignes de démarcation des premier, second, troisième secteurs s'étendent à l'infini.

Supposons que pour les trois secteurs de la surface minima à l'infini on ait respectivement pour t les valeurs /= o, ce, i; on obtiendra alors

du \ s i dt ~~ /(i — /'

'ï(t) est une fonction entière du second degré. Ses coefficients seront déterminés par ce fait que l'on doit avoir :

pour t = o :

du \ y dlogt ~ \ ■!-

pour t = cc :

du /B3

dlogt \ ■-.

pour t = i :

du /Cï

dlo

g(i-n \ aie

On obtient ainsi

\y Cv BB , a(t) = — (i — t) '- t tli — t).

' 2 tt ■>. T. ■>.—

Selon cjue les racines de l'équation ©.(£)= o sont imaginaires ou réelles, la représentation sur la sphère renferme à son intérieur un point de ramification ou bien possède sur le contour deux points où change le sens de rotation de la normale.

Les fonctions

Idv fdv

ne sont discontinues relativement aux trois secteurs que lorsque

l'on prend

dv

Et la discontinuité de /.", est de telle nature que : pour t = o :

pour t = co :

pour / = i :

sont uniformes et différents de o et co. klt etk2 sont des intégrales particulières d'une équation différentielle linéaire homogène du

second ordre, que l'on obtient en représentant v -r-r à l'aide de 1 r k dv*

ses discontinuités comme fonction de t et en introduisant t au lieu

cfi k de v en -=-^ comme variable indépendante. A-t-on obtenu l'intégrale particulière A,, l'on obtiendra k2 à l'aide de l'équation différentielle du premier ordre

/ x / dk<> , dkx

Désignons l'intégrale complète de l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre par

Cette fonction satisfait essentiellement à des conditions toutes pareilles à celles énoncées comme définition de la fonction P dans le Mémoire Sur la série de Gauss F (a, (3, y, x) ( ' ).

Elle ne diffère de la fonction P que par ce fait que la somme des exposants est ici égale à — i et non à + i comme pour P.

On peut exprimer la fonction Q à l'aide d'une fonction P et de sa dérivée première. On a d'abord, en effet,

i a iv

k =«2 2(i-(pQ

(') Contribution à la Théorie des fonctions représentables par la série de Gauss F (a, p, y, x), page 6t.