XXXV

Lorsque dev^ agents quelconques , appliqués à une machine^ se font mutuellement équilibre; si on fait prendre à cette machine un mouvement géo^ métrique^ arbitraire; \^. les forces exercées par leJs agents y seront en raison réciproque de leurs vitesses estimées dans le stns de ces forces; Q^^.fune de ces puissances fera un angle aigu avec la direction de sa vitesse y çt l'autre y un angle obtus avec la sienne.

Car SI les forces exercées par les* agents , sont nommées F. et F' ; leurs vitesses u et u' ^ les angles formés par ces puissance^ et leurs vitesses z et z\ on aura par le théorème précédent, F u cos z ^ F' m' cos 2^ =^ q; donc i^: F i : — * m' cos z' ; u cos z , qui est la proportion énoncée par la première partie de ce corollaire, et par laquelle on voit en même temps que le rapport de cos z à cos"z', est négatif; d*où il suit que 1 un de ces angles est nécessairement aigu , et lautre obtus.

Deuxième Corollaire.

Principe général d équilibre dans les ma-^

chines à poids.

KXXVI.

Lorsque plusieurs poids appliqués A une. ma^ chine quelconque^ se font mutuellement équilibre ^^ si fon fait prendre a cette machine un mouvement quelconque géométrique ^ la vitesse du centre de gravité du système ^ estimée dans le sens vertical sera nulle au premier instant.

Car si Ton appelle M la masse totale du système , m celle dç chacun des corps qui le composent 5 u la Vitesse absolue de m , F la vitesse du centre de gravité estimée dans le sens vertical, g la gravité , z Tangle formé par u et par la direction de la pesanteur , on aura , suivant le théorème , s mgu cos z r= o 5 mais par les propriétés géométriques du centre de gravité , on ?i s n^ u dt cos z=^MVdty ou smgu cos z-=:z M Vg; donc , puisque le premier membre de cette équation est égal à zéro , le second 1 est aussi ; donc K = o , ce quilfalloît prouver.

Pour avoir toutes les conditions de Téquilibra dans une machine à poids > il n'y a donc qu a faire prendre successivement à la machine difFérents mouvements géométriques^ et égaler dans chacun de ces cas, la vîtesse verticale du centre â» gravité à zéro.

Troisième Corollaire. •

Principe général de Véquilibre entre deux

poids.

Lorsque deux poids se font mutuellement équi" libre 5 si l'on fait prendre à la machine un mouvement quelconque géoj:uétrique^

1^. Les vitesses de ces corps , estimées dans le sens vertical^ seront en raison réciproque de leurs poids.

Q^ L'un de ces corps montera nécessairement , fondis que Fautire descendra.

Cette proposition est une suite manifeste du corollaire précédent, et se déduit plus évidemment encore du corollaire premier.

On peut remarquer en passant , combien il est essentiel pour l'exactitude de toutes ces propositions, que les mouvements imprimés à l'a *machine soient géométriques , et non pas simplement possibles j car la plus légère attention fera, voir par quelque exemple particulier, que sang cette condition , toutes ces propositions seroient absurdes.

Remarque.

On prend ordinairement pour principe de Téquilibre dans les machines à poids , qu'alors le

(79) centre de gravîté du syâtême est au point le plu» bas possible ; mais on sait que ce principe n'est pas généralement vrai; car outre. que ce point pourroit dans certains cas ,' être au point le plus haut) il y en a une infinité d autres où il n'est ni au point le plus haut, ni au point le plus bas s par exemple , si tout le système se réduit à un corps pesant , et que ce mobilfe soit placé sur une courbe qui ait un point d*inflexion , dont la tangente soit horisontâle; il restera visiblement en ëqtiilibre , si on le . met sur ce point d'inflexion , qui n'est cependant ni le poids le plut "bas , ni le point le plus haut possible.

On peut encore prendre pour principe de Téquilibre dans Une machine à poids , la proposition que nous avons , déjà donnée (II) , et que nous allons rapporter encore , pour en donner la démonstration rigoureuse.

Pour s'assurer que plusieurs poids appliqués à une machine quelconque , doivent se faire mutuel^ ' lement équilibre j^ il suffit de prouver que si Von abandonne cette machine à elle-même , le centre d€ gravité du système ne descendra pas.

Pour le prouver , nommons M la masse totale du système, m celle de chacun des poids qui le composent, g la gravité; et supposons que si la machine ne demeuroit pas en équilibre, comme je prétends quelle doit le feire, la vitesse de m après le temps r, fût K, la hauteur dont ser oit

descendu le centre de gravité au bout du même temps H^ et celle dont seroit descendu le corps m hj on aura donc , (XXIV) s m g dh — $ m V rf F = o 5 donc en intégrant M g H :=z \ s m F * ; or par hypothèse H =: o , donc s m V^ :== 05 de plus V " est nécessairement positive comme il est évident; donc Téquation s m F* == o , ne peut avoir lieu sans qu'on n ait V = , c'est-à-dire 5 sans qu'il y ait équilibre 5 ce qu'il falloit prouver^

Il suit de-là, comme nous l'avons dit (Ili)it qu'il y a nécessairement équilibre dans un système de poids dont \e centre de gravité est au point le plus bas possible; mais nous venons de voir (XXXVIII) que l'inverse n'est pas toujours vraie, c'estrà-dire , que toutes les fois qu'il y a équilibre dans un système de poids ^ il ne s!ensuit pas toujours que le centre de gravité soit au point le plus bas possible.

Quatrième Corollaire.

Loix particulières d^ équilibre dans les

machinesi

s* il y a équilibre entre plusieurs puissances ap* pliquées à une machir{e , et qu ayant décomposé toutes les forces du système ^ tant celles qui sont

appliquées

appliquées à là machine , que celles qui sànt extr^ cées par les obstacles mêmes ou points fixes qui en font partie; si on les décompose^ dis-je^ chacune en trois autres parallèles à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux;

1^. La somme des forces composantes yqui sont parallèles à un même axe j et conspirantes vers un même côté^ est égale à la somme de celles qui^ étant parallèles à ce même axe , conspirent vers It coté opposé:

Q^. La somme des moments des fortes compôsa/ti' tes j qui tendent â faire tourner autour dun même cxcj et qui conspirent dans un même sens ^ es$ égale â la somme dès moments de celles qui tendent à faire tourner autour du même axe^ mais en sens contraire.

Pour démontrer cette propositicfti , eommeh* çon» par imaginer qu a la place de chacune des forces exercées par la rési&tance deà obtsâcles , on substitué une force active , égale à cette résistance , et difigéè dans le mêifte sehs 5 eè changement haltère point Tétat d'équilibre, et fait de ïa iriacKine un système dé pùissarïcés parfaitement Kbre , c est-à-dire , dégagé dé tout obstacle : cela posé , si Ion fait prendre à ce système un mouvement quelconque géométrique , on àiira par le théorème fondamental ^ Fu cos 2 == oy en nommant F chacune de ces force?, u sa vitesse, et * l'angle compris entre FetWy donc,

i^. Si Ton suppose que u soit la même pour tous les points du système et parallèle à Tun des axes quelconque, le mouvement sera géométrique, et l'équation à cause de u constante, se réduira à s F cos z = o: c est- à -dire, que la somme des forces du système, estimées dans le «ens de la vitesse w, imprimée parallèlement à cet axe , sera nulle 5 ce qui revient évidemment a la première partie de la proposition.

. 0?. Si l'on fait tournei? tout le système autour de l'un, quelconque, des axes, sans rien changer à la position respective des parties qui le <composent, ce mouvement sera encore géométrique^ u sera proportionnelle à la distance de chaque puissance à l'axe; et partant, pourra s'exprimer par A Ry R exprimant cette distance, et A .une constante ; donc , l'équation se réduira à s F R cos z = o ; ce qui , comme il est aisé de le voir, revient à la ^seconde partie de la proposition,

Cinquième Corollaire.

Loi particulière concernant les machines dont le mouvement change par degrés insensibles.

Dans une machine dont le mowçment changt par degrés insensibles , le moment d'activité i

consommé dans un temps donné par tes forces sollicitantes , est égal au moment d activité , exercé en même temps par les forces résistantes,

C est-à-dire , (XXXIII) , que le moment dac^ tinté 5 consommé par toutes les forces du système, pendant le temps donné , est égal p. zéro ; ce qui sera clair (XXXII), si Ton prouve que le moment d'activité , consommé à chaque instant par ces for*< ces 5 est nul : or , i^ exprimant chacune de xes forces , V sa vitesse , ^ langle compris entre F et r, ex dt l'élément du temps, le moment d^acti^ vite , consommé par toutes les. forces du système pendant dt^ est (XXXIII), * J? F cos T^dt; A faut donc prouver qu'on ^ s FV cos Zd tz=zq) ou s F V cos 1^=: o; or, cela est clair par le théorème fondamental: donc, etc.

La loi particulière dont il s'agit ici., e8t45eîitainement la plus importante de toute la théorie du mouvement des machines propren;ient dites^ en voici quelques applications particulières, en attendant le détail où nous ehtrérons à son sujet, dans le scholie qui succédera- au torollairé sui^ vant , et qui terminera cet Essai. . ,

Supposons donc*^, par exemple, que lés pUM« $ances appliquées à la machine., soient des poiHi i nommons 772 la masse de chacun de ces corps ^ M la masse totale du sy^me^ g la gravité^. .F ia

vitesse actuelle du corps m, JTsa yîtesse initiale, / le temps écoulé depuis le cotnirlencemeiit du mouvement , H la hauteur dont est descendu le •centre de gravité du système pendant le temps f , ,et enfin ^ Wla, vitesse due à la hauteur H.

Cela posé, il faut considérer qu'il y a deux sortes de forces appliquées à la machine; savoir: . <5elles qui viennent delà pesanteur des. corps ,^ et relies qui . viennent de leur inertie ou résistance xju'ils opposent à leur changement d'état , (note c (XXX)): or, (XXXII) le moment d'activité , consommé pendant le temps t par la première de ces forces, est pour tout le système MgH^ ou ^M W.^j voyons, maintenant quel est le montent datatiyité , consommé par la force d'inertie : la vitesse de m étant F, et devenaat l'instant d'aprè» -ff'usj- arf. K, il . est clair (note b (XXX) ) 5 que sa ferwtè.ld'iriertiec estimée dans le sens de F,, est m rf

î^^'tiu 'plutôt 77i--j7~-; donc, (XXX), le itioitient

activité , exercfé par cette force pendant d t , t>'- ■ d^ ■ ■ "■' ■ '■' - ■ qst^m. ; - V4P^ 9^^)¥4^i donc, le moment

d'activité, consort(«ï4par cette forœ d'inertie, pendant le temps t ^ est s m F </ F , ou en intégrant et complétant l'intégrale Ittz'F^ — \mK'^'^ donc lemo- • VBÊ&xt d'activité y consonimé en aaêine temps p^ la force ^'inertie , dïe .tous les coTps dû système, sera I ^ J7Z F * -r^ I y m if * ; or , <:ette inertie est une force Ksistante ,.. puisque c^est par «Ue que le» coxpt

résistent â leur changement d etàt ; et la pesanteur est ici une force sollicitante , puisque le centre de" gravité est supposé descendre 5 donc, par la proposition de ce corollaire, on doit avoir M W^ = s m V^ -^s m K^^ ou *.m V^=:::s m K ^ + M W^x c est-à-dire , que

Dans une machine à poids ^ dont le mouvement change par degrés insensibles ^ la somme des forces" vives du système , est après un temps quelconque^ donné ^ égale a la somme des forces vives initiales ; plus, la somme de force vive qui auroit lieu , si tous les corps du système étaient animés d'une vitesse commune , égale à celle qui est due à la hauteur dont est descendu le centre de gravité du système.