L - ■ ■■— OC

. ne sont exacts

été obtenu que par une compensation d'er- v^t par comreurs ; et cette compensation peut être ren-P*"'*^*°"^*"' due plus sensible encore en traitant l'exemple rapporté ci-<îessus d une manière un peu différente , c'est-â-dire , en considérant le cercle comme une véritable courbe et non pas comme un polygone.

Pour cela , par un point R , pris arbitrairement à une distance quelconque du point M;, soit menée la ligne RS parallèle à MP, et par les points R et M soit tirée la sécante R T' ; nous aurons évidemment T'P : M P ::

MZ : RZ , et partant T'P , ou TP + T'T

MZ "":

= MP ^n^- Cela posé , si nous imaginions

gue R S se ipeuyçuparallélement à elle-même en s'approchant continuellement de MP, il est visible que le p.oint T' s'approchera en même temps. de. plus en plus du point T, et qu'on pourra par conséquent rendre la ligne T'T aussi petite qu'on voudra sans que la proportion établie ci-dessus cesse d'avoir lieu. S^ dope je néglige cette quantité T'T dans l'équation quç je viefis-de.trouveî: , il en résultera à la vérité une erreur' dans l'équation

" ' * MZ*

TP = MP -^-7^ à laquelle la première sera

alors réduite ; mais cette erreur pourra être atténuée autant qu on le voudra en faisant approcher autant qu'il sera nécessaire R S de M P : c est-à-dire , que le rapport des deux membres de cette équation différera aussi peu qu'on voudra du rapport d égalité.

MZ ay + RZ

Pareillement nous avons ^^ ry — ïrrv

R Z Qû— Qx— MZ

(III) et cette équation est parfaitement exacte, quelle que soit la position du point R , c'està-dire 5 quelles que soient les valeurs de M Z et de R Z. Mais plus R S approchera de M P, plus ces lignes M Z et R Z seront petites ; et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation , l'erreur qui en résul-

tera dans l'équation ^ ju == -^ — à laquelle

elle sera réduite alors , pourra comme la première, être rendue aussi petite qu'on le jugera 7 à propos.

Cela étant , sans avoir égard à des erreurs que j€ serai toujours maître d'atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations

TP = MP ^-^ et ^^ = ^ que j^

vieijs de trouver, comme si elles étoient parfaitement exactes l'une et l'atitre ; substituant

donc dans ta dernière la valeur de ^^- tirée

de l'autre, j*^ p#ur résultat T P =

comme ci-dessus.

Ce résultat est parfaitement juste , puisqu'il est conforme à celui qu'on a obtenu par la comparaison des triangles C P M , MPT;

et cependant les équations T P = .p ^ ' et

MZ y i7 . ., ,^. ;. ,

T> ry = ^^ — 5 d OU il a ete tire , sont ceiv K Z a — x

tainement fausses toutes deux, puisque la distance dé R S à MP na point é^é' supposée nulle, ni mêmetrés-perite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des deux équations erronées.

Voilà donc le fait des erreurs conipensées Pourquoi bien acquis et bien prouvé 5 il s'agit mainte- *^*"* compen. nant de 1 expliquer , de rechercher le signe auquel on reconnoît que la compensation a lieu dans les calculs semblables au précédent, et les moyens de la produire dans chaque caa particulier.

Or, il suffit pour cela de remarquer quê les erreurs commises dans les équations ^^ MZ M 2 y

( 14Q ) être rendues aussi petites q|t'on le veut , celle ' qui auroit lieu , s'il s'en tr(?UTOit une dans

Téquation résultante T P —

pourroit

également être rendue aussi petite qu'on le voudroit, et qu'elle dépendroit de la distance arbitraire des lignes M P , R S. Or , cela n'est pas , puisque le point M par où doit passer la tangente étant donné 5 il ne se trouve aucune des quantités a ^ ^^ y ^ T P de cette équation qui soit arbitraire ; donc il ne peut y avoir en çiFet aucune erreur dans cette équation. '

Il suit de - là que la compensation deà çrreurs qui se trotzvpient dans les équations

TP

MZ MZ et

,' se mani-

-" RZ ^^ RZ a—x feste dans le résultat par l'absence des quantités MZy RZ qui causoient ces erreurs ; et que par conséquent , après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l'expression des conditions du problême , et les avoir traitées dans les équations qui exprimoient ces conditions comme nulles par comparaison aux quantités proposées ^ afin de simplifier ces équations , il n'y a qu'à éliminer ces mêmes quantités des équations oùj^les peuvent se trouver encore , pour faire

disparoîtxe les isrreurs qu*elles avoient occar sionnées , et obtenir un résultat qui soit parfaitement exact. r

L'inventeur a donc pu être conduit à sa découverte par un raisonnement bien simple :

si à la place dune quantité proposée ^ a-t-il pu dir^e ^ j emploie dans le calcul uiie autre quantité qui ne lui soit point égale , il en rér sultera une erreur quelconque ; mais si la différence des quantités employées Tune pour l'autre est arbitraire , et que je sois maître de la rendre aussi petite que je voudrai , cette erreur ne sera point dangereuse; je pourroig même commettre à la fois plusieurs erreurs semblables sans qu*ils s'ensuivît aucun inconvénient , puisque je demeurerai toujours maître du degré de précision que je voudrai donner à mes résultats. Il y a plus encore ; c'est qu'il pourroit arriver que ces erreurs se compensassent mutuellement , et qu'ainsi mes résultats devinssent parfaitement exacts. Mais, comment opérer cette compensation et dans tous ces cas ? C'est ce qu'un peu de réflexion aura pu faire découvrir ; en effet 5 aura pu dire l'inventeur , supposons pour un instant que la compensation désirée ait lieu, et voyons par quel signe elle doit se manifester dans le

( H4 ) résultat du calcul. Or, ce qui doit naturellement arriver , c est que les quantités qui occasionnoient ces erreurs ayant disparu j les erreurs aient disparu de même; car ces quantités ( telles que M Z , R Z) ayant par hypothèse des valeurs arbitraires, elles ne doivent plus entrer dans des formules ou résultats qui ne le sont pas , et qui étatnt devenus exacts par s^upposition 5 dépendent uniquement, non de la volonté du calculateur , mais de la nature des choses dont on s*étoit proposé de trouver la relation exprimée par ces résultats. Donc le signe qui anr^once que la compensa- Comment on ^^"' ^^^îrée a lieu est labsence des quantités peut opérer arbitraires qui produisoient ces erreurs j et

sitio Jercha" P^^^"^* > ^^ ^^ ^'^§^^ > P^^^ opérer cette commue cas parti- pensatiou ^ que d éliminer ces quantités ^bi- <^er. traires.

Pour fixer davantage ces idées , et donner aux principes qui en dérivent le degré de pré- .cisiôn et de généralité qui leur convient, je remarquerai que les quantités que nous avons eu à considérei: dans la question traitée peu- ^ vent se distinguer en deux classes*; la pre-

mière , composée des quantités qui , comme MC , MF , PT, MT, sont ou données ou «léterqiinées par les conditions du problême ;

et

et.k secdritie / composée des. Quantités qui'^ comme RS, RT', ST', dépendent de la position^bitraire du poiiitR^ eLtelks^n même temps, qua mesure que ce poii^^ R ^ rapproché du point M j chacune d'entré elle» fi'approche de sai^orresipondai]^ d^ns la preliiîète classe, en sorte :qu* M P, par temple, est la limite déRS, c'est-à-dire, le terme fixe dont elle apprdché continuellement, ou, sî io^n veut, Sa dernière Valeur; dé même M T est la limite ou dermêrè valeur de RT', et PT celle de ST' ; par la même raison , il-est çlàîr que les ïimîtés ou dernières valeurs de ÎVfZ, RZ, MR, T''T, sont toutes 0-.^ênfin^ iï est encore évidçnt que la dernière ràisoïi de R S à M P , c'est-à-dire, la dernière valeur

R S dé ~y est une raîsori d'égalité , dé même

qtie- celte do-RT' à MT, de ST' à PT^ ou , enfin , celle de toute autre quantité quek conque à sa limite* ^

Iniàgînôns donc maîriteriarit , pour étéiï-»

âte ces remarqués aux autres problèmes du même genre , un système quelconque de , quantités proposées, et qu'il soit question

. ( 1*6 ) de trouver les rapports qui existeiït entr©

elles. (*):

(*) Je stippôse. ici -que k qUéstiîJn proposée a été prcalaWement réduite à ttouver en efFet les 'rap* ports qui existent entre tcttes ou telles quantités proposées. Si, par exemple s. il s'agit de trou* ver une courbe qui ait une<:ertainç propriété? déterminée, je suppose qu'on ait préalablemjent

^ réduit cette question! trouver, le xî^pport qui existe entre telle ordonnée 4e cette courbe et l'abscisse correspondante^ de même , s'il s'agif de mener une tangente à un point quelconque indétermine de cette courbe , je commence

* par fixer arbitrairement le point par leqtiel je veuk mener cette tangente, et je réduis la ques^ tion^ trouver le rapport qui existe, par exemple , entre la sous-tangente et Tabscisse , ou entre Tordormee et la sous-normale correspondante à ce. même point. JMais si Ton me de^ mandôityj>ar exemple, comment j'appliquerois ma définition de rinfini qvL'Qii va voir, à cçg questions : La matière est-elle divisible à rinfini ? L'espace dans lequel existent tous les êtres créés estM infini ? et autres semblables ; je réponds que ma définition n'est que cel^e de l'iiifini mathématique ; qu'elle ne peut s'appliquer qu'aux questions dont Tobjet est uniquement de trouver les rapports qui existent entre telles et telles quantités , et qu'ainsi les quesl tions métaphysiques proposées ci-dessus, si tant

XÏV.

D*abor(î je comprendrai sous le nom de quantités désignées ^ non-seulement toutes les quantités qui sont proposées par l'énoncé même de la question, mais encore toutes celles ,q,ui dépendent de ces seules quantités , c'est-à-dire , qui sont fonctions de ces juènit^ quantités et d'aucune autre.