T'P MO

nent l'équation =rjp == r-—-; substituant TP'

àT'P qui en diffère infiniment peu, on aura

.. ' ^ • ^. TP MO cette équation imparfaite , ^rjg = ^r^jr ou

TP dx

— = — , la même que celle qui a été trouvée ci-dessus , et qui, combinée avec celle de la courbe^ me donnera le même résultat.

On peut encore , si Ion veut , appliquer à cette question la méthode des indéterminée»

sans rien changer au procédé du calcul. En effets après avojx trouvé les deux équation»

- . TP dx , bb

imparfaites — =--- et 2 v a v =. —

y ay . . aa

(aadx — » 2xdx) , j'ajoute mentalement à l'un des membres de la première, pour la rendre rigoureusement exacte , une quantité ip ; j'introduis pareillement dans la seconde une quantité ^' qui la rende d^ même rigoureusement exacte : les quantités sous-entendues p et ^' sont donc infiniment petites relativement à celles auxquelles on les ajoute mentalement. Cela posé , je compare les deux équations précédentes sans avoir égard à ces quan-

tites » et ; 1 équation 1 P = ,-7 ^ -^ ■ ^ ^ ^ b b a — •x

qui en résultera , pouvant n'être pas exacte , j'y ajoute encore mentalement une quantité"^" qui la rende telle. Mais comme cette quantité ^" ne peut qu'être infiniment petite , je reconnois bientôt qu'elle est absolument nulle, parce que les autres termes de l'équation ne renferment plus de quantités infinitésimales; car en faisant passer tous les termes- dans un seul membre , l'équation qui sera alors

(TP -^ 1L\ + (p" = o, ne pourra aa a — xj

avoir lieu suivant la méthpde des indéterminées , sans que chacun de ses termes en particulier ne soit égal à zéro j donc ^" = o,

et TP = — — — 5 comme ci-dessus, aa a-'^^c

En général , il est clair d'après ce qui vient d*être dit , que si Ton nomme P la sous-tangente d'une courbe quelconque , on aura Té-

quation imparfaite P = j/ t~; donc (XXXIV)

on aura Téquation rigoureusement exacte

Si Ton nomme Q langle compris entre la tangente de la courbe en un point quelconque et Tordonnée^correspondante 5 on aura évi-

demment, tang, Q :=: — et cot. Q == -^;

donc on aura les équations imparfaites ,

Qdx ^^ 'dv - . ,

= ~ et cot. Q =;= —> , ou les équations rigoureuses , tang, Q, =; Um. (-j^j ^t

<ot. 9 = Um, m.