XVI

Imagiftéii»Diaintenant quiam momept oh le èhoc va se faire, le. mouvement actuel du systênïè soit térut^MCxfUpiitëtftât^, et qthspctai fesse prendre à la place successivement deux autres mon» vemepts €ll*rîû%lAsV"^niâi«^^ é^ttprct^directement opposés l'un à Tautre, c'est-à-dire, qu*on te fasse partir suècessi^ment d^'sa l^olitif^aetuçUe, avec

deux mouvements tels qu'en vertu du retond ^ chaque point du système ait au premier instant une vitesse égale et directement opposée à celle qu il auroit eue en vertu du premier de ces mouvements; cela posé, il est clair, i®, que la figuré du système étant, donnée, cela peut se faire dune infinité de manières différentes, etpajfdes opération! purement géométriques 5 c'est pourquoi j 'appelle^ rai ces mouvemehts fnouvtifiehis géométriques \ c'està-dire , que il un système de corps part dune position donnée , ayec un mQuvemerjit arbitraire. , mais tel au il dût été possible aussi de lui enf(iir^ prendre un ^Lutre ^saut" à -fait égal et directement opposé ; chacun ée ces mouvements sera nomrné mouvement ( 1 )

(f) Fout ^ distinguer par un ejcemple très*siœple les

mouvements que y^pj^hUe^éomtfttiiptes, de ceux qui

ne le sont pgs,JmagmQmdii0c globes qui se pous^

;sent l^im^'autir^^ mais dit» reste libres & dégagés de

tout obstaide : iinprimons à ces globes des yijtesses

égales et dîdgéBssdana le même sens .suivant lu ligne

des centrcfi; cç^mouvement tst géométrique ^ parce

que les CDfpsi. pourroient de mente être mus en sens

. contaûre^nTecila ménie vitesse y somme il est évident :

mais supposons ipaintenant qu'on imprime à ces corps

des\moufemGnts égaux & dirigés dans la ligne des

centrés, mais qui. au lieu^d'étre ,. «>mme précédem-

. ment, dirigés dans le mâme «en») tendeiit au con«

•^ traire à lef;élblgner Tun de Vautre ; ces mouvements ,

: :. quoique) pcissibles , ne sont pas; ipe que j'entends par

momcmnts géomàriqu&$ puroc ^qu^ si T^m^i^uloit

gUomittrique ; of*. jexlfe^u'en vertu ée €« molïvement géométrique, ies^ cïorposcuks voisins qui peuvent

feirç prendre à chacun de ces mobiles une ^dtesse égale et contraire à celle qu'il reqoit dans ce premier mouvement, ont en serait empêché par l'impénétrabilité des.cotps. ..

De même; si denx. qôrps sojtt attaché» aux extrémitéji d'un fil inextensible, et qu'on fas^e prencire m système un mouvement arbitraire, mais tel que la distance des deux corps soit constamment égale à la longueur du fît, ce mouvement sera géométrique^ parce que les corps peuvent prendre un pareil niouviemeiâ: dana un sens tout contraire; tàiis û ces miiu l>iles se rapprochent Tun de rautr^ylemouveni^ ft!est point géométrique jfzrce qu'ils ne pourront prendre un mouvement égal et contraire, sans 8*élôi- ^gner Tun de Pautre; ce ^iest impossible, à cause de Tinextensibilité du fil.

: En générid il est évident que, quelle que soit la figure du système, st le nomtbre des corps, si on peut lui faire prendre un mouvement tel qu'il n'en résulte aucun changement dans- la position respective des corps, cç mouvement seai'^'amétrique s mais il «fee s'ensuit pas de là qu'il n'y «k, aucun autre moyen de satisfaire à eette conditioan ; comme nous allons le montrer par quelques exemples.

Imaginons un treuil à la roueet au eylindre duquel soient attachés des poids suspendus par des cordes: si l'on fait tourner la machiné, de manière que le poids attache à la roue descende d'unie hauteur égale à sa circonfereace , tandis que celui éa^ (qtlindfe mon« tcm d'une hauteur égde à la siei^^e, oe.monitment

ttte eensés m potri^r par une v^igt , eu se tirer tm fil^ ne 86 npprocheripnt ni ne s'éloigneront

Hmammàam iiiii mawiiWitii

sera géométrique , parce qu*!! est cgaîcment possible de fkirè descbidre le poids attaché au cylindre d'une hauteur égale à sa circonférence , tandis que le poids attscfaé à la roue monteroit d^une iiâuteur égale à la sienne; mais si tandis ^'on fem descendre le poids attaché k la roue dune hauteut égale à sa circonférence , on faisoit monter le poids attaché au' cylindre d'une hauteur plus grande que sa circonfiSrence, le mouvement ne seroît pas géo* métrique , parc^ que le mouvement égal et contraire seroît visiblement impossible.

Si phrsîeufs^ torps soiit attachés anix extrémités de différents fils réunis par les autres extrémités à un même noeud , et qu'on fasse prendre au système un mouvement tel que chacun des corps reste constam* ment éloigné dit noeud d'une même quaritité à la kmgueuT du fil auquel il est attaché ^ ce mouvement $etz, géométrique ^' quand même les différents corps se rap^rochereient lesiins des autres : mais si quelquesuns d*eiix se rapprochoient du noeud, le nieuvement ne •eroit plus géométrique^ parce que les fils étant supposés inextensibles , le mouvement égal et contraire aeroit visiblement impossible.

Si deux corps sont attachés aux extrémités d^in fil âass lequel sOit enfilé' un grain incèilè , il sufiira , j^Hf ^e le mouvement soit géométrique , que la iipmme des distances du grain mobile à chacun des deux autres corps , soit constamment égale à la 16n« guett^^du fi) ; de'softe que si ces deux corps sont fixés, le grim mobile mo soffira jpas d^une ooitrbe elliptique.

Y un de Tautietu premier iméant^ «'ett^à-dflOBy qu'au premier instant de ce mouveinenti^toxaé; trique , la vitesse relative de ces .Corpu&cul£S.JEûisins sera nulle; en effet, il est clair, premièremeot , que ai m est séparé d'un corpuscule voisin par une verge incompressible , il ne pourra^ s'en rapprocher 9 >6t que s'il en est séparé par un fil mextènriblè , il ne pourra s'en éloigner : secondement, je dis que s'il en est séparé par une Verge incompressible , il ne pourra non plus s'en ^éloigner ; car! s'il s'en éloignait , . il est clair qixm vertu

Si un corps se meut sur une surface courbe, par exemple, dans la concavité d'une calotte sphérique, le mouvement s^x^ géométrique^ tant quis 1q Ç9Q)s se , mouvra tangentiellement à la surface; mais.s'^ s'en écarte > le mouve^nent cessera à^étct géométrique^ paice que \t mouvement égal .et contraire i$jk visi* blâment impossible. ^;

D'après tout cela, il est évident, que qu<;Âqu'en faisant prendre à un système un mouvem^^^m^trique^ les différents corps de ce système p)^s|fnt se rapprocher les uns des autres , ' cependant oi» peut dire que les corpuscules v^ûsins, considérés ^mjl à dieux , ne tei^de^t au , prepier instant ni k se.rappro. cher n; à s^'éloigner , comme je le prouve au Içyi^ dans , le texte ; les coxp^ n'exercent donc aucuM acèion les .uns sur. l^s;|iutres , en vertu -^l'im pai^â u^ouif^ent ; ces mouvements sont donc absolument iA^^pettdants des règles de ladynamiqiiç; 'etc'est pontioetlegaisoii

(37) 4a inoiiTcmentégal et directement opposé, lequel est aussi possible , par hypothèse , il s'en rapproccheroit ; ce qui ne se peut à cause de Tincompresâbilité de la verge; par la même raison enfin, il est visible que, si c'est un fil qui sépare m du cojr-p puacule voisin, il ne pourra s'en rapprocher, puis^ qu'alors il seroit possible qu'il s'en éloignât par un mouveraent égal et directement opposé ; or , cela ne se peut, à cause de Tinextensibilité du filj donc, quel que soit le mouvement géométrique khpriiné au système , la vitesse relative de tous * ces corpuscules voisins qui agissait les uns sur let autres^ pris deux à deux, sera nulle au premier instant : cela posé , nomrmons u la vitesse absolue qu'àuT^#7z dans le premier instant ; en vertu de ce môbvQment géométrique,' et z Vangle compris cntra^l^ disectipns. àeuetU; il est clair que les corpuscules m ne tendr^^ht-point à^se xapprocher ni à s'éloigner les uns. des autres j en vertu des vitesses w , si on les suppose animés en même temps de ces vîtesates u et-des vitesses £/; ils nis tendront pas! à se r^pproohèf . ou: i is'éloxgnesr davapta^^ .que s'îb étoient - ajii;xiérf des seules vitesses Uy donâ l^âon réciproque '>«aceBçéc entte lès diiférentes parties du système sera U. piême , soit que chaque molécule soit animée de la seule vitesse £/*, qu des iteux vitesses u^Ui mais si chaque molécule étoit ammëe de la seule vîtesBe {/, il y anrolt ^isibl»-

mmt éqtuUbare; itonc é cU^ ^st ztmot^ à h ioik

des deux vitesses 17 et i/ , on d*inie vitesse unique qui en soit la résultante, U sera, encore la vitesse perdue par m ; et partant , u sera la vitesse réelle, après Taction réciproque :^donc , par la même raison qu on a eu la première équation fondamentale (£) , on aura aussi s m u U cos z = o (F) ^ êeconde équation fondamentale.

' Il est bien &cile à présent de résoudre le pro* blême que nous nous sommes proposés , carle^ua* tion précédente devant avoir lieu , quelle que soit la valeur àeu^ et ^a direction, pourvu que ié mouvement auquel elle se rapporte soit géorriétrir* que, il est clair qu en attribuant successivement à cette indéterminée différentes valeurs et directions arbitraires , on obtiendra toutes les équationt nécessaires entre les quantités inconnues ^ d*o& dépend la solution du problême» et des quantitéi <Hi données ou prises k volonté.

Pour achever de mettre cette solution dam tout son jour , il suffira d*en donner un exemple.

Supposons donc que tout le système se réduise à un assemblage de corps liés entre eux par des verges inflexibles , de sorte que toutes les parties du système soient forcée» de conserver toujours leurs mêmes positions respectives; mais qu'il n*y ait aucmi point fixe oo obstacle quelconque; réquation (F) va nooi donner la solution de ce

( «9 ) problême 5 en attribuant successivement à u différentes valeurs et différentes directions.

1®* Comme les vitesses u ne sont assujetties à aucune condition , sinon que le mouvement du •ystême , en vertu duquel les corpuscules m om ces vitesses , soit géométrique , il est évident que nous pouvons â*abord les supposer toutes égales et parallèles à une même ligne donnée ; alors u étant constante , x>u la même pour tous les points au système, lequation (F) se réduira as m U cos z = o ; ce qui nous apprend , que la sommf des forces perdues par l'action réciproque des corps , dans le sens arbitraire de u , est nulle , et que par conséquent celle qui reste est la même que si chaque co|rps eût été libre j principe très-connu. 9^. Imaginons maintenant qu'on fasse tourner tout le système autour d'un axe donné, de sorte que chacmi, des points décrira une circonférence autour de cet axe , et dans un plan qui lui ser$i perpendiculaire; ce mouvement est visiblement géométrique; donc l'équation (F) a lieu; mais alors y en nommant R la distance de ;72 à l'axe ^ il est clair qu'on z u=i 4 R^ A étant la même poi^r tous les points ; donc l'équation (F) se réduit is mR U^ cos z == o ; c'est-à-<lire , que la somme des moments des forces perdues par l'action réci* proque, relativement à un axe quelconque, est fittUe^ autre principe très^onnu.

' 1^ J^fottspournons encore attribuer à u d'autres

valeurs ; mais cela seroit mutile et meneroît à des équations déjà renfermées dans les précédentes J car on sait que celles-ci suffisent pour résoudre la question , ou du moins pour la réduire à une affaire de pure géométrie.

Première Remarque. :

Le but qu'on te propose, çn imprimant un mouvement géométrique, est de changer Tétat du système , sans cependant altérer l'action réciproque des corps qui le composent , afin de. se procurer par-là des rapports entre ces forces exercées et inconnues , et les vkessês arbitraires que prennent les corps , en vertu de ces différent mouvements géométriques ; mais il faut remarquer qùll y a un cas où les mouvements géométriques ne sont pas les seuls qui' puissent remplir te même objet, et où quelques autres mouvements peu- ^Vent s employer de même , pour tirer de l'^équ^? tîon générale (F) des équations déterminées; ce cas arrive lorsque ces autres mouvements , san» être absolument géométriques , le deviennait cependant , >«^ supprimant seulement quelques*xxm des petits fils ou verges que nous avons imaginés interposés entie les particules adjacentes du système, lors, dis-je, que ces fils ou vei^ cjui étoient supposés transmettre le mouvement

^ ( 3i ) d'ûh corpnscîûle à l'autre, n'en transmettent en effet aucun; c est-à-dire, lorsque la tension de quelques-um de ces fils , ou la pression de quel- ' ques-unes de ces verges , est égale à zéro ; car alors, en supprimant ces fils et verges, dont les tensions ou pressions sont nulles , on ne change évidemment rieii du tout à l'action réciproque des corps, et cependant il est possible qu'on rende par-là le système susceptible de quelques mouvements géométriques , qui ne pourroient avoir lieu sans cela • rien n'empêche donc alors qù on ne regarde comme^ anéantis ces fils et verges, puisqu'ils n'influent- ' en rien sur l'état du système , et qu'on n'emploie par conséquent comme géométriques , les mouvemeli^ qui , sans 1 être «fifoctivement , le deviennent Cependant par cette ôuppression.

Déplus 5 lorsque deux corps sont contigusTun i l'autre , c'est la même chose évidemment de supprimer la pedtè vefge que nous avons ima,gînée interposée entre deux, pour les empêcher de se rapprocher , ou de supposer que ces corps soient perméables l'un ^ à l'autre , c'est-à-dire , qu'ils puissent se pénétrer aussi facilement que l'espacé vuide est pénétré par tous les corps ; d'où H suit évidemment qu'en général, dans uii .système quelconque cfe corps vagissant les uns sur les autres , soit immédiatement , soit par des fils et verges , c'est-à-dire , par Tentremise d'tMïe- machine qi^ekonque,- Vit^ "tirouve qiifelque . fil ,

▼«rge ou autre partie quelconque de la machine qui n'exerce aucune action sur les corps qui lui sont appliqués , c'est^à^lire, qui puisse être anéan-» tie , sans qu'il en résulte aucun changement dans l'action réciproque de ces corp's, on pourra trai* ter comme géométriques tous les mçuvements qui, sans l'être effectivement^ le deviéndroient par cette suppression , de même que ceux qui le de^ yiendroient aussi , en regardant comme librement perméables l'un à l'autre ceux des corps entre lesquels il ne s'exerce aucune pression , quoiqu'ils soient adjacents. Voici maintenant quelle est l'utilité de cette observadon.

Si , lorsqu'on entreprend la solution de quel-* que problême p on sait d'avance que telle partie de la machine n'exerce aucune action sur les autres parties du système , on pourra supposer que cette partie de machine est totalement anéantie » et chercher le moirmneiit du système d'après cette hypothèse , c*est-4-dire ^ en traitant comme géométriques tous les mouvements qui le deviéndroient réellement par cette supposition; et de même, si l'une des conditions données du problême., est que tels corps adjacents n'exer* cent l'un sur l'autre aucune pression , on expri* mera cette condition, en regardant ces deux corps comme perméables l'un à l'autre , c'est-À* dire , en traitant comme géométriques les mou<^ vements qui le devien4roient en effet par cettp supposition. Mais

^ais s'il arriyoit qu'on ignorât^ cette pression est réelle ou nuUe ^ il faudroit cherdiér.le mouvement dû système , en supposant d abord à volonté l'un ou 1 autre j on supposera donc ^ par exemple., que cette pression est réelle >, alors si en cherchant , d après cette hypothèse , la valeur dé cette pressioii, on la trouve réelle et positive, on conclura qtie Thypothèse est légitimé , et ie résultat exact ; sinon , on seroit assuré que ht pression en question est nulle , et qu'on peut par conséquent traiter comme géométriques les mouvements qui le deviendroient en effet , si les deux corps dont il s'agit étoient librement perméables îun à l'autre. , '

De même, s'il y avoit dans le systênie ixnt.

rriadhine , un fil par exemple , et qu'oli igiiorât si la tension de ce fil est nulle ou réelle , ôjçi pourroit ifairé le calcul ^ en stipposant d'aboxdr qu'il y à réeïleriïent tension j alors , si l'on trouye pour la valeur de cette tension une quantité réelle et positive , on conclura que la supposition étoit légitime, et que le résultat est exact; sinon, il fauctra recommencer le calcul ,' en partant de ia sùp^sîtion contraire, c est-à-dire ,' en sup-posaTit que la tensioii du fil soit égalé à zéro; ce qui se fera , en supposant le fil anéanti , c'est-àdire, en traitant comme géométriques le^ rnouvements qui le seroient effectivement, si le fil tn question n'existoit pas.

Il suit de là que pour tirer dans chaque caa particulier de l'équation générale (F ) , toutes les équations déterminées qu'elle peut donner , il feiit, X*** foire prendre au système tous les mouvements* géométriques dont il est susceptible; ^^. traiter encore comme tels tous ceux qui le deviendroient 5 en supprimant quelque machine ou partie de machine , dont l'action sur le reste du système soit nulle , ou en regardant comme perméables l'un à l'autre les corps entre lesquels, quoîqu'adjacents , il ne s'exerce aucune pression ; 3*^. enfin , si l'on est en doute que tel fil , vérgt ou partie quelconque de machine ait op non une action réelle sur les autres parties du système , ou qu'il y ait pression réelle entre deux corps ' ' adjacents , il faut éclaircir d'abord ce doute 9 eh supposant la chose en question, comme on.

Ta expliqué ci-dessus, et traitant comme géométriques les mouvements que ces suppositions auront fait découvrir pouvoir être pris pour tels.

D'après cette remarcfue , il paroît donc à pro* pos d'étendre le nom de géométriques à tous les mouvements qui , sans l'être effectivement;^ le deviennent, en supprimant quelque machine ou partie de i^achine qui n'influe en rien sur l'état du système , et en regardant aussi comme par» faîtement perméables l'un à l'autre les corps qui se touchent , sans qu'il s'exerce entre eux aucune pression , c'est-À-dire , sans qu'il y ait autre chose

I qu'une simple juxtaposition; ainsi nous compren-

I drons dorénavant tous ces mouvements , sous lé

nom commun de mouvements géométriques , puié^

qu'en effet i^s se déterminent également par 4^8

opérations purement géométriques , et s'em-

\ ploient de même pour tirer de 1 équation ^géné^

i raie (F), des équatfons déterminées , attendu que

I la propriété générale et exclusive ( i ) de ces

mouvements , est de changer Tétat du système , ^ \ sans altérer l'action^ réciproque des corps qui le I composent; cependant, pçur laisser entre eux quelque distinction , on peut appeler les premiers, tnowements géométriques absolus^ et les autres ^

( t ) Il est évident que cette propriété appartient successivement aux mouvements que j'appelle ici géo^ métriques, et que ce seroit par conséquent en avoir.

^une idée très-fausse, que de les regarder commt des mouvements simplement possibles, c'est-à-dire^ compatibles avec Timpénétrabilité dé la matière:' car, supposons, par exemple, que tout le systémç se réduise à deux globes adjacents, et se pous» sant l'un l'autre , il est clair que si l'on force ces corps à se séparer , ou à se mouvoir en sens contraire l'un de l'autre , ce mouvement ne sert pas impossible, mais qu'en même tems les corps ne peuvent le prendre sans cesser d'agir l'ufi sut l'autre: ce mouvement n'est donc pas propre à remplir le but. qu'on se propose, (jui est de ne rien changer à l'action réciproque de» corps.

mouvements géométriques par supposition; mais lorsque je parlerai simplement dé mouvements géométriques j sans les désigner autrement, pn entendra indifféremment les uns et les autres.

Cela posé , puisque nous ayons expliqué comment on peut déterminer , sans le éecours d'aucun principe mécanique, tous les mouvements géométriques dont un système donné est susceptible , il s'ensuit que le problème général que nous nous étions proposé ^ se trouve entièrement réduit par réquation générale (F), à des opérations purement géométriques et analytiques;

. il faut cependant observer ; qu'il ne suffit pas d'attribuer aux arbitraires U , différentes valeurs , mais qu'il faut-aussi leur attribuer différents rap-

; ports ou directions ^ car si Ion 'se contentoit dç leur attribuer différentes valeurs , sans rien changer aux rappo3rt8 ni aux directions , on obtiendroit différentes équations toutes justes à la vérité, mais qui se réduiroient évidemment à la même^ en les multipliant par différentes dons-^ tîntes.

Deuxième Remarquée

Comme il ïi'est encore question jusqti^ÎGj que de corps durs , il est clair que parmi les différentes valeurs qu'on pexit attribuejr iu^lz vitesse V

, (37) •st elle-même comprise , c est-à-dirf , que le mouvement réel du système est lui-même un des mouvements géométriqi^es dont il est susceptible ; la première éqpation ( E ) est donc contenue dan» 1 équation indéterminée ( F ) , et pkr * conséquent on peut réduire â cette seule équation ( F ) toutes les loix de l'équilibre et du mouvement dans les corps durs.

Or , on vient de voir que cette équation n est autre chose que la première ( E ) , à laquelle on est parvenu à donner plus d'extension , par le moyen des mouvements géométriques ; mais, comme on le verra bientôt (XXIV), l'analogie de cette équation (E) avec le principe de la conservation des forces vives dans le choc des corps parfaitement élastiques , devient frappante , par une légère transformation ; et nous verrons (XX VI), qu'en effet ce n'est autre chose que ce^ principe lui-même transféré aux corps durs , avec la modi&cation qu'exige la différente nature de ces corps ; c'est dpilc cette conservation de forces vives , qui servira , comme nous en avions prévenu, de base à toute notre théorie des machines , soit tn repos , soit en mouvement, .

* P'après ces remarques, on va récapituler brièvement la solution du problême précédent , pour faire voir d'un coup d'oeil U suite des opérations qu'on vient d'indiquer.

Problème. '

Connaissant îe mojuvement virtuel d'un système quelconque ^donné de corps durs {cest-à-dire^ celui quil prendroit y si chacun des corps étoit libre) trouver le mouvement réel quHl doit avoir l'instant suivant.

Solution. Nommons:

Chaque molécule du système, tft

Sa vitesse virtuelle donnée, W

Sa vitesse réelle cherchée , V

La vitesse qu elle perd , de sorte que W ioit la résultante de V et de cette vitesse , U

Imaginons maintenant qu'an fasse prendre au système un mouvement géométrique arbitrairâ, et soit la vitesse qu aura alors m, u L*angle formé par les directions de Wet F, X L'angle formé par les directions de WetU^ T L'angle formé pau* les directions de F et £/, %, L'angle formé par les directions de Wet //, x L'angle formé par les directions de F et w, y L angle formé par les directions àeUetu^ f Cela posé , on aura Téquation s mu U cos ♦r = o (F), par le moyen de laquelle on trouver^' dans tous les cas l'état, du système , en attribuant successivement aux indéterminées 2/, différents rapports et directions arbitraires.

'Définition s.

Ima^ôm un système de corps en mouvement d'une manière quelconque : soient m la masse de chacun de ces corps , et V sa vitesse ; suppor sons maintenant qu'on fasse prendre au système un mouvepient quelconque géométrique, et soient u la vitesse qu'aura alors m (et que j'appellerai s^ vitesse géométrique) et y l'angle' compris entre . Içf directions de .F ^t w ; cela posé^ la quantité;!^ 1/ V cas y sera nommée moment de la quantité 4ç mouvement m V^ k l'égard de la vitesse géométrique 2/; et la somme de toutes ces quantji;tés^^ c'est-à-dire, s n^u F cosjr , sera nonmjiée mouv&i}f de la quan^té de mouvement du systêi^e àVégn^ du mouvement géométrique , qu'oui lui a 6^ prendre : ainsi le moment de la qumtUé de mou^e-^ ment dun système de corps ^ à regard d un mouvement quelconque géométrique^ est la somme 4ff produits des quantités de mouvement des corps g/^ le composent y multipliées chacune. pçr la yif esse géométrique de ce corps , estimée- dans h Jfg^s, ^ cette quantité de mouvement. J)p tforte.qp^esf, çoi^* servant les dénominations du pi;Qbj,eii;ie 9 ^ ffi ^ W cos X est k moment de la qu^ntît^ 4^ mouvement du système av^t le choc ; * mu V coiy ^^ m^oment de la quantité 4^ mouvement du ^wfi

tystên^e après le choc; et$muU cos z e$t le moment de la quantité de mouvement perdp dans le choc, (tous ces moment» étant ^rapportés au même mouvement géométrique.) Ainsi de lequàtiôii^Fpndamentàle (F) on peut conclure que dans h choc des corps durs, soi^queces côrpssoient tous irioSiïes , ou qu'il y en ait de fixes, ou ce qui revient fiu même, sàitq^ue le choc soit immédiat, qu qu'il se fasse par h mpyen dune machine quelconque sans ressort, le ^moment de la quantité de mouve- Trient perdue par le système général est égal à zéro. : -^IfV^étant la résultante de V ttU , il est clair îjà'oH' à W cos 0:=: cos ^ -f U cos z, ou m^u W Coà X :==z m u V cos y + m u U cos z, ou ysnfùï's m ù'^fV cosx =: s ni ii V cos y + si m u ET fe'ôé'îj!'; Qr,^nôlis avons trouvé s m u U cos ^ = o; drfric s m tx' PVcos x z=zs m u V cos y, c^est-àrdire, 'C(p!â regard d'un mouvernent quelconque géométri- "^e^'^le moment de quantité de mouvement du système', hnmédiaiement après le choc, est égal 'àÙ. rààyhènt de quantité demouvèfhent immédiate-^ ^Bkrit àirant^^le'èfto'cy

^2,z *ïi5rshii't& tîécompose la vitesse que prendi:oft ^l'-^^cSrps ^H'^toit libre, en deux, dont Tune ^fUii^ fô Vitesse 'qu*ii prend réellemerrt, Tautre est îa'Vît<efee1q%il'përd'^' et réciproquement si Ton déconijipsë la? yîte^^é'l|d'il prend, en deux, dorit TuHé Mi beÉé-qU'ïl aùrbit prise s'il eût été Hbre, Tàiftre lera la vitesse qu*il gagne j d'où il suit

visiblement que ce qu'on entend par la vîtesse gagnée par un corps , et ce qu'on entend par sa yîtesse perdue, sont deux quantités égales et directement opposées: cela posé, le moment de la quantité de piouvement perdue par m, àTégard / de la vîtesse géométrique w, étant, suivant la définition précédente, m il U cos z, le moment de la quantité de mouvemeri^t gagnée par le même corps sera ^ — * mu U cps z ; par il n'y a de différence entre ces deux quantités, qu ep ce que langle compris entre u et la vitesse gagnée, est! le supplément de celui compris entre u et U; de sorte que Tun de ces angles étant aigu , Tautre sera obtus, <et 5pn posinus égal au cosinus de lautre^ pris négativement.

Il suit de là que le moment de la quantité di^ mpuveiîient perdue par le système général , à l'égard d un mouvement quelconque géomëttÎT que^ (lequel est nul, comme on Ta vu ci-dessus)^ est la même chose que la différence entre* ie moment de quantité de mouveftient perdue par une partie quelconque des corps qui le composent , et le moment de la quantité <te rtiouvemeitt gagnée par les autres corps dp même système 9» donc cette différence est égale à zéro ; donc l'ûné ti^ ces deux quantités est égale à l'autre , c'est-àdir«, que le moment de quantité de mouvement pepdue dans le choc par u^e partie quelconque des forps 4^ système ;» 4 T^ê^f ^ 4^ wiou^sm^t

ai)

quelconque géomitrique ^ est égal au momeni Jk quantité de mouvement gagnée par les autres corp^ du même système.

On peut donc, de la définition précédente^ recueillir les trois propositions contenues dam' le théorème suivant

J)ans le choc des corps durs , soit gue te choe Suit immédiat j ou quil se fas.se par le moyen dune machine quelconque sans ressort , il est constant quà r égard d un mouvement quelconquegéométriqus:

1. Le moment de la quantité de mouvement perdue par tout le système , est égal à zéro*

^^. Le moment de la quantité de, mouvement perdue par une partie quelconque dés corps du sys* terne , est égal au moment de la quantité de mou* Jl^ment gagnée par l'autre partie.

3^. Le moment de la quantité de mouvement réelle du système général^ immédiatement après le ehoc , est égal au mentent de la quantité de moucernent du même système , immédiatement avant le éhoc.

Il eçt clair , par la définition précédente , qu4ï ces trois propositions sont identiques au fond, et ne sont autre chose que 1 équation même foiidamentak (F) exprimée âà diyeisea manières!.

On peut remarquer aussi que t'es propositions ont beaucoup de rapport à celles que Ion tire de la considération des ' ipoments , relativerjient à différents axes ; mais celles-ci sont moin^ générales, et se tirent aisément de celles quoii vient d établir (XVII.)

Il y a donc, comme on voit, par la troisième proposition dexe théorème; il y a, dis-je, dans toute percussion ou communication de mouvement, ?oit immédiate, soit faîte par lentremîse d une machine , une quantité qui n est point altérée par le choc: cette quantité nest pas, comme lavoit pensé Descartes ^ la somme des quantités de mouvement ; ce n est pas non-plus la somme à,es forces vives, car celle-ci ne se conserve que dans le cas où le mouvement change par degrés insensibles , comme on verra plus bas^ pt elle diminue toujours lorsqu'il y a percussion , comme on le prouvera dans le corollaire second: lorsque le système est libre , la quantité de mouvement estimée dans un sens quelconque , est à la véjité la même avant et après la percussion ; mais cette conservation na plus lieu, s'il y a des obstacles ^ non plus que celle des moments de quantité de lyiowvements rapportés à diiFérents axes: toutes ces quantités sont donc altérées par le choc , ou du moins ne «e conservent que dans quelques cas particuliers; mais il y a une aqtre quantité que ni les divers obstacles qui s^opposent

(44) au mouvement , ni les machines qnî le transmettent ^ ni rintensîté des diifétentes percussions ne peuvent changer ; c'est Iç mornént de quantité de mouvement du système généjfal , i Tégard d© chacuiî des mouvements géométriques dont il est susceptible, et ce principe renferme en lui seul toutes Içs loix de Téquilibre et du mouvement dans les cprps durs ; nous verrons çiême dans le corollaire JV 5 que cette loi s étend également aux autres espèces de corps , quelle qu'en soit la nature et le degré d'élasticité,

Si le choc détruisoit tous les ynouvements , on auroit F =: o, ainsi 1 équation se réduiroit k s m W u, eos x = o, qui nous app^-end que ce cas arrivé, c est-à-di^-e , que tous les mouvements se détruisent réciproquement par le choc , tlans le cas où , immédiateitient avant ce choc, lé rnoment de ta quantité dç mouvement du système

général est nul, relativenient à tpus les mouveihents géométriques dont il est susceptible,

Fremier CoroUaire^ ' '

Parmi tous lès mouvements dont est susceptible un système quelconque de corps durs Agissants les uns sur les aufres*^ soit par un choc immédiat y soit par des machines quelconques sans ressort ^ €elui de ces mouvements qui aura lieu réellement ,

( 45 ) ttfutattî étapths^ sera le mouvémefit géométrique ^ qui est tel que la somme dés produits de chacune des masses , par le carré de la vitesse quelle perdra ^ est un njinimum j cest-â-dire , moindre^ que la somme des produits de chacun de ces corps , pnr la pitesse qu'il auroit perdue ^ si le système eût pris un autre mouvement quelconque géométrique.

Sur quoi il faut remarquer, qu'en donnant pour minimum la somme des produits de chaque masse, par le carré de sa vitesse perdue, j entends seulement que la différentielle de cette somme est nulle, cest-à-dire^ que sa différence avec ce qu elle «eroit, si le système avoit un mouvement géométrique infiniment peu différent du premier, est égal à zéro : ainsi cette somme peut être quelquefois un maximum^ ou mêïne netre ni un maximum ni un minimum y et j'ai seulement à établir que ds m U^ ^=2 9^ '

.Démonstration, ïl est d'abord évident que le, yrai mouvement du système après le choc doit être géométrique j car les mouvements géométriques étant Ceux qui n'altèrent point l'action qui •'exerce entre les corps ^ il est clair que Iç premier en ordre est le mouvement même que prend le système : il s'agit donc de savoir quel est , parmi tous les mouvements géométriques possibles y. celui qui doit avoir lieu : or , supposons que s'il en prenoit un autre infiniment peu différent de Celiii ^u'on cherche , la vitesse de chaque molécule m

( 46 ) fut alors F' ; décomposons V' eïl deux , dont Tiine soit. F, c'est-à-dire, la vitesse réelle, et l'autre F"; cela posé, il est évident que si \ei corps nayoient pas d'autres vitesses que ces dernières V'\ le mouvement seroit encore géométrique, car V^* est visiblement la résultante de V^ et d^une vitesse égale et directement opposée à Fj or, par hypothèse, les molécules prises deux à deux ne tendent , ni en vertu de F' , ni en vertu de — i* F, à se rapprocher ou à s'éloigner, puisque dans ces deux cas le mouvenient est géométrique ; donc , en supposant que les molécules m aient à la fois les vitesses F' et— F, ou leur résultante F", ils ne tendront non plus ni à se rapprocher ni à s éloigner 5 et partant , le mouvement sera alors géométrique: donc, si l'on appelle 2" l'angle compris entre les directions de F'^ et U^ on aura par l'équation fondamentale (F) s m U F-'^cos j^ = o j d'un autre ^côté , nommons U' la vitesse que per droit m si sa vitesse effective étoit F' , àt sorte que W soit la résultante de V et de U' , ^î faudra nécessairement que U- soit composée de U 'et d'une vitesse égale et directement opposée à V" 'y d'où il suit évidemment que U' — U on dU=:z — V" cos z" 5 donc l'équation smUV CCS z^ =:0y trouvée cî-déssus, devient s m U d U

= OOU££^/»i/*=:0.

^ Je suppose , par exemple , que deux globes A et Bj venant à se choquer obliquement , on dexhande leurs mouvements après le çhoç*.

<47) ' Supposons que la vitesse de A , estimée suivant ta ligne des centres, soit avant le choc a, et aprèi le choc V] que celle de -ff, aussi estimée suivant la ligne des centres , soit avant le choc b , et après le choc u ; que celle de A , estimée perpendiculairement à la même ligne, soit avant le choc a y et après le choc V i qu'enfin celle dej?, aussi estimée perpendiculairement à cette ligne des centres, soit avant le choc i', et après le choc u''y cela posé , par notre proposition ^ le mouvement devant être géométrique , il faut d'abord qu'on ait F = w ; ainsi la vitesse perdue par A , suivant la ligne des centres , sera a — u , et celle perdue par B , dans le même sens , sera b t-^w^ de plus, dans le sens perpendiculaire à la ligne des centres, la vitesse perdue par A sera a! ^^ V\ et celle perdue

pari?, serai'— î/'j àonc a/ {a^—u) » + (a' — V) * sera la vitesse absolue perdue p ar A , et celle

perdue par B sera V^ (6 — z/) * + {V — ^^') *: donc , suivant la proposition , on doit avoir d [A

— i^')»]^o, omA (a— .w) du-^A (û'— F) dV + B (b^u) du + B {b' — u') du'=:o\ équation qui doit avoir lieu généralement , c'està-dire? ^ quelles que soient les valeurs dedu^ dV\ etdu' 'f il faut donc que le co-efficieht de chacune de ces différentielles «oit égal à zéro; ce. qui 'donne F' = a', tt' = ^', 9tu:=^Aa + Bb; ce qu i falloU trouver^ A -¥ B ^

( 4» ) Il ett clair que cette proposition renferme toutes les loix du choc des corps durs j soit que ce choc soit immédiat j ôu qu'il se fasse par ^ le moyen d une machine quelconque ^ puisqu'il assigne le caractère j auquel on reconnoîtra jparmi tous les mouvements qui sont possibles , Celui qui

•doit avoir lieu réellement à chaque instant;' ce principe a beaucoup d'analogie avec celui > que M. de, Maupertuis a trouvé et nowxné principe de

, la moindre actioni {Essai de cosmQlogie.)

Deuxième Corollaini

Dans te thoc des corps durs , ^oii qui! y efi mt de fixes ^ ou quils soient tous mobiles {ou ce qui revient au même j) soit que ce choc soit inirnédiat , ou quil se. fasse par le moyen dune machiné quelconque sans ressort ; la somme des forces vives çvaht le choc ^ est toujours égale à la sorrimè âet forces vives après te choc ^ plus là sommé dés forces vives qui aurait lieu ^ si ta vitesse qui reste à chaque mobile^ éioii égale à celle qu II a perdue dans le choc,

C'ëst-à-dire ^ qu'il faut prouver réqûàtîon suï-

-Crante s m tV^ = smV^ + s m U^i or , dïe se

àcilement de réquàtfon f6rida:mentâle(È),

car ^ étant résultante de F et /7j il est clair que

W V et U sont proportionnelles ' aux trois côtés

d'urt

( 49 ) d'un certain toîangle ; donc, par la trîgônomëtrîe , on a IV^=:V^+ V^ + QVtf côs 2 : donc, s ni W^ = s m y^ -{- s m U^ + Qs m V U cos Z: or, par lequatîon (E) an SismVU cos 2 =;i= o ; donc l'équation précédente se réduit as m W^ :^=^s ni V^ + s m U^; ce qui falloit prouver.

On voit donc , comme nous Tavons dit (XXI,) que par cette transformation l'analogie de Téquation ( E ) avec la conservation des forces vives J devient frappante ; aussi peut-on aisément démontrer lune par 1 autre , comme on verra (XXVI.)

L*analogîe de cette même équation avec la conservation des forces vives dans un système de corps durs èlont le mouvement change par degrés ' insensibles , est encore plus évidente , puisqu'il s agit alors d*urt cas particulier de celui que hduà venons d'examiner ; c*est en effet visiblement lé cas particulier ou U est infiniment petite , et partant U * infitiiment petite du second ordre j ce qui réduit 1 équation ks m W^i=zs m V^i mai* cette conservation sera expliquée plus au long

dans le corollaire suivant*

Troisième Corollai/eé

Lorsquun système quelconque de cùtpi durs change de mouvement par degrés insensibles ; si pour fan instant quelconque on appelle m la masse ds

chacun des corps ^ Y sa vitesse j -p sa force motrice , . R r angle compris entre les directions deVetp, nia vitesse quauroit nv, si on fàisoit prendre au système un mouvement quelconque géométrique^ r r angle formé par u cr p , y F angle formé par V c< u , d t r élément du temps ; on aura ces deux équations s m V p d t cosR — 5 m V d V = o.' I ^ m 11 p d t cos r — ^ m u d (V cos y) = o.

Démonstration. Premièrement, pdt cos/2 est visiblement la vitesse que la force motrice/? auroit imprimée à m dans le sens de Vy si ce corp^ eût été libre ; de plus , dV est la vitesse qu'il reçoit réellement dans le même sens; donc pdt cos R • — rf F est la vitesse perdue par ni dans le sens dé j^ ,^ en vertu de Taxation réciproque des corps ; c est donc cette quantité qu'il faut mettre pour U cos Z dans l'équation fondamentale (E), laquelle devient par cette substitution s m V p d t co^ R — s m V d V =z Oy qui ests la première des deux équations que nous^avîons à démontrer.

Secondement, pdt cos r est la vitesse que là force motrice p auroit imprimée à m dans le sem de 1/5 si ce corps eût été libre j déplus, V cos y étant la vitesse de m dans le sens de u, d (Vcosy) est la quantité dont cette vitesse estimée dans le même sens augmente; àoncpdt cos r*-^d{V cos y) est la vitesse perdue par m dans le sens de w , en vertu de Faction réciproque des corps: c'est donc cette quantité qu'il iaut mettre pour U cos z dani

( 51 ) la seconde équation (F) y laquelle devient^ pkr cette substitution smupdt cos r ^ — smud ( Fcos 1^) =r o , qui est la seçoilde des . deux équations que nous aviom à démontrer. .. î

Ces équations ne sont donc autre chose que < les équations fondament^es (£) et (F) appliquées au cas où le mouvement change par degrés ifisen-* sibles; et par>tant, elles ren&rmqnt toutes les loiK de ce mouvement : on peut remarquer de plus;, que la première de ces deux équations n'est qu'un cas particulier de la^conde, par la même raison que l'équation (E) d'où elle est? tir^e , est contenue dans celle (F) d'où est tirée la secondte; mais cette première équation s m V p d t cos R — s m V d F=o mérite une attention particulière ; parce qu'elle renferme le fameux principe de la conservation des forces vives dans un système de corps durs dont le mouvement change par degrés insensibles, comme on va l'expliquer.

Nommons d'abord d s l'élément de la courbte Récrite par le corpuscule m pendant d t ; cela posé, nous aurons Vdt=zds; et partant, l'équation précédente prend cette forme s mp ds cos R -— 5mFrfF=o: maintenant supposons pour un instant que la courbe décrite par m soit une ligne inflexible, que m soit un grain mobile enfilé dans cette courbe, qu'il la parcourt librement, c'està-dire , sans être gêné par les réactions des autres parties du système , qu'il éprouve à chaque point

rdc cette courbe la même forcé motrice que celle dont il étoit animé dans le premier cas , et qu'enfin dans ce premier cas la vitesse initisile de m soit K^ tandis que dans le second elle sera nulle au prexaiet instant, et V après un temps indéterminé / ; cela posé , en intégrant Uéquation précédente pour avoir l'état du système au bout da temps t\ nous aurons pour le .premier cas s' smpds cos R^-^s's niVdV=zo, s' désignant le signe d'intégration relatif à la durée du mouvement, tandis que 5 est le signe d'intégration relatif à la figuré du système; or, s' s m V d V^=^s m F^: donc l'équa-

tion peut se mettre sous cette forme s' smpds cos R — s mV^ + C*:=±:o;C étant une constante ajoutée pour compléter l'intégrale: pour la déterminer, on observera qu'au premier instant on a V==:JC et s^ smpds cos R=:0'y doncC=^mJr*;

donc Q s' s mp d s cos R — s m V^ s m K^:= o; parles mêmes raisons on a pour le second cas q s' s ,mp ds cos R — s m V ^=zo, sa,ns constante , parce qu'on suppose F' nuDe ^u premier instant; ôtant donc cette équation de la précédente , réduisant, et transposant, on a. s m V^t=zs mK^ + s w F' *; c'est-à-dire, que dans un système quelcon" que de corps durs , dont le mouvement change par degrés insensibles^ la somme des jxp'ces vives au bout d'un temps quelconque , est égale à la somme fies forces vives initiales , plus la somme des forces '

( 53 ) 9Î9€S qui aurait lieu , si chaque mobile avoit peiir vitesse celle qu il aurait acquise en parcourant libre^ ' ment la caurbe quil a décrite , en supposant (tail-^ leurs quil eut été animé à chaque point dé cette* courbe^ de la même force matrice quil y éprouvë^ réellement y et que sa vitesse au premier instant eût été nulle.

C'est cette proposition qu'on appelle principe* de la conservation des forces vives ^ et d où ^on^ peut conclure que, >

Dans un système de corps durs dont le mouve^ ment change par degrés insensibles , et qui ne sont animés d aucune force matrice , la somme des ybrces vives est une quantité constante , cest-à^dire ^ la même pour tous les instants»

Car dans ce cas on a par hypothèse /> = o , ce qui dbnne F'=o, et partant sm V^=:smK\* équation qui se tire d ailleurs immédiatement de celle s mp V d t cos R-^^s m V dV ^rsz o trouvée (XXIV), laquelle à cause de/F^=o, se réduit ks m FrfF = o, dont Tintégrale complétée est \smV^:=n\smK^z=so\ d'où suit réquatian $mY^^=:ismK^i qu'il falloit prowrer.

Quatrième Corollaire,

- ■ J'ai prouvé ()tIX)ii que Téquation indéterminée i(F)'renfe£me toutes l^lîHX^dd réquilibré

(34) et 4*1 mouvemearit d^ns les corps durs ; je vais ina,mtenajit,plus loin, et je dis que cette équation convient également aux corps qui ne le sont pas , et vque p^r conséquent cette loi générale s*étend ijçidiôtincteme«,t à tous les corps de la nature: en effet , lorsque plusieurs corps qui ne sont pas durs agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque , si Von conçoit le waouvement qu'au jKHtpxiç chaque .mobile s'il eût été libre, décomposé en deux, dont l'un soit celui qu'il prendra riellement , Tautre sewt détruit ; d'où il suit visiblement que si les corps eussent été durs et n'eus-» sent eu d'autres mouvements que ce dernier, il y auroit eu équilibre; ces mouvements détruit» sont donc assujettis aux mêmes loix, ont entre fux les mêiheç. jra^ports, et peux^ent enfin te détertoiner de ki même maniéré ique si les corps étoient durs , c^U^k-^ire , par l'éq^atio'ti général (F) ; cette équation ^^E) -n'est donc point bcMrtiée «ux corps durs^ elle appartient également à toui les eorpb de k nature , et contient par itonséqtjeirt lft)ù<)es te^ ioix ide réquiKbre et d^ mouvement, non seulenaentT pmt le$ premiers , mais même pour tous les autres , quelque puisse être leur degré de cOHàpi^sàibîlitë : "IhaÎB iâ différence con-» siste en ce que l'on pept, dans le cas où il s'agit de corps durs, supposer w±= F; de sorte qua- Jo» if m KJ^reos'ît ^5TO.o> devjçnt une-ides ^ua-

n'est pas lorsqtie les corps sont d'une nature diiFérente : c'est donc cette équation déterminée , laquelle est la même que la première équation fondamentale (E), c'est, dis-je cette équation déterminée qui caractérise les corps durs, et par' conséquent il est absolument nécessaire de l'employer soj moins implicitement dans toutes les questions qui concernent ces corps ^ et lorsqu'il s'agit de corps d'un^ autre espèce, il faut, outre Içs équations déterminées, qu'on peut obtenir eh attribuant à u dans l'équation indéterminée (F) , différentes valeurs connues, il faut, dis-je, en tirer encore une qui soit analogue à l'équation (E) , et qui exprime en quelque aorte la nature de ces corps, de même que celle-ci (E) exprime celle des corps durs ; ipais comme cette recherche n'a qu'un rapport fort indirect aux machines proprement dites , nous nous bornerons ici à examiner le cas où le degré d'élasticité est le même pour tous les corps , . c'est-à-dire , que nous supposerons qu'en vertu de l'élasticité, les corps e:K;ercent les uns sur les autres des pressions n fois aui^i grandes que si les corps étoieiit durs, n étant la même pour tous les corps du système ; nous supposerons de plus que la pression et la restitution 4e fassejtit daas un instant indivisible , quolqu'en .ligueur cela spit impossible. Cela posé :

Les pressions réciproques F devenant n JF, jiuroiit jeîitK ieUes .les mêmes r^gport» qu^ si les

corps étoiènt durs; donc leurs résultantes m V n'auront point changé de directions, mais seront seulemeisit devenues n fois aussi grandes qu elles auroient été si les corps avoie^t été durs ; cela posé , puisque W est la résultante de F et f/ , on a F cos ^ =r Jf cos r — /7 ; ainsi Téquadon (E) à laquelle nous cherchqns une analogue , peut se mettre sous cette forme s mW U cos T-— s m U* 5=5 o; or, suivant ce qu on vient de dir^', il faut,

pour appliquer cette équation au cas dont il

ç'agit ici , mettre — au lieu dû Uj sans rien çhan*-

ger à T'^ donc p^pur le cas que nous examinons ,

Véquation sera $ mW "TTCOs Y--^s ^ = o ;

QU ep multipliant par n * , n s m W U cos Y •—

^ m f/ * = o 5 ou à cause de W cos 3r= F cos ^

n + U on aura YHITT ^^V U cos ^ = irm£/*;

ainsi cette équation sera pour les corps dont il s*agit ce qu est lequation (E) pour les corps durs, et celle-ci même en est le cas particulier pu Ton a n =2= 1 , comme il est évident.

Lorsque /i a= q , c'est le cas des corps parfaitement élastiques , et l'équation devient dsmVlf cos X^ + s m i7*=:o; mais cette équation relative aux corps parfaitement élastiques, peut s'exprimer d'une manière connue et plus simple, comme il suit: puisque West la résultante de F et Uf on s. par la trigonométrie W^z=szV^ ^k*

( 57 ) i7* + a F f/cos ^; et partant j m Jf * = ^m F* + ^m(^*-f-Qji?2FZ7 cos ^; ajoutant à cette éqTjation celle trouvée ci-dessus , et réduisant , on SLS m W* = s m r*, qui est précisémeftt le principe de la conservîition des forces vivei, c'est-àdire, que cette conservation est pour les cçrps parfaitement élastiques , ce qu est Téquatiori (E) pour les corps durs , comme nouç avions promii de le prouver.

Première Remarque.

XXVIL ^

Je ne m'arrêterai point aux conséquences par* ticulières que je pourrois tirer de la solution dû problême précédent 5 je remarquerai seulement que les vitesses fV^ F, U^ étant toujours proportionnelles aux trois côtés d'un triangle, la trigonométrie peut fournir les moyens de donner uii grand nombre de formes différentes aux équations fondamentales (E) et (F) , et je me conten»terai d en indiquer , une qui est remarquable , à cause de la méthode imaginée par les géomètres , de rapporter les mouvements à trois plans perpendiculaires entre eux ; ce qui donne aux solutioAs beaucoup d'élégance & de simplicité.

' Imaginons donc à volonté trois axes perpendiculaires entre eux, et concevons que les vitesse» JV^ F, (/ et 2/, soient décomposées chacune en

tit

Ht

trois autres parallèles à ces axes. Cela posép

npmmons ;

Celles qui répondent à W^

Celles qui . répondent à F,

Celles qui répondent ai/.

Celles qui répondent k u ^

Maintenant, pour peu iqu'on y fasse attention, on verra aisément que la première équation fondamentale (E) peut se mettre sous cette forme smr U' + smr' Ù'' + sm V" V" = o, et la seconde (F) sous celle-^i s m u' U' + s m u" ^

IN

lit

o , parce qu en gêne-

rai toute quantité qui est le produit de deux vitesses ^ eti?, par le cosinus de Tangle compris entre elles , est égale à la somme de trois autres produits A B' + ^" B" + A'" B'"-, A', A'\ A'\ étant la vitesse A estimée de ces trois axes , et B' B" B'" étant la vitesse B estimée dans le sens de ces mêmes axes : c'est-à-dire, -4' étant la vitesse^, et B' la vitesse B , estimées parallèlement au pre- ' mier de ces axes ; A" et B" les mêmes vitesses A et B estimées parallèlement au second axe ; A^" et B'" les mêmes vitesses estimées parallèlement au troisième axe : ce qui se prouve aisément par les éléments de géométrie.

Dans le cas d équilibre, la premiéiie de c^s .équations transformées se réduit à o = o, et la .seconde , à cause que dans ce cas iF =;= £/ ^«-

laquelle exprime toutes les conditions deTéquilibre.

Lorsque le mquvemen t change par degrés in^en* sîbles , nous avons trouvé (XXV) que les équations fondamentales deviennent s m Vp t cos R ^ — s m FrfF=o, etsmupdt <;ps f — s mu d (V cos j^) = oj donc en décomposant/? en trois autres forces parallèles aux trois axes , si ces forces composantes soht désignées par/;', p'\ p*'\ les équations précédentes deviendront, la première, srruV'p' dt + smV' p" dt+smV" p'" dt^smV' dV' + smV" dV"'\'smV'^' dV"\ ■ '

çt la seconde , s m u' p' d t '{^ s m u" p' d t '\' s m u!" p'" dt = smudV' + s mu'' d F"+ s m u''' dV"' \ enfin, dans le cas d'équilibre ,* la première s évanouira , et Igi seconde se réduira à ^ m u' p' + smu p" -^ s m u'" p'" = o.

Deuxième Remarque^

Jusqulci j'ai regardé ks êJs., verges, leviers, etc* «omme des ^corps rËûsamt eux^rmêmes p^urtie «bux systéone. Et icejUe hypo<tibè6e .eet entièrement iDonferme à la natasâre.; mais >uxie cho^e qu'il est iuidîipfimablement nécessaire d'observer^ c'est qu'à jafiLrterBtfsetfiment^ iLn'y ajprobalemeatdans l'tum* ^eiB ;sacun point ^aibsokwieiit &oe^ aucuxi obs-

fevier ne paroît tel, que /parce qu'il est appuyé sur la terre qui n'est point fixé elle-même, mais dont la masse est presque infiniment grande en comparaison de celles dont on cdhsidère ordinairement dan3 les machines l'action et la réaction les unes sur les autres: pour déplacer l'hypomoçhlion d'un levier, il faut donc aussi mettre en Bfiouvement le globe de la terre ; et il y est ei^ effet, quelques foibles que soient les puissances qui agissent sur la machine ; la quantité de mouvement qu'elles lui procurent , est égale à la résistance de Thypomochlion ; mais cette quantité finie de mouvement , se distribuant dans une masse presque infiniment grande, il en résulte à cette masse une vitesse presque infiniment petite, et voilà pourquoi ce mouvement n'est pas sensible , et peut se négliger dans la pratique.

Il suit de-là que ce qu'on appelle obstacles immobiles en mécanique , ne sont, autre chose que desi corps dont la maçse est si considérable , et par conséquent la vitesse si petite , que leur mouvement ne peut être observé: ce sera "donc «e rapprocher de la nature, que de considérer les obstacles ou points fixes , comme des corps mobiles aussi bien que tx>us les autres , mais d'une masse infiniment grande,, ou ce qui revient au x^ême, comme dés corps d'une densité infinie:, et qui ne différent qu'en ce point 4© tous les autres aorps du sy&ten\e. Il résultera de U un avantage

considérable, c**est qu on pourra' faire prendre au système où entreront ces corps , des mouvements quelconques géométriques 5 car dés qu'on apposera ces obstacles mobiles comme tous les autres corps 5 ils deviendront susceptibles c^e prendre des mouvements quelconques^ et le système général devra être regardé comme un assemblage de corpâ parfaitement mobiles; en conséquence, les quantités de mouvements , absorbées par les obstacles j pourront s'évaluer comme pour toutes les autres parties du système; /de sorte que si Ton appelle R la résistance d'un point fixe do|iné, cette quantité iZ sera dans Téquation (F) pour le point en question, ce qu est m f/pour le corps /w; on trouvera donc par cette équation cette même quantité R comme toutes les autres forces m U y ce qui nauroit pu se faire en considérant les obstacles comme absolument immobiles, sans avoir recours à quelque nouveau principe mécanique , qu'il auroit fallu faire concourir avec l'équation générale (F) pour parvenir à la solution complète de chaque problême particulier: ainsi cette maniéré de considérer les points fixes, est non-seulement la plus conforme à la nature , comme^ nous l'avons dit ci-dessus , mais encore la plu^s simple et la plus facile.

Quant aux fils , verges ou autres portions quelconques du système ,^dont les masses pourront ;(ltre supposées imfiniment petites , on pourra len

négliger , c'é^t-à-dîre ^ supposer chacune de leurs molétules m égale â zéro , ou ce qui revient' au même , regarder leur densité comme infiniment petite ou nulle ; notre équation ( F ) deviendra donc ainsi indépendante de ces quantités , c est>à-dire, la même que si Ton eût fait abstraction de la masse de ces corps ; et c'est ainsi qu'on trouvera aisément la théorie mathématique de chaque machine , c'est-à-dire , en faisant les abstraction» dont on a parlé (VIII).

De cette remarque, il résulte que quoiqu'il n'y ait qu'une seule espèce de corps dans la nature, on les distingue cependant, pour la facilité des calculs, en trois classes différentes, qui sont, i^ ceux qu'on considère tels qu'ils sont en effet et que la nature nous les offre ^ c'est-à-dire , qui sont d'une densité finie ; Q^ceux auxquels on attribue une densité infiniment grande, et qui par cçtte raison , doivent être reg&rdés comme sensiblement fixes et immobiles ; 3®. ceux auxquels on attribue unfe densité infiniment petite ou nulle ; et qui par conséquent n'opposent par leur inertie aucune résistance à leur changement d'état: on regarde ordinairement comme tels dans la pratique, les fils, verges, leviers et généralement tous les corps qui n'influent pas sensiblement par leur propre niasse , aux changements qui arrivent daik

le système , maïs qui sont seulement regardés comme des moyens de communication entre les différents agents qui le composent»

Troisième Remarque^

Après avoir traité de 1 équilibre et du mouvement en général, autant que mon objet principal pouvoit le permettre , je vais passer à ce qui regarde plus particulièrement ce quon entend communément par machines ; car quoique la théorie de toute espèce d'équilibre et du mouvement rentre toujours dans les principes précédents, puisqu'il n'y a , suivant la première loi , que des corps qui puissent détruire ou modifi?er le mdu^ vement des autres corps ; cependant il y a. des cas où l'on fait abstraction de la masse de ces corps, pour ne considérer que l'effort qu'ils font: par exemple , lorsqu un homme tire un corps par un ftl, ou le pousse par une verge, on n'introduit point dans le calcul la masse de Cet homme , ni même l'effort dont il est capable, mais seulement celui qu'il exerce en effet sur le point auquel il est appliqué; c'est-à-dire, la tension du fil, si c'est en tirant qu'il agit , ou la pressioi^ , ^i c'est en 'poussant; et sans considérer si c^ëst-un homme ou un animal, un poids, un ressôtt, une résistance occasionnée par un obstacle otï {>ar la force

à'inertie dun, mobile (i), un frQttemeilt , une impulsion causée par le vent ou par un courant , etc. On donne en général le nom de puissance, à TeAFort exercé par l'agent , c est-à^ire , à cette pression ou tension par laquelle il agit sur le corps auquel il est appliqué ; et Ton compare ces différente efforts s^ns égard aux agents qui les produisent , parce que la nature des agents ne peut rien changer aux forces qu'ils sont obligés d'exercer pour remplir les différents objets auxquels sont destinées les machines : la machine elle-mênaç , c'est-à-dire, le système des points fixes, obsta-: clés, verges, leviers et autres corps intermédiaires qui servent à transmettre ces différents efforts d'un agent à l'autre; la machjne, dis-je, elle-même est considérée comme un corps dépouillé d'inertie j

(i) Un corps qu*on force à changer son état de repos ou de mouvement, résiste (Xï) àPagent qui produit le changement ; et c'est cette résistance qu'on appelle

/ force d'inertie : pour évaluer cette force , il faut donc decpjnp^^er le mouvement actuel du corps en deux, dont Tun soit celui qu'il aura J'instant d'après ; car l'autre sera évidemment celui qu'il feudra détruire, pour forcer le corps à son changement d*ctat ; c'està-dire, la résistance qu'il oppose à ce changement ou sa force d'inertie , d'où il est aisé de conclure , que la foret d'inertie d'un corps y est la résultante de son mouvement actuel ^ et d'un mouvement égal et direc* ttmcnt opposé à celui qu'il doit avoir C instant suivant*

/ sa

* - (65) sa propre masse, lorsqu'il est nécessaire d'y avoir égard, soit à cause du mouvement qu'elle absorbe , soit à cause de sa pesanteur ou des autres forces motrices dont elle peut être anirpée , est regardée comme une puissance étrangère appliquée au système ; en un mot , une machine proprement dite , est un assemblage d obstacles immatériels, et de mobiles incapables de réaction , ou privés d'inertie, c est-à-dife, (XXIX) un système de corps dont les densités sont infinies ou nulles; à ce système, on imagine que différents agents extérieurs, au nombre desquels on comprend la masse même de la machme , sont appliqués , et se transmettent leur ^ction réciproque par lentremise de cette machine: c'est la pression ou autre effort exercé par chaque agent sur ce corps intermédiaire, qu'on appelle force ou puissance, et c'est la relation qui^ existe entre ces différentes for-ces, dont la recherche est l'objet de la théorie des machines proprement dites. Or, c'est sous ce point de vue , que nous allons maintenant traiter de l'équilibre et du mouvement ; mais une force prise dans ce sens , n'en est pas moins une quantité de mouvement perdue par l'agent qui Texerce , quel que puisse être d'ailleurs cet agent; qu'il agisse sur la machine en la tirant par un cordon , ou en , îa poussant par une verge ; la tension de ce cordon, ou la pression de cette verge, exprime également et l'effort qu'il exerce sur la machine ,

«t la qnantité.de mouvement qu'il perd lui-même par la réaction qu'il éprouve : si donc on appelle F cette force , cette quantité F sera là même chose que celle qui est exprimée par m U dati3 nos équations (i); donc si l'on appelle aussi î^, l'angle compris entre cette force F et la vitesse u , qu'auroit le point où on la suppose appliquée , si l'on faisoit 'prendre au système un mouvement quelconque géométrique ^ l'équation générale (F) deviendra s FucosX^ =1 o (AA). C'est donc sous cette forme que nous emploierons désormais cette équation , au moyen de quoi on pourra appliquer

(i) Il est évident que là quantité de mouvement perdue m Uytst la résultante du mouvement qu'auroit eu l'instant d'après le Corps m , s'il eût été libre , et du mouvemement égal et directement opposé à celui qu'il prendra réellement ; or, le premier de ces deux mouvements , est lui-même la résultante du mouvement actuel de /n 5 et de sa force motrice absolue ; donc m V est là résultante de trois forces qui sont : sa force motrice absolue , sa quantité actuelle de mouvement, et la quantité de mouvement égale et directement opposée à celle qu'il doit avoir l'instant d'après; mais suivant la note précédente^, ces deux dernières quantités de mouvement ont pour résultante la force d'inertie ; donc mUou F est la résultante de là force motrice de m et de sa force d'inertie ; c'est-à-dire , que lajorce exercée par un corps quelconque^ à ch<u que instant^ est la résultante de, sa force motrice abso* lue y et de sa force it inertie.

ce que nons dirons, à quelle espèce de 'force oïl voudra imaginer; et les principes exposes dam cette première partie , nous serviront à développer les propriétés générales des machines proprement dites ^ qui font l'objet de la seconde.

SECONDEPARTIE. .

Des machines proprement dites.