CD

sin (r — i)

sinr

= C08 1 — cos r . — -,

Résolue par rapport à n'^, cette équation donne

n^) (1 — cosi)

2^2 (1 —cosi)

ce qui correspond à l'expression de Young

Vn^ + 2 mv

La condition de l'aplanétisme est que le rapport entre les sinus, à l'endroit donné, soit égal à —p. Mais la condition reste la même, si

l'aplanétisme s'obtient par une variation de l'indice de la lentille, au lieu de la variation du milieu environnant. En désignant par n'g le nouvel indice de la lentille à la même distance de Taxe que tout à l'heure, on doit avoir

Cette proposition concerne le rôle que joue la structure spéciale du cristallin pour corriger l'aberration de sphéricité de l'œil.

ad Proposition VII et VIII

Ces deux propositions traitent la réfraction que subissent des rayons lumineux qui traversent une sphère ou une lentille dont l'indice varie d'après une loi donnée. La huitième proposition détermine la courbe que décrit un rayon dans un tel milieu, et la septième détermine la distance focale de la sphère ou de la lentille à indice variable ; elle donne par conséquent aussi l'indice „total" c'est-à-dire l'indice, que devait avoir une sphère ou lentille uniforme de proportions égales pour avoir la même distance focale. On peut tirer des recherches de Young ce résultat, à savoir que lorsque l'indice augmente vers le centre, l'indice total est même plus grand que l'indice de celui-ci. Mais quoique ce résultat se trouve répété partout la démonstration de Young a été très peu comprise. Il se servait d'une déduction, qu'il empruntait à la théorie d'attraction de Newton, mais qui n'est guère commode pour un lecteur moderne. Je la remplacerai par la suivante, que je dois à l'obligeance de M. le professeur Potier. — Young avait d'abord donné à la proposition VIII une autre forme, qui était erronée, et qu'il changeait plus tard contre celle qu'on vient de lire. Dans cette dernière forme la huitième proposition ne sert qu'à démontrer la septième. Nous allons donc la traiter la première.

Proposition VIII Problème

Trouver le chemin d'un rayon lumineux rencontrant obliquement une sphère, dont Vindice varie avec une puissance de la distance au centre.

I. Théorème de Laplage. Quand un rayon lumineux se meut dans un milieu, dont l'indice ne dépend que de la distance du point considéré, M (Fig. 10), à un centre 0, distance que nous appelons Xq^ le produit ttQ Xq sintQ reste invariable, t^ désignant l'angle, que forme le rayon lumineux avec la droite OM (l'angle d'incidence).

Soit IM (Fig.

10) le rayon incident dans une couche, dont l'indice est fiQf et soit OM = Xq ; le rayon pénètre dans une couche dont l'indice est fil et se réfracte en ML.

Désignons l'angle de réfraction LMO par Tq, le nouvel angle d'incidence QLO par i^^ et OL par a;^. En abaissant les perpendiculaires OP, OQ sur les rayons IM et ML^ on a

OQ = Xi sin ii^=XQ sin i'q = aj^ ain ï q . —

donc n-^x^ sin i ^ = Wq aj^ ain i^

Le produit n-^x-^ sini^ est donc resté le même et il en sera ainsi dans les couches suivantes.

n. Admettons maintenant avec Youn(î (jue Vindice est inversement propositionnel à une puissance de la distance au centre, et cherchons l'équation en coordonnées polaires de la courbe, que décrit un rayon lumineux dans ce milieu.

La variation de l'indice s'exprime par la formule

Fig. 10. T

nQ Vaî^/»

formule dans laquelle k représente la valeur que Young désigne par — . — Suivant le théorème de Laplace, nous avons

donc

stn tQ n^ Xi sin il sin i

ttg ^0

stn t

/Xq \k Xi /Q^ \k

\Xi)' Xq~\Xi)

. . /Xi\k—1

stn

Désignons ensuite par Ûq Tangle polaire de l'endroit de la courbe, où l'angle d'incidence est égal à Îq, et par û^ l'angle polaire, qui correspond à l'angle d'incidence i-^, — Notre courbe jouit de la propriété que

^o~^i — fc— 1

On a en effet

sin Ïq = Xq^~ ^ . const.

log. sin iQ=(k — 1) log. Xq -\- const.

et en différentiant,

ou ?^£iod!o(jfc l)^

stntQ Xq

ou encore ^— r- = (A; — 1) — -

Mais suivant la théorie des courbes, rapportées aux coordonnées polaires^, on a

donc -^ = Jk-l ou io zA^i

ou encore i^ = Ïq — (k — 1) (û^ — Ûq)

û^ — i?(y est l'angle compris entre les rayons vecteurs des deux points considérés. Désignons cet angle par û ; on aura

t\ =Îq — (fc-- l)i?

et l'équation de la courbe devient

x^\k — 1 sin t\ sin («q — (k—l)û)

stn tQ stn tQ

ou ^-.l/...w. (fc l)^)

I / sin (jQ - (k ^"'^'^ V sini.

Telle est donc l'équation de la courbe que décrit un rayon lumineux dans un tel milieu.

^ Sturm. Analyse p. 209.

La courbe a un caractère différent suivant que k = l. Lorsque A;>1

l/st

sin (Ïq — (A; — 1) i>)

stntQ

ne peut devenir infini que lorsque Îq = 0, c'est-à-dire dans le cas d'incidence normale, cas dans lequel le rayon ne subit aucune déviation. Dans tout autre cas la courbe est finie, c'est-à-dire revient sur elle-même, On voit aussi que Xi devient nul c'est-à-dire que la courbe passe par le centre lorsque («q — (A; — 1) i?) est égal à un multiple de 180®. — La figure 11 montre la courbe correspondant

Fig. 12. T.fc»2

Fig. 11. T. fc=:3

à A;^3; elle a quatre sommets et passe quatre fois par le centre, pendant que'i? augmente de 0® à 360®. Lorsque k = ^, la courbe est un arc de cercle (Fig. 12). C'est un cas spécial du fish's eye pro- Hem de Maxwell^.

^ Maxwell admettait cjjue la structure du cristallin des poissons était telle, que les ravons lumineux, en le traversant, décrivaient des arcs de cercle ; et il se demandait comment l'indice devait varier pour que cela fût possible. Voici la solution de ce problème.

Soient Jif,, et M, (Fig. 13) deux points de la circonférence MqM^A que nous admettons décrite par le rayon lumineux. Soit C le centre de cette circonférence, dont nous désignons le rayon par r, et soit le centre du milieu. Désignons Jif^ O par Xq et M^ par ac^.

Fig. 13 T. Triget circulaire d'un rayon lumineux dans un milieu dont l'indice augmente vers un centre 0.

igmc (Problème de Maxwell.)

Si A; = 1, rèquatîon de la courbe n'a pas de sens, mais on a

stn t^ sin ij^

Ci)"-^

c'est-à-dire l'angle i devient constant et le rayon décrit la spiraer logarithmique ^. Il tourne autoïu du centre en s'y rapprochant de plus en plus sans jamais l'atteindre / (Fig. 14). ♦''

Lorsque A;<. 1, k — 1 est négatif et l'expression de x^ prend

la forme suivante Fig. 14. T. fc=i

i-fc

l/ sintQ

x^ =xn y •

sin (io + (1 - A;) i?)

Le triangle MqOC nous donne la relation

0C« = r» + aco* - 2 rxo cos CM^O ou mur n r^ + X^^ - OC^

Xo COS CM^O =- '—^

et le triangle M^OC nous donne

nnjr n r^ + X^^ - OC^ x^ cos CM^O= ' — ^ ;

mais en désignant par i^ et i^ les angles d'incidence, on a

<OMoC = 90<>-ioetOJifiC = 90«-ii par conséquent suivant le théorème de Laplace,

UqXq cos CMqO = n^Xi cos CM^O

ou r«-OC« + ao* r«-OC« + i»i'*

/M ! il /M \ è

encore