CM^M
et
donc
Fig. 18. T.
d = <CM^M^-{-<CM^M^ = i-<OMQM^ = 180 «— il — Oilfi ilfo
Figurons -nous maintenant qu'un rayon lumineux ab (Fig. 19) rencontre sur son chemin dans un milieu uniforme une sphère ainsi bâtie, que la densité de sa couche la plus superficielle ne diffère pas sensiblement du milieu environnant, tandis que l'indice augmente vers le centre suivant la loi énoncée. Le rayon quitte sa marche rectiligne pour décrire la courbe {b c.) que nous venons de déterminer, et reprendre ensuite sa marche rectiligne cd. L'angle bpc est la déviation totale. En désignant par n^x^i^ les valeurs correspondantes au point d'entrée et par n-^x^i-^ celles correspondantes au point de sortie, on Q.nQ=n^ ei Xq^^x-^ et par conséquent, d'après le théorème de Laplace, sin i^ = sin i-^, e*est-à-dire i-^ = 180^ — Îq, et l'expression de la déviation
que nous venons de trouver, change en
ifc-1 = (180-2.„,-^
Fig. lî». T.
Réfraction d'un faisceau do rayon» (NirallMeH |>ar une Hplière à indice variable.
Mais la valeur de Tare 6 ^w est 180^ — 2 i^. La déviation est donc proportionnelle à Varc découpé par le rayon incident, et comme les rayons périphériques d'un faisceau de rayons incidents parallèles, découpent des arcs plus petits que les rayons centraux, leur déviation est bien plus faible. La sphère ne peut donc pas réunir des rayons parallèles en un foyer.
Il n'est pas besoin d'ajouter qu'une telle sphère est une pure fiction. L'indice au centre serait en effet infini, si A;> 1 et zéro, si A;<1, ce qui n'a aucun sens. La proposition ne sert qu'à la démonstration de la proposition suivante.
Proposition VIL Problème
Trouver le foyer principal d'une sphère ou d'une lentille dont les parties internes sont plus denses que les parties externes.
Disons d'abord quelques mots sur la réfraction par une sphère uniforme, dont l'indice soit n. (Fig. 20.) Soient ^1 et ^1^ deux foyers conjugués situés symétriquement, de manière à ce que les rayons
Fig. 20. T.
Réfraction par une sphère uniforme.
soient parallèles dans l'intérieur de la sphère. Le point A se trouve donc au foyer antérieur de la surface ivJ5iV et on aura
An ^^ A0 = 7-
L'effet de la moitié gauche de la sphère est donc égal à celui d'une lentille infiniment mince, placée en 0, et dont la distance focale serait F=AO, L'autre moitié de la sphère pouvant être remplacée par une lentille pareille, on a, en désignant par $ la distance focale de la sphère entière, comptée à partir du centre
AO
Enlevons maintenant de la sphère une partie correspondante à la bande LMPN, et collons les parties restant ensemble, de manière à former une lentille épaisse. Chaque moitié de cette lentille peut être remplacée par une lentille infiniment mince placée au milieu et dont la distance focale serait
AQ = AO—{B-d)
en mettant QO = d. — La distance focale de la lentille épaisse serait la moitié
AQ AO B — d
2jK — 2d
Pour trouver la distance focale de la lentille épaisse, il faut donc soustraire de la distance focale de la sphère un quart de la différence entre le diamètre de la sphère et l'épaisseur de la letUille.
Si (m colle ensemble deux demi sphères de même indice, mais de rayons différents {R A R-^), la distance focale de cette combinaison. comptée à partir du milieu, serait
F—iR—d) ' /'\-(/?i— di)
Figurons-nous maintenant, d'après Young, une sphère (AI^C. Fig. 21 ), de rayon Xq et entourée d un milieu à indice Hq. Admettons
Trnjrt «riiii riiv<»ii luiiiiiHMix daiiN uiif HpliiTc. dont riiidico vnru". daiiH l«'.s |>nrti«-.s |M>ripli4*ri(|Ui'N.
que la structure de la sphère soit telle, qu'une partie interne, correspondant au rayon x, ait un indice uniforme, (pii s'ex])rimerait par
. - aP'
tandis que dans la partie (îxtérieure Tindici^ décroîtrait vers la surface de manière à ce que Tindice d'un point (pielcompie ^ s'exprimerait par
/Xç^\fC
xe étant la distance du point E au centre 0. — L'indice de la couche extrême de la sphère est égal à l'indice du milieu environnant. Admettons que les rayons soient parallèles à l'axe AO dans la partie interne et soit DB un de ces rayons. En passant par la partie externe,
il décrit la courbe BG, qui, suivant la proposition VIII, est déterminée par les équations
>- = (fc-l) (1)
tQ—t
et s in tp ^ /^y — 1 /gx
stn t^ ^Xy
Arrivé à la surface, le rayon reprend sa direction rectiligne et vient couper Taxe en F, Nous allons déterminer la longueur OF, la distance focale de la moitié gauche de la sphère.
Le triangle FGO nous donne la relation
OF smÎQ
On tire de Téquation (1)
mais i-^ =i?i, donc
— loZlili.
~ Aî-1 '^•
Si les angles i et i\ sont petits, les relations (2) et (3) deviennent
donc . . /Xn\k — 1
et „ . . A
«0 — *o=«o — H-j^^TY
par conséquent
OF \Xy
Qy
Xq k— 1
Xq \XqJ
Xq h—i
Xq Wi
n-^ Xi k — 1
w* ce ^ Wq Xq k
0^ étant la distance focale de la moitié gauche de la sphère, la distance focale de la sphère entière sera
2 ttiiCi — Wq^Cq A; (En donnant à cette expression la forme suivante,
on remarque que le dernier facteur prend la forme — lorsque A; = 1 .
La vraie valeur de ce facteur est en ce cas
n-^ x-^^(Lxq — Lx^) ce qui donne à $ la valeur
2 Lxq — Lx^
Mettons pour plus de simplicité Xq = 1, — =tt, — = Z, donc
loal
flQ x^
L'expression générale de devient alors
1 n logn — logl
2 n — l logn
et dans le cas spécial de fc = 1
Figurons -nous maintenant une sphère ayant le même rayon que la nôtre, rayon que nous prendrons pour unité ; supposons qu'elle soit entourée du même milieu, et que son indice soit uniforme et tel, que la distance focale, comptée à partir du centre, soit égale à $. Désignons cet indice, que nous appellerons l'indice total, par N, et cherchons sa valeur.
La distance focale de la sphère uniforme s'exprime par
il faut donc que
ou
loql —
-logn
n log l — l log n
formule dans laquelle N exprime l'indice total par rapport à celui de la couche extrême de la sphère, n l'indice du noyau par rapport à ce même indice, et l le rapport entre le rayon de la sphère et celui du noyau. Les deux dernières valeurs sont liées entre elles par la relation
L'indice du centre est dans notre cas supérieur à l'indice de la couche extrême, mais il n'en diffère pas beaucoup ; n est donc un peu plus grand que l'unité ; sa valeur ne dépasse jamais 1 , ^^ .
On peut tirer de la formule la conclusion, qu'on a plus tard démontrée de différentes manières, à savoir que Vindice total dépasse toujours Vindice du noyau ^
^ Si on choisit l très grand, la valeur de N peut devenir négative, mais elle ne devient jamais positive et > w. l devient négatif lorsqu'il dépasse la (deuxième) valeur, qui satisfait à Téquation
log l log n
En mettant n = 1,^, cette valeur de l et d'environ 44.
On peut maintenant se figun^r «{ifon enlève une plaque du milieu de notre sphère. ]><>ur en former ime lentille éjmisse. Tant que l'épaisseur (le la hande ne dé]>asse pas le diamètre du noyau, nous aurons la même règle (jue pour la sphère uniforme : il faut soustraire de la distance f<»cale de la sphère un «piart de la différence entre le diamètre de la sphère et Tépaisseur de la lentille. L*indice total ne change pas par ce j)roc(Mlé. — ( )n j)eut également déterminer la distance focale d'une lentille, «pii n'est pas équironvexe. d*a]»rès le procédé, que nous avons indi<pié pag. lOS.
Si le milieu environnant n'a pas le même indice que la couche superficielle de la sphère, il faut multiplier Tindice total, que nous venons de trtMiver avee le rapport entre l'intlice de la couche superficielle et eehii du milieu environnant.
