i ■ , i ,• i j.tj*l J deuxième foyer
plus éloigne, passe donc toujours par le centre. La distance du
Fig.6
Différentes images que forme un faisceau cylindrique réfracté
obliquement par une surface sphérique, sur un écran qu'on
éloigne de plus en plus
et du cercle de moindre aberration.
Deuxième foyer d'une lentille.
Réflexions.
foyer le plus éloigné de rayons incidents parallèles s'exprime par
mu — nt Le plus petit cercle d'aberration se trouve à une distance égale à
2 muu (1 -\- uu) [mu — nt) Il divise la longueur d'aberration [la longueur interfocale] en deux parties, dont le rapport est le même que celui qui existe entre les distances qui séparent les deux foyers de la surface. Dans le cas mentionné dans le Corollaire X on a
' 2 (mu — nt)
Corollaire XII La proposition s'applique également aux rayons réfléchis, auquel cas la ligne partant du centre passe par le point d'incidence.
Grandeur et
position de
l'image.
Proposition V. Problème
Trouver la position et la grandeur de l'image d'un petit objet après réfraction par un nombre quelconque de surfaces sphériques.
Fig.7
Construction. D'un point B (Fig. 7) de l'objet AB, on tire deux droites, l'une passant par le centre C de la première surface, et l'autre par le foyer D des rayons parallèles, allant en sens contraire [le foyer antérieur de la surface]. Du point d'intersection de cette seconde ligne BD et de la ligne EF tangente au sommet de la surface, on mène une ligne EH parallèle à l'axe, laquelle coupera la première ligne BC en un point H, première image du point B. On raisonne avec cette image comme avec un nouvel objet, et l'on
répète l'opération pour chaque surface ; le dernier point trouvé sera l'image cherchée.
Par le calcul, on trouve la place de l'image au moyen du Corollaire V, Prop. IV, et la grandeur de l'image sera à celle de l'objet dans le même rapport que leurs distances respectives au centre.
S'il se forme une image diffuse sur une surface plane [écran] donnée, il sera nécessaire, pour en déterminer la grandeur, de tenir compte de l'ouverture qui donne accès aux rayons.
Si l'ouverture peut être supposée infiniment petite, on peut la considérer comme un point lumineux, pour trouver la direction des rayons émergents.
Proposition VI Problème Déterminer la loi suivant laquelle la réfraction par une Surface sPhèii-
que rendue
surface sphérique doit varier pour réunir des rayons parai- apianétique par Mes en un foyer complet. va™*ion de
• o ±. 1 mdice.
Soit v le sinus versus, le rayon étant pris pour unité. Si pour un point quelconque en dehors de l'axe, n reste le même, m doit avoir la valeur ]/mm + 2 nv pour que tous les rayons se réunissent au foyer principal.
Corollaire. Si on remplace m par n et inversement, la même loi sert pour une lentille biconvexe, dans le cas où les foyers conjugués se trouvent à distances égales de la lentille.
Proposition VII Problème
Trouver le foyer principal d'une sphère ou d'une lentille Réfraction par dont les parties internes sont plus denses que les parties indice variable. externes.
Solution. Pour que la distance focale ait une valeur finie, il faut qu'une partie autour du centre soit d'une densité uniforme.
Désignons le rayon de cette partie par —, en prenant le rayon de
la sphère comme unité ; admettons que la réfraction de cette partie centrale par rapport au milieu entourant la sphère, ait la valeur
— ; mettons ensuite r = 7 ^ , et admettons que la densité
n log m — log n
varie partout inversement avec la puissance — de la distance à
partir du centre : la distance focale principale, comptée à partir
du centre, sera alors — ^ — . -; . Lorsque r = 1, elle devient
2 ni — m l
. Pour une lentille il faut en soustraire un quart
2 {HLm - HLn)
de la différence entre son axe [épaisseur] et le diamètre de la sphère
dans laquelle ses surfaces sont découpées.
Corollaire. Si la densité varie brusquement à la surface, m doit exprimer la différence de réfraction au centre et à la surface ; et la distance focale ainsi déterminée doit être diminuée suivant la réfraction qui a lieu à la surface.
Proposition VIII. Problème.
Trajet d'un Trouver le chemin d'un rayon tombant obliquement sur
rayon dans une une Spjtgre dont la densité varie suivant une puissance quel-
sphère a indice
variable, conque de la distance du centre.
Tel que nous l'entendons dans ces propositions, le pouvoir réfringent varie dans le rapport des sinus et dans celui que la vitesse de la lumière met à se mouvoir dans le milieu (Scol. 2,
Prop. I). Soit x «-la vitesse à la distance x. En considérant la force réfringente comme une espèce d'attraction, on a (Prop. 41, 1. 1.
Princip.) y ABFD = x ~T , Q = s, le sinus d'incidence, le rayon étant pris comme unité, Z = sx~l
De
Vx~T — s2
2 XX V X r — S2 X
7T SX r ".1 — S2 X r
et la „ fluxion" de l'aire décrit par le rayon
Désignons par y le sinus de l'inclinaison vers le rayon en un point donné ; on a alors
y = SX r
1 — r JL 2 .
îf = SX r X.
et la „ fluxion" de l'aire
2r dont le „fluent" est
y-i—yy\
r si y est le sinus de l'arc Y; et l'angle correspondant sera j- Y.
Lorsqu'on aura trouvé les valeurs de cet angle pour deux valeurs quelconques de x et y, la différence sera l'angle décrit par le rayon. Le rapport de cet angle à la différence d'inclinaison est, par conséquent, égal à r : r — 1, et le rapport de la déviation à cette différence est 1 : r — 1.
Corollaire. Pendant le passage jusqu'au sommet et le retour à la surface, la déviation est donc toujours proportionnelle à l'arc découpé par le prolongement du rayon incident. Une telle sphère ne peut donc jamais réunir des rayons parallèles en un foyer, la densité latérale étant trop faible vers la surface.
Scolie générale. Les deux premières propositions expriment des phénomènes bien connus ; la troisième ne peut guère être considérée comme nouvelle ; la quatrième se rapproche de la construction de Maclaurin, mais elle est bien plus simple ; la cinquième et la sixième n'offrent pas de difficultés, mais les deux dernières exigent une longue démonstration. La septième peut être déduite de la huitième, ou être démontrée indépendamment. L'une est abrégée par une propriété des logarithmes, l'autre est dérivée des
lois des forces centripètes, en supposant la vitesse en rapport direct avec le pouvoir réfringent, en corrigeant les séries pour la position du sommet et en laissant varier le sinus d'incidence, pour déterminer la „fluxion" de l'angle de réfraction.
Dans la transcription suivante des formules de Young je désignerai par
nx l'indice du premier milieu;
n% l'indice du deuxième milieu ;
i l'angle d'incidence ;
r l'angle de réfraction ;
f1 la distance comprise entre l'objet et la surface réfringente ;
f2 la distance comprise entre l'image et la surface réfringente ;
Fx la distance focale antérieure ;
F2 la distance focale postérieure.
Dans les cas de réfraction astigmate, j'ajoute le signe ' à ces quatre dernières lettres, pour désigner que la distance est à comptef du premier point conjugué, et le signe " pour les distances, qui comptent à partir du deuxième point conjugué.
ad Proposition I
Scolie I. Nous exprimons en général le rapport entre les sinus par le rapport entre les indices respectifs des milieux relativement à
'Wb IfVb
l'air. L'expression de Young 7 = — se trouve donc transformée
en celle-ci, — , et les grandeurs de m et de n se traduisent dans le
ni °
langage plus moderne, que j'adopte, m par 2- — et n par — .
Scolie II. Il est connu que les expériences de Foucault ont définitivement tranché la question de la vitesse de la lumière en faveur de l'opinion émise par Young.
Les deux théories de la propagation de la lumière, celle des ondulations, émise par Huyghens et affirmant que la vitesse est plus grande dans un milieu moins dense, et celle de l'émission, énoncée par Newton, contredisant les affirmations de la précédente — ces deux théories, dis-je, datent presque de la même époque, mais la grande autorité de Newton fit généralement adopter la seconde, quoique fausse. Young fut un des premiers qui osèrent se prononcer en faveur de la théorie des ondulations et l'opposition, qu'il fit à cette occasion aux
idées de Newton provoqua contre lui, en Angleterre, un tel mouvement de réprobation, qu'il dut quitter pour un temps ses travaux d'optique. Ce n'est que beaucoup plus tard qu'il les reprit et posa les bases sur lesquelles Fresnel établit l'édifice monumental de l'optique moderne. C'est là un des exemples de l'influence nuisible que les grands hommes, à qui la science doit pourtant d'immenses progrès, ont parfois sur leurs successeurs. Ceux-ci, pour qui le avroç ecprj tient souvent lieu de preuve, en viennent à jurer par les erreurs du maître — de telle sorte qu'à une période de progrès succède trop fréquemment une période d'arrêt ou même de recul.
ad Proposition II
4 13 Les valeurs de — et -r-r, que Young emploie dans le deuxième 3 14 ^ ^
exemple, sont, comme nous verrons plus tard, celles qu'il admettait
comme indices de l'humeur aqueuse, par rapport à l'air et par rapport
au cristallin. Si, en adoptant une expression analogue à celle de Young,
nous désignons par — = - l'indice du cristallin par rapport à
l'air, on a u, m-, n 56 . ,^^
fx — 1 mn1 39
et ^ = Î7
ïr
ce qui donne les valeurs approximatives de 3,3 et 2,3.
ad Proposition III
Avec les expressions modernes on aurait
AE = — î et AD -
n1 d -\- n2 e n2 d-\- nx e
et clans le cas où e est parallèle à la base,
AE = ^d etAD = ^ d.
n2 nx
En supposant le problème résolu, le triangle BAD donne en effet la relation suivante (Fig. 4) :
Fig.4
d sin BDA
et le triangle BDC :
AD sin i
e sin BDA
1 — AD sin r
En divisant la première équation par la seconde, on obtient l'équation
d (1 — AD) sin r nx
AD sin i n2
qui, résolue par rapport à AD, donne la valeur indiquée.
On obtient d'une manière analogue la valeur de AE, ainsi que celles qui concernent l'incidence parallèle.
Young emploie cette proposition pour le calcul de l'aberration de sphéricité de l'œil accommodé.
ad Proposition IV
Cette proposition donne la loi de la réfraction d'un faisceau de rayons lumineux rencontrant obliquement une surface sphérique. Les corollaires traitent comme des cas spéciaux la réfraction sous incidence normale à une surface sphérique, la réfraction par une lentille biconvexe et biconcave (incidence normale ou oblique), la réfraction par une sphère et toutes les réflexions. Je donnerai dans la suite les formules dans un langage moderne. Elles ont été développées plus tard par différents auteurs, parmi lesquels je citerai Hermann : TJeber schiefen Durchgang von Strahlenbûndeln durch Linsen. Zurich 1874, chez qui on trouvera la démonstration de cette proposition.
On se figure souvent que nos connaissances des faisceaux astigmates sont assez récentes et datent surtout du temps où Sturm énonçait son théorème. Cette proposition montre que les anciens connaissaient très bien ces faisceaux, dont Newton et Smith avaient en partie donné la théorie. — Young a donné le développement complet de la réfraction des faisceaux obliques dans ses Mathematical éléments (Lectures II, p. 73).
Corollaire I. La distance du premier foyer s'exprime par
* = n2 fx C0S2 r R
n2 f± cos r — nx fx cos i — nx R cos2 i Corollaire IL Si la surface est plane, on a = n2 fx cos2 r 2 — n, cos2 i
Corollaire III. Rayons incidents parallèles.
p = n2 cos<i r R
2 n2 cos r — nx cos i
Scolie I. Young désigne par réflexion totale ce que nous appelons incidence rasante.
Corollaire IV. Young exprime par b et c la première distance focale postérieure et la première distance focale antérieure, c'est-àdire les distances que nous désignons par F' 2 et F\
n,cos'r B
n2 cosr — n1 cosi
n2 cos r — n1 cos i
(L'expression de F1 A se trouve de la formule du Corollaire I, en mettant f'2 =00, ce qui exige que le diviseur soit égal à zéro). — On a alors
Tpl f Tpi TT*
fi — F*fl etf Fi F 1FÎ . / 2 f 777/ eL / 2 * i
sous la forme
cette expression est connue sous le nom de la formule de Newton. Helmholtz emploie la forme
Corollaire V. Pour des rayons à incidence normale, on a
^ n2 fx B
2 (n2—n1)f1 — n1B ou
%2 4. *h =^2— ni
ce qui permet aussi de trouver le rayon B
R = K-%)fif2
ni fi 4- «1 f2
Corollaire VI. Pour des rayons parallèles à incidence normale, on a F = n*R
Corollaire VII Désignons le premier rayon d'une lentille biconvexe par Bx, le deuxième par B2. On a alors pour des rayons à incidence normale
»1 A Bl B<2
fl{B1 + B2) {n2 — nl) — n1B1B2 ou 1 . 1 n2 — nx / 1 1 \
et si les rayons sont parallèles, F=
n1 Bx B2
n2 — nx ' B1-\- B2
ou 1 n2 — nx / 1 1 \
F = ~nx XB~X + £y
Si Bx = -B2 == -^
et pour des rayons incidents parallèles,
et 1 j A 1
Corollaire VIII. Réfraction par une sphère
(fx + B)n2B
{f1-\-B){n2-Znx)-\-n2f1
ou 1 1 /„ /\ 2w,
Il est à remarquer que dans cette formule fx est compté à partir de la surface, f2 à partir du centre.
La distance focale principale s'exprime par la formule
n B F = — — -. (Voir la proposition VIII.)
2 (^2 n\) Corollaire X. La première distance focale principale postérieure d'une lentille biconvexe ou biconcave d'épaisseur négligeable et placée obliquement, se trouve par la formule
F', = Ul C°s2 l B
2 2 \n2 cos r -r- nx cos i)
ou 1 2 n2cosr — nxcosi
F'0 B ' n-, cos2 i
Cette formule suppose que la lentille soit équiconvexe (équiconcave). Dans le cas où les deux rayons de courbure diffèrent entre eux, on aura
n1 cos2 i . R± R2
jpi
2 (R1 -f- R2) (n2 cosr — n1 cosi)
Scolie IV. Le cas exceptionnel est celui où les rayons convergent vers le point dit aplanétique, situé du côté concave de la surface à une distance égale à (n -\- 1) R.
Corollaire XL La place du deuxième foyer principal [deuxième ligne focale] d'une surface se trouve par la formule
n0 cos r — n-, cosi cos2 r
Le cercle de moindre aberration est situé à une distance de la surface, égale à
<2n2cos2r „ IF'
(n2 cos r — n1 cos i) (1 -j- cos2 r) (1 4" cos2 r)
Le deuxième foyer d'une lentille équiconvexe rencontrée obliquement par des rayons parallèles est situé à une distance égale à
nxR F'
2 (n2 cos r — n-^ cos i) cos' Si les rayons diffèrent entre eux, on a
1 /l l\n0cosr — n^cosi
\B1 + rJ
Corollaire XII. La „ligne du centre" est celle qui correspond à HG fig. 5, c'est-à-dire la perpendiculaire, abaissée du centre, sur la bissectrice des cordes, formées par les parties du rayon incident prolongé et du rayon réfléchi, comprises dans la surface réfléchissante.
Résumé. Avec ses corollaires cette proposition donne des règles pour trouver les deux „ foyers" (ou comme nous disons les deux lignes focales), résultant d'une réfraction oblique — aussi bien par construction que par calcul. Résumons ces règles :
1) Construction du premier „ foyer" . On trace le rayon incident et le rayon réfracté en les prolongeant jusqu'à ce qu'ils coupent la surface en deux points ; ils forment ainsi deux cordes. On trace leur bissectrice et on y abaisse la perpendiculaire du centre. Une droite passant par le point lumineux et le pied de la perpendiculaire, coupe le rayon réfracté en un point qui est le premier foyer conjugué du point lumineux.
Ce sont les rayons qui se trouvent dans le plan d'incidence qui se réunissent en ce point. La première ligne focale est donc perpendiculaire à ce plan.
2) Construction du deuxième „ foyer" . Le deuxième „foyer" se trouve à l'endroit où une droite passant par le point lumineux et le centre de la surface (l'axe) vient couper le rayon réfracté (Coroll. XI). La deuxième ligne focale, qui se forme ici, est située dans le plan d'incidence et coïncide avec l'axe.
3 ) Distances focales d'une surface
F' =R nicos*i F, =R n2cosir
1 n2cosr — n1cosi' 2 n2cosr — nxcos% F" = B ïi : , F\ =B ^ ■•
n2cosr — n1cost 2 n2cosr — nxcost
(L'expression de Fx" se trouve de celle de F2" en changeant
n2 en nx, et i en r.)
4) Si le point lumineux est situé à une distance finie, on trouve
les foyers conjugués, au moyen des formules
*i-+£a-=l et^-4-^2-=l
Il 11 11 /2
5 ) Distances focales d'une lentille
1 / 1 i 1 \ ni cosr — n1 cosi 1\ ~ \B[ + B~) nx cos2 i
1 /l l\nn cosr — n-, cosi
F2 \B1 B2J nx
6 ) Si l'objet se trouve à une distance finie, on a 1 1 11.1 1
A h' F' ft ' f2" F" 7 ) Dans le cas d'incidence normale, on a cos i = cos r = 1 ; les formules prennent la forme généralement connue, les deux foyers se confondant en un seul.
La proposition V n'offre pas de difficultés.
ad Proposition VI
Le sinus versus est un terme de trigonométrie, abandonné maintenant par les mathématiciens ; on l'employait pour désigner la différence entre l'unité et le cosinus.
Désignons comme avant par n± l'indice du milieu, d'où viennent les rayons, par n2 l'indice du deuxième milieu, le long de l'axe, et par n'2 le nouvel indice à un point donné en dehors de l'axe.
SUR LE MECANISME DE L'ŒIL L'expression de Young devient alors
nn — n
rV,
)2 2(«2-Wl)
cosi)
ou n'2 = yn22 — 2w:(
2 — v„2 ~„1V.*2 — «^(i— cosi)
Admettons en effet que la condition soit remplie pour la surface ABD (Fig. 8). CF étant égal à la distance focale antérieure, on a
Le triangle CDF nous donne en outre la relation
CD sin (i — r) sin i cos r — cos i sin r
CF
smr
cos r
sin r
cos i.
En combinant les deux équations, on a
n2 — n1= n' 2 cos r — n1 cos i ou n2 — nx -f- nx cosi = n'2 cos r
y 1 — sin2 r
1 j=- sin1 %
n-, sin* t.
Résolue par rapport h n'2, cette équation nous donne la valeur indiquée ci-dessus.
Le corollaire concerne le cas d'une lentille équiconvexe, les deux foyers conjugués se trouvant à distance égale de la lentille. Les rayons sont alors parallèles entre eux dans l'intérieur de la lentille
Fig.9. T.
Considérons l'une des surfaces et figurons-nous que les rayons suivent le chemin inverse, venant de l'intérieur de la lentille et traversant la surface pour aller se réunir au foyer antérieur de la surface, F (Fig. 9). Admettons un instant que la condition d'aplanétisme soit remplie par la variation, non de n2 mais de n1 (l'indice du milieu entourant la lentille) et désignons par n\ l'indice de ce milieu en un point quelconque, en dehors de l'axe, mais voisin de la surface. CF étant égal à la distance focale postérieure de la surface, on a
CD
CF
n2 sin (r
sinr
cos % — cos r .
■n» cost — n , cosr.
Résolue par rapport à n\, cette équation donne
n\ —yn^ -\-%n2 (n2 — nx) (1 — cosi)
ou
i\ "1/ n^ %n2(l — cosi)
— n1 f (n2 — nx)2 n2—n1
%' n2 — ce qui correspond à l'expression de Young
yn2 -\- 2 mv
La condition de l'aplanétisme est que le rapport entre les sinus,
à l'endroit donné, soit égal à — — . Mais la condition reste la même, si
l'aplanétisme s'obtient par une variation de l'indice de la lentille, au
lieu de la variation du milieu environnant. En désignant par n\ le
nouvel indice de la lentille à la même distance de l'axe que tout à
l'heure, on doit avoir
ou . n-, n?
yn^ -\- Qn2 (n2 — nx) (1 — cosi) Cette proposition concerne le rôle que joue la structure spéciale du cristallin pour corriger l'aberration de sphéricité de l'œil.
ad Proposition VII et VIII
Ces deux propositions traitent la réfraction que subissent des rayons lumineux qui traversent une sphère ou une lentille dont l'indice varie d'après une loi donnée. La huitième proposition détermine la courbe que décrit un rayon dans un tel milieu, et la septième détermine la distance focale de la sphère ou de la lentille à indice variable ; elle donne par conséquent aussi l'indice „total" c'est-à-dire l'indice, que devait avoir une sphère ou lentille uniforme de proportions égales pour avoir la même distance focale. On peut tirer des recherches de Young ce résultat, à savoir que lorsque l'indice augmente vers le centre, l'indice total est même plus grand que l'indice de celui-ci. Mais quoique ce résultat se trouve répété partout la démonstration de Young a été très peu comprise. Il se servait d'une déduction, qu'il empruntait à la théorie d'attraction de Newton, mais qui n'est guère commode pour un lecteur moderne. Je la remplacerai par la suivante, que je dois à l'obligeance de M. le professeur Potier. — Young avait d'abord donné à la proposition VIII une autre forme, qui était erronée, et qu'il changeait plus tard contre celle qu'on vient de lire. Dans cette dernière forme la huitième proposition ne sert qu'à démontrer la septième. Nous allons donc la traiter la première.
Proposition VIII. Problème
Trouver le chemin d'un rayon lumineux rencontrant obliquement une sphère, dont Vindice varie avec une puissance de la distance au centre.
I. Théorème de Laplace. Quand un rayon lumineux se meut dans un milieu, dont l'indice ne dépend que de la distance du point considéré, M (Fig. 10), à un centre 0, distance que nous appelons x0, le produit n0 x0 sini0 reste invariable, i0 désignant l'angle, que forme le rayon lumineux avec la droite OM (l'angle d'incidence).
Soit IM (Fig.
10) le rayon incident dans une couche, dont l'indice est n0, et soit OM = x0 ; le rayon pénètre dans une couche dont l'indice est nx et se réfracte en ML.
Désignons l'angle de réfraction LMO par r0, le nouvel En abaissant les per-
Fig. 10. T
angle d'incidence QLO par i1 et OL par x-
pendiculaires OP, OQ sur les rayons IM et ML, on a
OQ = xx sini1 = x0sinrQ =x0 sini0 . —
don
c n, x-, smi-
■ iv ç\ 00 r\ S tib v r
Le produit nxxx sin ix est donc resté le même et il en sera ainsi dans les couches suivantes.
IL Admettons maintenant avec Young que l'indice est inversement propositionnel à une puissance de la distance au centre, et cherchons l'équation en coordonnées polaires de la courbe, que décrit un rayon lumineux dans ce milieu.
La variation de l'indice s'exprime par la formule
n0 \xxJ >
formule dans laquelle k représente la valeur que Young désigne par — .
— Suivant le théorème de Laplace, nous avons
donc
stn t.
O tlfv t -i IV r\ 00 r\
S%IV t r\ / 00 r\ \K> 00 T / O \
o vrv % -i \0u 1 / 00 r\ \00 -i /
• • /xl\
l-, =stn *n ( I
Désignons ensuite par #0 l'angle polaire de l'endroit de la courbe, où l'angle d'incidence est égal h i0, et par ^ l'angle polaire, qui correspond à l'angle d'incidence ix. — Notre courbe jouit de la propriété que
In t-l
const.
On a
en effet
sin i0 =
