const
log.
sin i0 =
1) log. x0
et en
différentiant
cl sin i0
clx0
St/ib v r\ X
COS v ri Q/Vç\ ,-. . -. CtX q
SvTv V f\ X
ou encore — ^- = (k — 1) —
tgt0 x0
Mais suivant la théorie des courbes, rapportées aux coordonnées polaires1, on a
tgi° = ~7hT'd®°
donc 77^- = k — 1
air0
^i — ^o ou encore i1 = i0 — (k — 1) (fi-^ — #0)
iï-t — Ûq est l'angle compris entre les rayons vecteurs des deux points considérés. Désignons cet angle par ïï ; on aura
*i =*o — (fc— !)^ et l'équation de la courbe devient
x1\k — 1 sin i-, sin (i0 — (k — 1) ■&)
sin tn stnt
. sin(i0-(k- i)ê)
sini.
Telle est donc l'équation de la courbe que décrit un rayon lumineux dans un tel milieu.
1 Sturm. Analyse p. 209.
La courbe a un caractère différent suivant que k = l. Lorsque k^> 1
fc-i /
sin(i0 — {k — 1) #) sin in
ne peut devenir infini que lorsque i0 = 0, c'est-à-dire dans le cas d'incidence normale, cas dans lequel le rayon ne subit aucune déviation. Dans tout autre cas la courbe est finie, c'est-à-dire revient sur elle-même, On voit aussi que xx devient nul c'est-à-dire que la courbe passe par le centre lorsque (i0 — (k — 1)$) est égal à un multiple de 180°. — La figure 11 montre la courbe correspondant
T. fc = 2
Fig. 11. T. fe = 3
à fc = 3; elle a quatre sommets et passe quatre fois par le centre, pendant que*# augmente de 0° à 360°. Lorsque k = 2, la courbe est un arc de cercle (Fig. 12). C'est un cas spécial du fish's eye problem de Maxwell1.
Fig. 13. T.
Trajet circulaire d'un rayon lumineux dans un milieu dont l'indice augmente vers un centre O. (Problème de Maxwell.)
1 Maxwell admettait que la structure du cristallin des poissons était telle, que les rayons lumineux, en le traversant, décrivaient des arcs de cercle ; et il se demandait comment l'indice devait varier pour que cela fût possible. Voici la solution de ce problème.
Soient M0 et M} (Fig. 13) deux points de la circonférence M0M1A que nous admettons décrite par le rayon lumineux. Soit C le centre de cette circonférence, dont nous désignons le rayon par r, et soit O le centre du milieu. Désignons M0 O par x0 et Mr O par xx.
Si &— 1, l'équation de la courbe n'a pas de sens, mais on a
sin ix {xi\° sin Îq \a?0 /
c'est-à-dire l'angle i devient constant et le rayon décrit la spiraex logarithmique 1. Il tourne autoîu du centre en s'y rapprochant de plus en plus sans jamais l'atteindre (Fig. 14).
Lorsque k <L 1, k — 1 est négatif et l'expression de x1 prend la forme suivante
i-fc
Fig. 14. T. fc = l
sim.
sin (i0 -|- (1 — fe) #)
Le triangle M0OC nous donne la relation
OC2 = r2 + £c02 - 2 nc0 cos Cflf00
£c0 cos CM00 et le triangle MxOC nous donne
ac, cos Clf, 0 -—
mais en désignant par i0 et ix les angles d'incidence, on a <OJkfoC = 90°-*o etOM1C = 90°-i1 par conséquent suivant le théorème de Laplace,
n0x0 cos CM00 = UiX-l cos CMxO
-OC
r* -\- xx* —
OC
