OU T

OC2 + x0'-

ou encore

r*-OC* + xx-

r*-OC* -f x0*

n0 r*-OC*-\-xx* (Dans le cas cité dans le texte, on a

Vv-t *^o

r doit donc être égal à OC, c'est-à-dire que la circonférence doit passer par le centre du milieu 0.)

En désignant par fix0 l'indice au centre 0, où x0 = 0, la condition de Maxwell devient

nxç.

1 La tangente à cette courbe forme un angle constant avec le rayon vecteur. Voir Stubm, Analyse I, p. 216.

xx ne devient nul, et la courbe ne passe par le centre que dans le cas d'incidence normale (*0 = 0). Il de vient infini lorsque iQ-\-(l — k)ïï devient un multiple de 180°. On peut distinguer trois cas.

Fig. 15. T.

fe=4

Quand k^ ~, le rayon décrit une courbe tournant la concavité vers

le centre 0. (Fig. 15. k = — ).

Nous verrons plus tard que c'est le cas du cristallin. Quand k = 0, la courbe devient une droite, le milieu étant uniforme (Fig. 16).

Fig. 16. T. k --= 0

Quand k<Z 1 l'indice diminue vers le centre et le rayon lumineux tourne sa convexité vers lui (Fig. 17. fc = — 1).

Fig. 17. T. k ■•

III. Young appelle déviation l'angle {cl Fig. 18) que forment entre elles les tangentes à la courbe en deux points donnés. Cherchons la valeur de cet angle. On a (fig. 18)

mais

et donc

Fig. 18. T.

d = < CM0M1 -f- < CM^q

< CM0M1 =i—< OM0M1

< CM.XM0 = 180° — i1 — OMxM0

$= 180° — {OM0M1 -f OMxM0) d = in — i1 -\- &

iQ-

= êk = (i0 — i1)

Figurons -nous maintenant qu'un rayon lumineux ab (Fig. 19) rencontre sur son chemin dans un milieu uniforme une sphère ainsi bâtie, que la densité de sa couche la plus superficielle ne diffère pas sensiblement du milieu environnant, tandis que l'indice augmente vers le centre suivant la loi énoncée. Le rayon quitte sa marche rectiligne pour décrire la courbe ( b c. ) que nous venons de déterminer, et reprendre ensuite sa marche rectiligne cd. L'angle bpc est la déviation totale. En désignant par n0 x0 i0 les valeurs correspondantes au point d'entrée et par n1 xy ix celles correspondantes au point de sortie, on a n0 =n1 et xQ = x± et par conséquent, d'après le théorème de Laplace, sin i0 = sinix, e'est-à-dire ix = 180° — i0, et l'expression de la déviation

que nous venons de trouver, change en

Fig. 19. T.

Réfraction d'un faisceau de rayons parallèles par une sphère à indice variable.

Mais la valeur de l'arc b tm est 180° — 2 i0. La déviation est donc proportionnelle à l'arc découpé par le rayon incident, et comme les rayons périphériques d'un faisceau de rayons incidents parallèles, découpent des arcs plus petits que les rayons centraux, leur déviation est bien plus faible. La sphère ne peut donc pas réunir des rayons parallèles en un foyer.

Il n'est pas besoin d'ajouter qu'une telle sphère est une pure fiction. L'indice au centre serait en effet infini, si k^> 1 et zéro, si k<Cl, ce qui n'a aucun sens. La proposition ne sert qu'à la démonstration de la proposition suivante.

Proposition VII. Problème

Trouver le foyer principal d'une sphère ou d'une lentille dont les parties internes sont plus denses aue les parties externes.

Disons d'abord quelques mots sur la réfraction par une sphère uniforme, dont l'indice soit n. (Fig. 20.) Soient A et Ax deux foyers conjugués situés symétriquement, de manière à ce que les rayons

Fig. 20. T.

Réfraction par une sphère uniforme.

soient parallèles dans l'intérieur de la sphère. Le point A se trouve donc au foyer antérieur de la surface LBN et on aura

AO=nB

L'effet de la moitié gauche de la sphère est donc égal à celui d'une lentille infiniment mince, placée en 0, et dont la distance focale serait F= AO. L'autre moitié de la sphère pouvant être remplacée par une lentille pareille, on a, en désignant par <2>la distance focale de la sphère entière, comptée à partir du centre

~F~ ÂO

Enlevons maintenant de la sphère une partie correspondante à la bande LMPN, et collons les parties restant ensemble, de manière à former une lentille épaisse. Chaque moitié de cette lentille peut être remplacée par une lentille infiniment mince placée au milieu et dont la distance focale serait

AQ = AO— (B — d) en mettant QO = d. — La distance focale de la lentille épaisse serait la moitié

AQ AO B — d

Pour trouver la distance focale de la lentille épaisse, il faut donc soustraire de la distance focale de la sphère un quart de la différence entre le diamètre de la sphère et V épaisseur de la lentille.

Si on colle ensemble deux demi sphères de même indice, mais de rayons différents (B et Bx), la distance focale de cette combinaison, comptée à partir du milieu, serait

Figurons-nous maintenant, d'après Young, une sphère (APC. Fig. 21), de rayon x0 et entourée d'un milieu à indice n0. Admettons

Fig. 21. T.

Trajet d'un rayon lumineux dans une sphère, dont l'indice

varie dans les parties périphériques.

que la structure de la sphère soit telle, qu'une partie interne, correspondant au rayon x, ait un indice uniforme, qui s'exprimerait par

tandis que dans la partie extérieure l'indice décroîtrait vers la surface de manière à ce que l'indice d'un point quelconque E s'exprimerait par

(Xq\K — ).n0 xEJ

xe étant la distance du point E au centre 0. — L'indice de la couche extrême de la sphère est égal à l'indice du milieu environnant. Admettons que les rayons soient parallèles à l'axe AO dans la partie interne et soit BB un de ces rayons. En passant par la partie externe,

il décrit la courbe BG, qui, suivant la proposition VIII, est déterminée par les équations

et sinir. /xa\k — 1 stn %x \x1s

Arrivé à la surface, le rayon reprend sa direction rectiligne et vient couper l'axe en F. Nous allons déterminer la longueur OF, la distance focale de la moitié gauche de la sphère.

Le triangle FGO nous donne la

relation

sini0

JU f\ O vïïv

On tire de l'équation (1)

îais i1 = #-,, donc

to **o = *o ~

Si les angles * et ^ sont petits, les relations (2) et (3) deviennent

^o __ fxo\' i-, \x,s

-xn\k—l OF i,

donc

/Xo\k— i

et . . . fc

OC r\\fC ±

par conséquent

/0Cç\k— 1 0F \xxJ

oc r\ rc \~/r*^,ç\\ /

iLCir1'-1]

'o kl

1 /'OC t \ rC iC

JU f\ ^Ji/ r\ '

OC r\ fC A

*v-\ OC -i #t- n «^ n

0 F étant la distance focale de la moitié gauche de la sphère, la distance focale de la sphère entière sera

-r Ou ç. rh i OC -i fis J-

2 n1x1 — n0 x0 k (En donnant à cette expression la forme suivante,

OC (\ tb i OC -\ h/ J.

M fC Ifb -] OC -i *v r\ Ou à

on remarque que le dernier facteur prend la forme — lorsque k = 1. La vraie valeur de ce facteur est en ce cas

nx x^{IjXq — Lxx) ce qui donne à <5 la valeur

2 LxQ — Lxx x0 1

= lk et k

logl

2 Ln1 — Ln0

is de su log n

Mettons pour plus de simplicité x0 = l, — ==n, — = l, donc

*V(\ OC i

L'expression générale de 0 devient alors

1 n log n — log l

2 n — l log n et dans le cas spécial de k = 1

Figurons -nous maintenant une sphère ayant le même rayon que la nôtre, rayon que nous prendrons pour unité ; supposons qu'elle soit entourée du même milieu, et que son indice soit uniforme et tel, que la distance focale, comptée à partir du centre, soit égale à 0. Désignons cet indice, que nous appellerons l'indice total, par N, et cherchons sa valeur.

La distance focale de la sphère uniforme s'exprime par

1 N lÏN-^ï ;

il faut donc que

2iV— 1

log l — log n

n log l — l log n

formule dans laquelle N exprime l'indice total par rapport à celui de la couche extrême de la sphère, n l'indice du noyau par rapport à ce même indice, et l le rapport entre le rayon de la sphère et celui du noyau. Les deux dernières valeurs sont liées entre elles par la relation

n = Ve.

L'indice du centre est dans notre cas supérieur à l'indice de la couche extrême, mais il n'en diffère pas beaucoup ; n est donc un peu plus grand que l'unité ; sa valeur ne dépasse jamais ln.

On peut tirer de la formule la conclusion, qu'on a plus tard démontrée de différentes manières, à savoir que l'indice total dépasse toujours l'indice dm noyau \

1 Si on choisit l très grand, la valeur de N peut devenir négative, mais elle ne devient jamais positive et ]> n. I devient négatif lorsqu'il dépasse la (deuxième) valeur, qui satisfait à l'équation

log l log n En mettant n = 1?1, cette valeur de l et d'environ 44.

On peut maintenant se figurer qu'on enlève une plaque du milieu de notre sphère, pour en former une lentille épaisse. Tant que l'épaisseur de la bande ne dépasse pas le diamètre du noyau, nous aurons la même règle que pour la sphère uniforme : il faut soustraire de la distance focale de la sphère un quart de la différence entre le diamètre' de la sphère et l'épaisseur de la lentille. L'indice total ne change pas par ce procédé. — On peut également déterminer la distance focale d'une lentille, qui n'est pas équiconvexe, d'après le procédé, que nous avons indiqué pag. 108.

Si le milieu environnant n'a pas le même indice que la couche superficielle de la sphère, il faut multiplier l'indice total, que nous venons de trouver avec le rapport entre l'indice de la couche superficielle et celui du milieu environnant.