SUR LES MEAVEUXES DES IDÉES

n^tiirello ; 4, 2, 3, 4, 5, etc,, chacun par lui-même, od aura toute la suite des nombres qu'on appelle carrés ;

. 4, i, 0, 16, 25, 36, 49, 6i, 84 , etc., jusqu'à Tinfini.

43'. Que dans la soito wtière des nombres carrés, les différences des termes noos demieat laecessiyement tous les nombres impairs :

• 3, 6, 7, 9, 44, 43, 45, etc.

Donc, en mettant l'unité à la tète, on aura toute la progression des nombres impairs :

4,3,5,7,9,44,43, 45, 47, etc.

D'où il suit encore visiblement que toute la progression des nombres impairs étant donnée, on pourra former tous les carrés des nombres multiples de l'unité par la seule addition : le carré du nombre 2, par l'addition des deux premiers termes, 4 ph» 3; le carré du nombre 3, par l'addition dés trois premiers termes, 4 plus 3, plus 5, etc. , Jusqu'à rinfini.

44*. Que si l'on multiplie un ncmibre multiple de l'unité, par exemple, 2, d'abord par lutnméme; son premier produit 4 , encore par 2 ; le second 8 , encore par 2 , etc. , jusqu'à l'infîni , on aura successivement tous les nombres , qu'on appelle ses puissances , son carré , son cube , etc. , rangés en progression géométrique dans cet ordre :

2, 4, 8, 46, 32, 64, etc.,

où Ton ap^Ue racine de la progression le premier nombre 2.

45®. Que l'unité est à chacun de ses multiples comme ce multiple est à son carré ,

C'est-à-dire que dans notre exemple 4 est à 2 , comme 2 est à 4 en raison géométrique.

D'où il suit que, dans toutes les progressions géométriques des nombres , on peut toujours prendre l'unité pour le premier terme; ce qui n'arrive pas toujours dans les progressions arithmétiques, bien qu'il y arrive un nombre infini de fois.

16**. Que dans toutes les progressions, soit arithmétiques, soit géométriques, on est forcé par l'idée des nombres, d'admettre entre le fini d'où elles partent, et l'infini où elles parviennent, des nombres d'une espèce moyenne, dont la nature est de former le passagd de Tan à Tautre.

Passage du fini à l'infini très-obscur, il est vrai , incompréhensible même à l'esprit humain. Nous en convenons avec tous les auteurs qui ont tenté de s'y faire jour, WalHs, Fontenelle , etc. ; mais le fait est constant , par la seule idée des progressions infinies dont nous avons indiqué tant d'exemples.

D'où il suit que nous y devons reconnaître en général trois espèces de nombres , des nombres finis au commencement de la progression ; des nombres infinis â la fin sans fin où elles arrivent ; et entre ces deux extrêmes des nombres d'une espèce moyenne, qui font le jpassage des uns aux autres.

C'est à l'incomparable M. de Fontenelle * que nous devons la découverte , ou du mdns la première explication (Je ces nombres d'espèce moyenne entre les finis et les infinis.

Mais il ne faut pas épuiser ncrtre admiration sur l'objet de notre première science démonstrative. Les idées des gran-> deurs géométriques ne sont pas moins fécondes en merveilles ; et pour en trouver un nombre infini, nous n'aurons pas besoin de nous élever jusqu'à la sublime géométrie que nos Apol-* lonius modernes appellent transcendante , comme pour en écarter les profanes. Je me borne à la considération des grandeurs géométriques les plus élémentaires, aux deux lignes les plus simples par leur uniformité dans tout leur cours, la droite et la circulaire; aux deux angles compris j l'un entre deux lignes droites et Fautfe entre une ligne droite et la circonférence du cercle, et, pour ne pas oublier la merveille des grandeurs incommensurables j aux deux premières

' Êlém, de Htifinij scci. 3.

252 SUR LES M£RVEaL£S DES IDÉES.

qui se présentèrent autrefois aux anciens géomètres dans le carré divisé par sa diagonale; en un mot, je me borne aux seules vérités démontrées dans les éléments d'Euclide, et nous suivrons même sa méthode, comme la plus simple, sans craindre que la simplicité en dégrade le merveilleux. 4®. Quelle est l'idée de la ligne droite? Nous voyons qu'elle se définit elle-même une simple et pure longueur, sans détour, sans inflexion dans toute son étendue.

D'où il suit que la ligne droite ainsi considérée ne connaît point de bornes , qu'elle n'a ni commencement ni Gn ; en un mot, qu'elle est infinie.

Que si l'on se représente une autre ligne droite qui coupe la première en deux parties, ses deux parties auront un oonunencement au point de section , mais sans avoir une fin du côté de leur prolongement.

Que si hors du premier point coupant de la ligne totale, on en suppose un second qui la coupe enox)re , on en verra naître l'idée d'une ligne droite finie , c'est-à-dire comprise entre deux points.

Que les deux points terminants d'une ligne droite finie ne sont pas des parties de cette ligne, mais de purs termes , et cependant quelque chose d'aussi réel que la ligne même dont ils sont les extrémités.

Enfin , en général , que la ligne droite est , par sa direction toujours la même , la plus courte ligne que l'on puisse tirer entre deux points;

Et par conséquent que c'est la mesure naturelle de la distance d'un point à un autre.

2®. Quelle est l'idée de l'angle? et d'abord de l'angle rectiligne, qui est le plus simple?

Elle nous le représente manifestement comme un espace étendu en long et en large , compris entre deux lignes droites qui se joignent dans un même point en s'éloignant partout ailleurs l'une de l'autre à l'infini.

Espace par conséquent fini en un sens, et infini de Tautre, fini à son origine du côté de sa pointe , et infini de l»'autre à une distance infinie de son origine.

D'où les géomètres ont tiré cet axiome, que deux lignes droites ne peuvent suffire pour fermer un espace de toutes parts.

Mais ce qui est plus important, nous voyons dans Tidée de l'angle rectiligne , sa division en deux espèces générales, en angles droits et en angles obliques.

Car il est évident que d'un point à une ligne droite on peut tirer un nombre infini de lignes droites, qui, en y tombant , feront avec elle chacune deux angles égaux ou inégaux , selon la manière dont elle y tombera , directement ou indirectement.

On appelle perpendiculaire la ligne droite qui , en tombant sur une autre , fait avec elle deux angles égaux , c'est-à-dire deux angles droits.

Et obliques ou inclinées, toutes celles qui, en y tombant, font avec elle deux angles inégaux, l'un plus petit du côté de leur inclinaison , et l'autre plus grand du côté opposé , c'est-à-dire deux angles obliques.

D'où il suit que la perpendiculaire est, par sa position entre deux angles égaux, la plus courte ligne qu'on puisse tirer d'un point à une ligne droite , et par conséquent la mesure naturelle de la distance de l'un à l'autre.

Mais qui nous donnera la mesure de l'angle, c'est-àdire une mesure géométriquement exacte en rigueur mathématique? •

3®. Quelle est l'idée de la ligne circulaire?

Nous la traçons sur le papier, par le mouvement du compas , autour d'un point fixe qu'on appelle centre.

Mais parce que la pointe mobile de nos compas les plus fins n'est pas un point mathématique, on Voit assez que sa trace ne peut être qu'une image grossière de l'idée sur laquelle nous décrivons un cercle.