SUR LES MEBVBIIXES DES IDÉES

Qkw fliBi»il dmc pour le concevoir td qu'il est dans une MMcm étemelle?

Représentons-nous un compas nialhémali(}ne fixé par Fane dBfle» poîntessiir UD plaa mathématique, et mû par fautre aHkmr d'an poiot ftxe, josqu^à ee qu*^ reTiemie au même point d'où elle était partie.

Ceit la véritable idée de la ligae circatam; oonribien dia mmnSûm tfj préamtenl aa premier eoup d^œS d^ l'esprit?

Uae hffm qui nffil toute seide poor fenaer un espace de lOQlBB paris;

Us eqiaee icafoimé sooa me ctrconféreiice partoot égale* asalooBfbe;

Une courbure partout si uniforme, que lealee les figne» draUBa BNBées du centre à la drooaféreBce soHt égries ^

Qm toasles »nglea(pÉ'elleslèniieniaa centre du cercle, répondent à des arcs de cercle qui sont entre ea& dane la mfmn raison ptédw que les angles correspondanis; égaux antre ans m les angles sont égàia; inégaux si les mglee sont inégaux , et tooioais ddns la même raison précise d'inégalité ; enfin , de sorte que si l'on divise l'arc en deux parties ^ales^ on divbera aussi l'angle en deux parties égAes.

D'où il suit que la ligne circulaire est la mesure naturefle de l'angle rectiligne. Mesure exacte en rigueur géométrique ; et d'autant plus admirable qu'elle peut croître ou diminuer à l'infini pradant que l'angle qu'elle mesure demeure toujours le même.

Tout cela peut-être est trop facile à démontrer pour p«* rtedtre une merveille ; en v(»cî une qui est ineorapréfacnsSble qooîque également démontrée.

4®. Soit un ccarcle, tel que non» le voyons décrit dans son

idée; un rayon tiré du centre à la circonférence; et à Tex-

trémité du rayon, une perpendiculaHre prolongée de part ef

d'autre dans, le même plan que le cercle.

Il est évident que cette perpendiculaire ne peut loucher

là circonférence qu'à rextrémité du rayon, c'est-à-dire dans un seul point mathématique; et par conséquent que partout ailleurs il y a un espace angulaire compris enU^ la tangente et le cercle.

C'est ce qu'on appelle 4mglê de conUngence,

Le croira-t-on^ que dans cet espace compris entre la tan* gente et le cercle , on ne peut faire passer aucune ligne droite? que l'on peut au contraire y faire passer un nombre inûni de lignes circulaires; en un mot, que l'angle de contingence, qui est indivisible par la ligne droite, est divisible à l'infini par la ligne circulaire? Paradoxe étonnant, mais que les idées pures nous démontrent avec une facilité presque aussi étonnante que le paradoxe.

Le principe est que du point de contingence on ne peut tirer au-deasous de la tangente aucune ligne droite qui n'entre tout entière dans le cercle; et au contraire, que par ce même point on peut décrire un nombre infini de cercles plus grands que le premier.

D'où suit un autre paradoxe non moins étonnant, savoir :. que l'angle de contingence est plus petit que le plus petit angle rectiligne possible.

C'est la première grandeur infiniment petite que l'on ait découverte en géométrie.

Mais on ne fut pas longtemp&sans y découvrir des merveilles d'un autre genre , d'autant plus étonnantes qu'elles mettaient un obstacle invincible à la précision des calculs nécessaires dans la pratique des arts , je veux dire les quantités incommensurables.

On appelle ainsi des grandeurs géométriques, par exemple, deux lignes droites finies auxquelles on ne peut trouver aucune mesure commune , c'est-à-dire qui soit contenue dans l'une et dans l'autre un certain nombre de fois précisément et sans reste.

L'arithmétique ne connaît pas de telles grandeurs, parce que tous les nombres ont l'unité nombrante pour commune

256 SUB LES HEBYEIiXES DES IDÉES.

ineBore. La géométrie en est tout inondée, parce qu'il n*y a point d'unité mesurante essentielle, comme nous Talions voir dans les figures les plus simples^

5®. Soit un carré divisé par sa diagonale.

U est démontré par la quarante-septième proposition d*BncUde, que le carré de la diagonale est double de celui do côté, c'est-à-dire que le carré de la diagonale est à celui daodtécommeS est à 4.

Et par conséquent que ces deux carrés sont parfaitement oommensurables entre eux, ou en raison de nombre à nombre.

En est-il de même de leurs racines, qui sont les deux lignes droites sur lesquelles on les suppose construites? sont-elles aussi entre elles en raison de nombre à nombre?

Pour répondre à la question, la règle est d'extraire de part et d'autre les radnes carrées des deux nombres 2 et 1 , qui représentent les deux carrés.

La racine carrée du nombre 4 est 4 , puisqu'il est luimême son carré : une fois 4 c'est 4 .

Mais le nombre 2 n'est pas un nombre carré , c'est-à-dire le produit d'un nombre multiplié par lui-même.

Donc sa racine carrée ne peut être un nombre.^

Donc la diagonale et le côté du carré sont des grandeurs incommensurables , par la définition de l'incommensurabilité.

Concluons cet article. Combien de vérités incompréhensibles démontrées en toute rigueur dans la seule géométrie élémentaire.

Mais voici des merveilles infiniment plus importantes, qui nous appellent à leur considération ; nous ne sommes encore, si j'ose ainsi dire , que dans le vestibule du temple de la vérité. Entrons dans le sanctuaire.

Quelle différence entre les vérités que nous venons de voir dans les idées des sciences mathématiques , et celles que nous découvrons dans les idées de la morale ; jugeonsen par leur action sur notre âme.

Les plus belles vérités mathématiques ne parlent qu'à Tesprit sans rien dire au cœur. Tout ce qu'elles nous demandent par leurs démonstrations les plus claires, c'est que nous soyons persuadés de leur existence étemelle. Nous pouvons sans leur déplaire nous en tenir là , et même nous résoudre à les ignorer.

Il n'en est pas ainsi des vérités de la morale : elles se présentent à nous non-seulement comme des vérités qui nous éclairent , mais comme des lois qui nous obligent. Il ne suffit pas que nous soyons persuadés de leur existence, elles nous déclarent po^tivement que nous devons leur donner dans notre cœur une autre espèce d'être en nous y conformant , comme à des modèles de conduite indispensables.

C'est la merveille des idées primitives de la morale qui nous reste à expliquer. Attention , s'il vous plaît.

Parmi nos connaissances naturelles, nous découvrons des vérités qui s'annoncent à notre cœur pour des lois indispensables. Sur quel titre y sont-elles fondées? nous sommes nés libres. Qui a droit de nous commander en maître? la supériorité d'être ou de mérite n'y suffirait pas toute seule; à ce titre je ne vous dois que la première place dans mon estime. La supériorité de force y suffirait encore moins. A ce titre je pourrai vous craindre. Mais , la force n'étant pas un droit, elle ne vous donnerait sur mon cœur aucun pouvoir législatif; et pourquoi donc serais-je obligé de prendre vos volontés pour la règle de la mienne? Je suis ton créateur. A ce titre enfin je vous reconnais pour mon maître ; pour un maître absolu qui, m' ayant tout donné par grâce, a droit d'exiger tout de moi par justice. Voilà l'ordre éternel : un roi , créateur de son peuple , a certainement le droit de lui commander.

Le divin législateur des Hébreux avait sans doute en vue ce grand principe , quand il a mis pour préface aux livres de la loi l'histoire de la création du monde. Après quoi nous ne sommes plus surpris d'y entendre Dieu lui-même qui met le