PREMIÈRE PARTIE

Du raisonnement par idée.

Nous entrons en matière par la considération des nombres nombrants. Nous n'avons point d'idées où le raisonnement pénètre avec tant d'aisance et si loin. A peine y voulonsnous porter notre attention, que les voilà tous qui se présentent au premier coup d'œil dans la suite naturelle 1,2, 3, 4, 5, etc., jusqu'à l'infini ; tous ensemble sans se confondre ; tous formés par l'addition continuelle de l'unité ; d'abord à elle-même pour former le second , 4 -f- 1 = 2 ; au second , pour former le troisième , 2 -f- 4 = 3 ; au troisième , pour former le quatrième, 3-f-i =4, etc.; tous rangés immuablement dans une progression régulière infinie , où la différence d'un terme à l'autre est partout l'unité nombrante et indivisible. Mais qui vous assure que vous connaissez tous les termes d'une progression infinie? nommez m'en un seul dont je ne vous nomme aussitôt le précédent et le suivant par leur formation essentielle.

Cette idée générale des nombres ^ous conduit, par une conséquence nécessaire , à leur division en deux grandes espèces : en nombres impairs , dont les idées nous découvrent

S7ft m KA HATm 00 lAisœoŒiiErr.

estre elto, c'ert-è-dire ni fégae aitre ton 1»

CMtoteMohBi ■■niw 1 , 3, 5, 7, 9, etc., jiw|e'à llnftiii.

Gdie deB nombres pain 2, i, 6, 8, etc., jusqu'à Tniai.

D'oijiConfltoaMOnqa», dantlaniteiiatiirelle, îlya MlMt di jwgwwicm arithmétiquei infiaieB qu'il y a de BonibreB.

Dme, im M éê wèam des pnigre«ioBs géométriques àmmmlbi9§9 cTaiMNSf» des ptopwsDiops géométriqucmcal mfgiilièfiei, dool low les temoi conséeatils sont entre en en raison égale, double, triple o« quadruple, etc.; flyenn aussi autant qu'M y a de nombres dans la suite naturelle, et, par conséquent, une inSirfté.

Cest ainsi que les idées des nombres nous font voir distinctement, du premier coup d'œil , tant de vérités les unes les aatr«: les fërités particulières dans les géniales, dans leva principes, et les vérités- générales dans les particeliftres, comme dans leurs conséquences, ou comme noos voyons les eaux d'une source dans les ruisseaux qui en découlent.

Cest toute la forme du raisonnement intérieur dont nous parloniT, Tout son art consiste à nous rendre attentifs à nos idées naturelles, Jusqu'à ce qu'il en parte un rayon de vérité dont la lumière soit irrésistible. Nous venons d'en donner de grands modèles dans l'arithmétique. Nous en allons voir d'aussi lumineux dans les idées qui nous éclairent dans la géométrie.

Tout le monde un peu instruit dans l'histoire des connaissances humaines, sait à quel point de perfection les géomètres anciens et modernes ont porté cette science, qu'on appelle avec raison la mère des beaux arts; combien d'obstacles il a fallu surmonter pour la rendre elle-même Insurmontable aux attaques des esprits les plus rebelles à la vérité.

Mais, le croirait-on, que trois o» quatre idées très-ftinples , bien développées, leur ont suffi pour entreprendre un si grand dessein et pour l'exécuter; je veux dire, les idées de la ligne droite et de la circulaire avec celle des trob posi* tiens respectives^ que deux lignes droites peuvent avoir Fune au regard de l'autre : la perpendicularité, le paraMissue et l'obliquité , ou leur inclinaison réciproque.

Pour nous assurer du fait avec la satisfaction d'esprit la plus délicieuse, nous n'arons qu'à suivre avec eux le fil des conséquences qu'ils en ont tirées.

La question fondamentale de la géométrie était d'abord âe bien déterminer les mesures géométriques dont la connaissance est nécessaire dans la pratique des arts : la mesure des distances, la mesure des angles, etc.; rien de plus focfler que de les conclure des {M*e!nières ictôes de la géométrie que nous venons d'indiquer.

4<^r La ligne droite est pffi' son idée la plus erarte que Ton puisse tir^ entre deux pmnts.

Donc , c'est la mesure essenfreffe de la distance d'un pomt à un autre.

V. La ligne circulaire ou la CTrcidaire ètk cerde, es! une ligne courbe qui est, dans fous ses points, à égale distancer du milieu de la figure, et, par conséquent, qui est d'une courbure parfoitemeut uniforme dans toute» ses parties.

Donc, » du centre d'un cercle on tire à la circonférence autant de lignes droites que Ton voudra, eRes y couperont des arcs proportionnels aux angles qu'eRes feyrment au cetC" tre : des arcs égaux, si les angles qui leur répondent sonf égaux ; des arcs inégaux, si les angles correspondants sont inégaux, et cela, toujours dans la même raison précise d'mégalité par la courbure uniibrme de la cîreonftrence du cercle.

Donc, la mesure essentielle de la grandeur d'un angle est un arc de cercle décrit du sonfflxet, comme Centre ^ entre les deux cétés de l'angle.

27d SUB LA. NATURE DU RAISONNEMENT.

Donc, si dRos un cercle on tire deux lignes droites par le centre, elles y formeront quatre angles qui tous ensemble auront .pour mesure la circonférence entière; les deux angles pris d'un môme côté d'un diamètre , la moitié de la circonférence; chacun des quatre, l'arc de cercle qui lui répond ; et enfin, les deux angles opposés par la pointe, un arc égal de part et d'autre.

3^. Une ligne droite qui tombe sur une autre , fait avec elle , ou deux angles égaux , et alors on la nomme perpendiculaire , ou deux angles inégaux , et alors on la nomme oblique.

Donc, d'un point à une ligne drqite on ne peut tirer qu'une seule et unique perpendiculaire , au lieu que l'on y en peut tirer un nombre infini d'obliques , plus ou moins grandes, selon qu'elles iront tomber sur des points plus ou moins éloignés de la perpendiculaire.

Donc, la perpendiculaire est la plus courte ligne que l'on puisse tirer d'un point à une ligne droite, et, par conséquent, la mesure essentielle de sa distance à cette ligne.

On appelle droits les deux angles égaux de la perpendiculaire, et obliques, les deux angles inégaux de l'oblique; l'un aigu, moindre qu'un angle droit, et l'autre obtus, plus grand.

Donc , si d'un même point pris entre les extrémités d'une ligne droite on élève une perpendiculaire et une oblique , la somme des deux angles de la perpendiculaire sera égale à la semme des deux angles de l'oblique , par le principe que chacune des deux sommes aura pour mesure la moitié de la circonférence d'un cercle décrit d'un même point.

Donc, par le même principe, une ligne droite qui tombe sur une autre fait avec elle, ou deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.

C'est la treizième proposition d'Euclide, qui va conduire plus loin par l'idée du parallélisme.

4^. Deux lignes droites sont parallèles quand elles sont.

dans tous leurs points, à égale distance l'une de l'autre, c'est-à-dire quand toutes les perpendiculaires tirées entre deux sont égales.

Donc, deux lignes droites parallèles étant prolongées à l'infini, ne peuvent jamais se rencontrer.

Donc , si deux lignes droites sont parallèles , la perpendiculaire sur l'une le sera aussi sur l'autre , et l'oblique sur Tune sera également oblique sur l'autre, c'est-à-dire que son angle d'inclinaison sur l'une et sur l'autre parallèle sera égal par la seule idée du parallélisme.

Donc , si entre deux lignes droites parallèles on tire de l'une à l'autre une oblique , elle formera , dans l'espace compris entre deux , quatre angles obliques alternativenient aigus et obtus.

D'où il suit que les deux angles de même espèce qu'on appelle alternes sont égaux entre eux, l'aigu à l'aigu, et l'obtus à l'obtus.

Donc, si d'un même point pris dans l'une des deux parallèles, on tire deux lignes droites à l'autre pour y couper une base à leur angle , cette opération vous donnera une figure triangulaire dont les trois angles seront égaux à deux droits.

Le principe est que, par la conclusion précédente, les deux angles sur la base sont égaux à leurs alternes qui, avec l'angle au sommet, sont égaux à deux droits par la dernière proposition du nombre 3.

Donc, en général, il est évident que les trois angles du triangle rectiligne sont égaux à deux droits.

C'est la trente-troisième proposition d'Euclide, si fameuse par son usage universel dans la géométrie pratique. Tironsen les conséquences.

Jusqu'ici nous n'avons vu les vérités géométriques sortir des idées qui les renferment, qu'une à une, et comme à la file. Voilà un principe d'où elles sortent aiï premier coup d'oeil de l'esprit, plusieurs ensemble et comme de front.

378 SUR LA NATUHE ÙU RAISONNEMENT.

L« troM angle» du triangle sont égaux à deux droits, e'eii-à-dîre par la division reçue de la circonférence du cercle en 360 parties égales, qu'on appelle degrés, cpie les Iroî» ang^ du triangle en ont 480 pour leur mesure totale.

Donc, en tout liittigle^ deux angles étant connus en nom- Imi, on tOÊÊM^t mÈÊâ «d nombres le troisième en 6tani leur somtte eomrae de 480.

DoM, en toat tiian^, tn angl^ étant contm en ûffttUbfoSj dôme la sofunede deox antres en Atant sa valeur de I8(^.

D(Hic, si un trianglea fm angle droit, les deux tfûtnai sont aigaiy et toos deux enseAil>le ^ax à nn angle droit, 99 de-

Doae^ tk dans an tHaai^e api a an an^ âtûit on connafi en nombres un des angles aigus, on connaît aussf fantre cb Maai sa vateor eoRRue de 99.

Doucy si m triangle a sur sa base deux Btt^ égaux, tut seul de ses trois angles étant connu en nombres, nous donner en oçttbfes dktat^B des deux nombres en particulier^

Car : 1^ le seul angle éa sommel comra nous donne la scmune des deux angles sur la base, en le soustrayant de 480;

2^. L'un des deux angles sur la base étant connu , nous donne l'autre par leur égalité. Donc, en ôtant leur somme de 480, nous aurons l'angle du sommet.

Cest, comme nous Pavons déjà fait observer, foute fa forme du raisonnement intérieur.

La seule règle est de n'y admettre aucun principe que l'on ne voie immédiatement contenu dans une idée claire et (ëstincte, ni aucune conséquence que l'on ne voîe immédiatement contenue dans son principe ou dans s^ principes, quand elle en a plusieurs, Comme ces grands ifeuves qiri ont plusieurs sources.

Règle infaillible dans la recherche de la vérité , qui nous a déjà donné deux grandes scienCes, Farithmétique et la géométrie. Sera-t*eUe aussi heunluse dai» la morale ?

rasGOUBS* 279

Ea peutHMi douter? car, Messieurs, je le d^naade à tous las cœurs droits, les idées de la science des mœurs, de rbouDéieté et du décent, d'un ordre éternel, d'une loi de justice , ne cont^elles pas pour le moins aussi claires que les idées des nombres ou des figures géométriques? nous l'osouf même dire, d'autant plus claires qu'elles sont plus impor- Jantes à notre honneur et à notre bonheur. L'ordre certainement le voulait ainsi. Fa^ns voir que cela est ainsi effectivement.

Nous disions tout à l'heure que trois ou quatre idées très* simples , bien développées, avaient suffi aux géomètres pour en conclure toute la géométrie. Ici nous disons qu'une seule idée , encore plus simple , nous suffira pour en conclure toute la morale naturelle. Faites-moi la grâce de m'entendre.

Quelle est cette idée si simple et en même temps si fé* conde? Nous la trouvons consacrée dans la plus ancienne ei la plus authentique des histoires. C'est l'idée de Dieu sous le nom d'Être par essence, tel que lui-même se définit autrefois au grand légkdateur des Hébreux , en lui donnant sa mission. Vous m'envoyez à ce peuple pour lui porter vos lois ; mais , s'il me demande quel est votre nom , que lui répondrai'je? Ego sum qui sum : êic Uices filiis Isràêd : Qui est, miiit me. Je suis l'Être, l'Être par soi-même. Vous leur direz : C'est celui qui est qui m'envoie vers vous.

Voilà donc manifestement la véritable idée de Dieu ; sa notion commune , puisque lui-même il la suppose connue à tout le monde ; la plus propre pour exprimer sa nature, puis^ que c'est le nom qu'il se donne à lui-même, et, en effet, l'Être souverain pouvait^il se représenter à notre esprit sous une idée plus auguste?

Je suis, d'abord un être vivant et intelligent, qui vous parle en maître. Ego mm qui sum. Celui qui est, c'est-à-dire un être dont l'existence est le premier attribut essentiel, et, par conséquent, qui existe éternellement, inunuablement, infiniment ; Celui qui êst, c'es<>-àHdire un être qui existe non