LES QUESTIONS D'ORDRE : RÉPÉTITIONS
Bulletin de la Société mineralogique de France, t. VII, 1884, p-
Dans son Mémoire sur les polyèdres de forme symétrique, Bravais a groupé ceux-ci en vingt-trois familles à l'aide de considérations sur l'ordre et la symétrie du système de points formé par leurs sommets.
La classification de Bravais s'applique aussi à tout système fini, formé par un nombre fini de points.
Je me suis proposé de classer, d'après leurs types de répétition et de symétrie, un système quelconque de points doués de propriétés quelconques. Ce problème général répond directement aux besoins de la Physique, de la Chimie et de la Cristallographie.
Les points des systèmes que l'on aura à considérer pourront être en nombre illimité, ils pourront être doués de qualités n'apportant avec elles aucune idée de direction, telles que la densité, la température; ou de qualités entraînant des définitions de sens et de direction les plus variées (telles que des vitesses, des forces, des intensités de champ électrique ou magnétique, des intensités de pouvoir rotatoire, etc.).
Bien que le problème soit beaucoup plus général que celui traité par Bravais, la classification qu'il a donnée s'applique en grande partie, et il a résolu dans son travail les principales difficultés; il est toutefois nécessaire de reprendre toute la question. U ordre dans un système peut se manifester de deux façons
LES QUESTIONS d'oRDRE. 67
bien différentes : il y a lieu de considérer la répétition et la sj met rie :
1. Les différentes parties d'un système peuvent être la répétition les unes des autres, de telle sorte que certains déplacements de tout le système laissent les choses dans un état identique à l'état primitif pour des points fixes dans l'espace. On a alors un système de répétition, et nous nommerons déplacements indifférents les déplacements dont nous venons de parler.
2. Soit un système quelconque, il existe un autre système, tel que la comparaison des deux systèmes donne lieu à la fois à des idées dégalité et d'opposition; les points se correspondent deux à deux, les distances des points correspondants sont les mêmes, toutes les grandeurs sont les mêmes, et pourtant les systèmes ne sont pas en général identiques et ne peuvent se superposer. Les deux systèmes sont dits symétriques L' un de l'autre.
Il peut se faire toutefois que les points d'un système soient tellement ordonnés et qualifiés que le système n'ait pas de symétrique ou plutôt qu'il soit identique avec le système C(ue l'on obtient en constituant son symétrique par les méthodes ordinaires.
On dit alors que le système lui-même est symétrique.
Ainsi les systèmes peuvent avoir ou non des répétitions, ils sont ou ne sont pas symétriques; ce sont là des qualités distinctes; les systèmes peuvent être doués séparément de l'une ou de l'autre, ou des deux à la fois, et nous verrons que tous les types de répétition peuvent exister avec ou sans symétrie. Nous traiterons donc séparément les questions de répétition et celles de symétrie, quitte à les confronter ensuite. Dans le problème général qui nous occupe, cette division est particulièrement utile; le classement des répétitions peut se faire en elfet sans se préoccuper de la nature des qualités dont sont doués les points. Tout repose sur cette remarque de Bravais : que telle répétition, résultant de tel déplacement indifférent du système, entraîne toute une série d'autres déplacements indifférents et de nouvelles répétitions; la nature de ce qui se répète n'intervient pas dans les démonstrations. Dans les questions de symétrie, au contraire, il y aura lieu de faire inter-
58 (TEIVRKS DE P. Ct'ftlK.
venir les qualités des points et de définir la sjmélrie d'un point doué de telle qualité que l'on voudra.
Ce qui suit est relatif aux répétitions autour d'un point dans un système limité ou illimité.
