FINITIONS

3. Système d'ordre n. — Un système étant donné, considérons-le comme fixe dans l'espace; mais supposons un second système identique au premier, et pouvant se déplacer tout d'une pièce sans altération; il pourra se faire que, pour plusieurs positions dans l'espace, le système mobile se superpose, se confonde avec le système fixe. Il y aura coïncidence entre les deux systèmes pour ces positions.

Nous appellerons système de répétition d'ordre n un système pour lequel il y a coïncidence pour n positions différentes du système mobile. On pourra encore dire qu'un système de répétition d'ordre n est un système qui présente [n — i) déplacements indifférents distincts (n" 2).

4. Points homologues, centres de répétition. — Tous les points du système fixe qui se confondront avec un même point du système mobile, lors des diverses coïncidences des deux systèmes, sont des points directement homologues.

Si un point du système fixe se confond avec un même point du système mobile pour q positions différentes des deux systèmes, ce point sera cj fois son propre homologue, il sera un centre de répétition d' ordre q.

Ou bien encore : un point sera un centre de répétition d'ordre q lorsque, déplaçant le système mobile tout en laissant le point fixe, on trouvera ^ positions différentes pour lesquelles les deux systèmes coïncideront.

Les points homologues, les centres de répétition homologues sont des points de même espèce, des centres de répétition de même espèce.

o. Droites homologues, droites doublées, axes de répétition.

LES QUESTIONS d'oRDRE. 69

— Toutes les droites du système fixe qui se confondront avec une même droite ayant un certain sens du système mobile, lors des coïncidences des deux systèmes, sont des droites directement homologues.

Il y a avantage pour l'harmonie des théorèmes à considérer un sens à chaque droite, c'est dans cette acception que nous emploierons le mot droite. Dans une ligne droite, nous verrons deux droites, ayant des sens opposés et que nous pourrons appeler droites inverses l'une de l'autre. Ainsi, c'est un sens déterminé d'une ligne droite qui est homologue d'un sens déterminé d'une autre ligne droite, lorsque l'on dit que les deux droites sont homologues.

Si l'on a des droites homologues entre elles, les inverses de ces droites (c'est-à-dire celles qui coïncident avec elles, mais qui sont de sens opposé) sont aussi homologues entre elles. Tandis que les droites se confondent avec une même droite du système mobile, leurs inverses se confondent avec l'inverse de la droite du système mobile.

Une droite peut être homologue de son inverse. Il suffit que, pour deux des coïncidences des deux systèmes, une même ligne du système fixe se confonde dans deux sens diflerents avec une même droite de sens déterminé du système mobile.

Nous appellerons alors droite doublée l'ensemble de deux pareilles droites homologues.

L'angle de deux di^oites de sens déterminé varie de o"* à i8o". Les deux droites ont une seule bissectrice.

Si une droite du système fixe se confond avec une même droite du système mobile pour n coïncidences différentes des deux systèmes, cette droite sera alors n fois sa propre homologue.

Une droite sera un axe de répétition d'ordre q, lorsque, faisant tourner le système mobile autour de cette droite, on trouvera q positions différentes pour lesquelles les deux systèmes coïncideront.

Des droites homologues sont des droites de même espèce.

Un point sera un centre de répétition principal lorsqu'il sera le point de croisement de plusieurs axes.