Théorème. — Un système symétrique possède toujours

Soit un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q. Soit un plan de symétrie alterne ci pôle d'ordre q. Soit un centre de symétrie.

Soit un plan de symétrie translatoire directe. Soit un plan de symétrie translatoire alterne (y est un nombre entier quelconque).

Un système symétrique peut, du reste, posséder conjointement plusieurs de ces éléments de symétrie.

On peut encore dire que :

Dans le cas le plus général d'une transformation symétrique indifférente, on peut obtenir les symétriques des points du système en abaissant de chaque point une perpendiculaire sur un plan déterminé, en prolongeant cette perpendiculaire d^une longueur égale ci elle-même au delà du plan et en faisant tourner tout le système de points ainsi obtenus d'un angle

OEUVRES DE P. Cl RIE.

de A- — autour d'un axe de répétition d'ordre cj normal au plan.

Les cinq éléments de symétrie indiqués plus haut et seuls possibles correspondent, en effet, aux divers cas d'un même genre de transformation symétrique.

1-4. Considérons d'abord le cas particulier d'une transformation symétrique indifférente dans laquelle un point o est son propre symétrique.

Les coordonnées de même nom du point sont les mêmes par rapport aux axes gauches et par rapport aux axes droits correspondants symétriques. Changeons d'axes coordonnés gauches et choisissons de nouveaux axes gauches ayant leur origine au point o, les nouveaux axes droits correspondants symétriques auront aussi leur origine en o.

Répétons deux fois la transformation symétrique indifférente indiquée par la correspondance des axes droits aux axes gauches; le point o restant fixe, le mouvement indifférent qui en résultera (12) sera dans le cas le plus général une rotation d'angle k —^

autour d'un axe de répétition A d'ordre ^, passant par le point o.

Changeons encore les axes coordonnés gauches en conservant toujours l'origine en o, mais en prenant comme axe des z l'axe de répétition A. Les axes coordonnés droits correspondant à ces nouveaux axes gauches auront toujours leur origine en o.

Faisons maintenant tourner le système droit autour de son axe des z jusqu'à ce que (le système gauche correspondant tournant aussi autour de son axe des z) l'axe ox' du système droit soit situé dans le plan des xv du système gauche et fasse avec o.r un angle inférieur à i8o". Ce sont les deux derniers systèmes d'axes coordonnés ainsi obtenus que nous adopterons; nous avons {Jig- i) un système gauche d'axes coordonnés {oxvz) ayant pour axe des ;: l'axe de répétition A et un système droit [ox'y' z') d'axes coordonnés correspondants dont l'axe des x[ox') est situé dans le plan des xy du système gauche. Soient a l'angle des deux axes des x^ et 0 celui des deux axes des s; o est plus petit que i8o".

Revenons maintenant à la double transformation symétrique

SIR LA SYMÉTRIE. 85

indifférente; cette double transformation ne sera en rien altérée par le changement d'axes coordonnés (11) et équivaudra toujours à une rotation effectuée autour de l'axe de répétition A, qui n'est autre chose que Taxe oz.

[oa^yz) devient, après la première transformation, (oj-'y'z') et, apiès la seconde transformation, (oXf /, j,).

Voici comment on peut construire ces derniers axes coordonnés : {ox^r^Zf) doit être pour {ox'y'z') ce que {ox'y'z')

Fis. I.

est pour (oxyz) (9); ox' est dans le plan oxy et fait un angle o avec ox (o est compté dans le sens qui va de ox vers oy); oXi sera donc dans le plan ox'y' et fera un angle o avec ox' ('.2 sera compté dans le sens qui va de ox' vers oy').

On obtient o z' k l'aide de os en faisant tourner cette ligne d'un angle 9 autour de o x' et dans le sens qui diminue, par exemple l'angle de oz et de ox. On obtiendra donc oz^ en faisant tourner ox;' autour de oXi d'un angle 0 et dans le sens qui diminue l'angle de oz' et de ox' .

Mais (ox,j', Zx) doit être une transformation de {oxyz) obtenue par simple rotation autour de oz; donc o:;, doit coïncider avec oz et le plan o^,y, doit coïncider avec oxy. Ceci ne peut arriver que dans un des trois cas suivants :

1° O^o avec cp quelconque, oz' coïncide avec os, [oxxy^ 3,) coïncide avec {ox]'z);

2" f) =: - avec C3 quelconque, oz' est inverse de os;

86 OE LYRES DE P. CllUi:.

3" 8 quelconque avec 'f ^o, ox' coïncide avec ox, {ox^y^ ;,) coïncide avec [oxyz).

i" et 3" Les axes coordonnés droits el j;auches correspondants ont un axe de même nom commun, l'axe oz par exemple; les axes ox et ox' forment entre eux un angle es.

Faisons tourner les axes coordonnés gauches autour de o^ d'un

angle égal à -j on obtiendra un nouveau système d'axes gauches.

Les axes droits correspondants s'obtiendront par une rotation

de - en sens inverse, si bien que les nouveaux axes droits et î '

gauches auront les axes coordonnés de deux espèces communs

(ici ce sont les :; et les x) ^ ceux de la troisième espèce sont

inverses l'un de l'autre (ici ce sont \es y).

On dit que le système possède un plan de symétrie (celui des z-x)^ et chaque point du système a un symétrique que l'on obtient en changeant r en — y^ c'est-à-dire en abaissant une perpendiculaire sur le plan de symétrie et en la prolongeant d'une longueur égale à elle-même.

Le système se confond avec son image prise par rapport au plan.

Remarquons que, dans ce cas, il n'y a pas nécessairement d'axes de répétition et que le symétrique du symétrique d'un point n'est autre chose que le premier point lui-même.

2° Les axes des z du système d'axes gauches et de son correspondant symétrique sont inverses l'un de l'autre. Soit cp l'angle de ox et ox' ; ox, fera avec ox un angle égal à a?:, et Ion aura

k étant un entier et cj l'ordre de l'axe de répétition ox.

La transformation symétrique inditlérente consiste à faire tourner le système d'un angle '.p autour d'un axe de répétition d'ordz^e ^, puis à prendre ensuite son image par rapport à un plan normal. A cause de l'axe de répétition d'ordre ^, il y aura {q — i ) autres transformations symétriques possibles, les q transformations seront

obtenues en faisant tourner le système d'un angle (A— -h'f)

autt)ur de l'axe de répétition avec /: égal à o, i, a, ..., [q — i),

SIR LA SVMKTRIK. 87

puis en prenant son image par rapport à un plan normal à l'axe. Nous dirons que Ion a affaire à un plan de symétrie à pôle d'ordre q et qu'un |)areil plan indique l'existence de q transformations symétriques indilTérentes, distinctes. On a

deux cas sont possibles : ou bien /,• est pair, ou bien /,■ est impair.

Premier cas. — k est pair :

Les rotations dans les q transformations symétriques seront d'angle k ^-^ [avec k égal à o, i , 2, . . . , (q — i)]. On dit que l'on

a un plan de symétrie directe à pôle d^ ordre q.

Une des transformations symétriques indifférentes (pour A=o) consiste à prendre limage du système par rapport au plan sans adjoindre aucune rotation à cette transformation.

Tout plan de symétrie ordinaire accompagné dun axe de répétition normal d'ordre q doit être considéré comme un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q.

A un point correspondent (^ — 1) autres points homologues du premier \va\ répétition, les q points homologues étant situés dans

Fig. 3.

un jdan normal à l'axe de répétition et aux sommets d'un polygone régulier de q ccUés; l'axe passant par le centre de figure de ce polygone. Au premier point considéré correspondent encore q points symétriques qui ne sont autre chose que les images prises par rap-

88 CffiUVRES DE P. CURIE.

port au plan de symétrie directe des q points homologues par répétition. La figure 2 représente les homologues par répétition et par symétrie d'un point a dans le cas où l'on a un plan de symétrie directe à pôle d'ordre 3,P^.

Si q est pair, une des rotations dans Jes transformations sym('-

triques indifférentes sera égale à 70 (lorsque l'on aura A" = -

mais on voit que le système d'axes gauche et son correspondant symétrique droit relatif à cette transformation symétrique indifférente seront alors exactement inverses, axes pour axes. Lorsqu'un pareil fait se produira, nous dirons que le système possède un centre de symétrie. Chaque point du système a un symétrique que l'on obtient en joignant le point au centre et en prolongeant au delà du centre d'une longueur égale. Le symétrique du symétrique d'un point par rapj3ort à un centre n'est autre chose que le point lui-même.

Une des q transformations symétriques indifférentes d'un plan de symétrie direct à pôle d'ordre q est donc une transformation par centre de symétrie lorscjue q est pair, le centre de symétrie se confondant avec le pôle du plan.

Lorsque q est impair, le pôle du plan de symétrie directe ne peut pas être un centre de symétrie.

Second cas. — k est impair :

A- = ./.-'-+-i, cp=(A-'+ij^.

Les rotations dans les q transformations symétriques seront d'angles ik-{--\— [avec k égal à o, 1 , 2, . . . , {q — i)].

On dit que l'on a un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q. Un plan de symétrie alterne ne jouit j)lus des propriétés des plans de symétrie dans le sens ordinaire du mot, c'est-à-dire que le système ne se confond pas avec son image prise par rapport au plan.

\ un point correspondent [q — i) autres points homologues du premier par répétition, les q points homologues étant situés dans un plan normal à l'axe de répétition et aux sommets d'un polygone régulier de q côtés, l'axe passant par le centre de figure de ce

SUU I.A SYMÉTRIE. 89

polygone. Au premier point correspondent encore q points symétriques; ceux-ci peuvent être obtenus en prenant les images, par rapport au plan de symétrie alterne, des q points homologues ])ar

répétition et en faisant touiner ces images dun angle égal à ~

autour de Taxe de répétition. CSw \oit que ces points symétriques alternent, dans leur position autour de l'axe, avec la position de ceux que Ton obtiendrait si l'on avait affaire à un plan de symétrie directe à pôle de même ordre, ce qui justifie la dénomination que nous avons adoptée.

La figure 3 représente les homologues par répétition et par

Fi:i. 3.

symétrie d'un point a dans le cas d'un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre 3 , II^.

Contrairement à ce qui arrive lorsque l'on a un plan de symétrie directe, le pôle d'un plan de symétrie alterne ne peut être un centre de symétrie lorsque son ordre q est pair, et il est, au contraire, nécessairement un centre de symétrie lorsque q est impair. Dans ce dernier cas, une des q transformations symétriques du plan est aussi une transformation par centre de symétrie.

Un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i comporte une seule transformation symétrique indifférente qui consiste à faire tourner le système d'un angle ti autour de la normale au plan menée par le pôle, puis à en prendre l'image par rapport au plan. Cette transformation symétrique est équivalente à une transformation par centre de symétrie, le centre se confondant avec le pôle du plan.

Donc ce sont des expressions équivalentes que de dire qu'un système possède un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i ou de dire qu'il possède un centre de symétrie.

90 OEUVRES DE P. riRIE.

lo. En résumé : lorsque, clans un système symétrique, un point o est son propre symétrique, il doit toujours y avoir, passant par ce point, soit un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q^ soit un plan de symétrie alterne à pôle d^ ordre cj\ le point étant le pôle de ces plans.

Lorsque q est pair, l'existence d'un plan de symétrie directe d'ordre q entraîne celle d'un centre de symétrie au pôle o (les propriétés du centre étant, du reste, entièrement contenues dans les propriétés du plan à pôle d'ordre q).

Lorsque q est impair, l'existence d'un plan de symétrie alterne d'ordre q entraine celle d'un centre de symétrie au pôle o (les propriétés du centre étant encore entièrement contenues dans les propriétés du plan de symétrie alterne).

Au contraire, l'existence d'un plan de symétrie directe à pôle d'ordre ry, avec q impair, ou celle d'un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q, avec q pair, est incompatible avec celle d'un centre de symétrie au pôle o.

Un plan de symétrie directe d'ordre i est un plan de symétrie dans l'acception ordinaire du mot (tous les points du plan sont des pôles d'ordre i).

Dire qu'un système possède un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i revient à dire qu'il possède un centre de symétrie au pôle du plan.

Dans un système qui possède un centre de symétrie, tout plan passant par le centre peut être considéré comme un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre i .

Normalement à un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q ou à un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q, il existe toujours un axe de répétition d'ordre q passant par le pôle du plan.

16. Considérons maintenant le cas plus général où le système est défini analytiquement de la même manière pour des axes coordonnés rectangulaires gauches et pour des axes coordonnés rectangulaires drcjits ayant des origines distinctes.

Répétons deux fois la double transformation symétrique indiquée par la cox-respondance des axes droits aux axes gauches. Le mouvement indillcrent qui en résultera (J2) sera, dans le cas le plus général, un mouvement hélicoïdal eirectu('' autour d'un axe hélicoïdal de répétition \ du système.

SIR KA SV.MKTRIE. Ql

Changeons niainlenant les axes coordonnés gauches; transportons l'origine sur l'axe hélicoïdal A et orientons les axes coordonnés de telle sorte que l'axe des c coïncide avec cet axe hélicoïdal et que, de plus, Taxe ox' du nouveau système droit symétrique correspondant soit parallèle au plan des xy du système gauche et fasse avec ox un angle inférieur à t:. On peut toujours obtenir ces derniers résultats en faisant tourner les deux systèmes d'axes coordonnés autour de leurs axes des s.

Soient {ox\z) et (o'x'y'z') ces nouveaux systèmes gauche et droit d'axes coordonnés.

Revenons à la double transforuiation symétrique avec ces nouveaux axes : [oxyz) devient, a|)rès la preuiière ti-ansformation, (o'x'y'z') et, après la seconde transformation, (o, .r, >',:;,) ; comme cette double transformation équivaut à un mouvement hélicoïdal autour de oz. il en résulte que o, est sur oz, que o,;, coïncide avec la ligne oc et est de même sens que oz (mais o et o, sont, en général, distincts».

Occu|)ons-nous d'abord des orientations. Par un même point O quelconque menons des axes coordonnés rectangulaires ()X\Z, OX'\'Z, OX,^,Z, respectivement parallèles, axes pour axes, à Oryz, o'x'y'z'. O^X^y^z^.

Soient C3 l'angle des axes OX et OX', qui est aussi celui de ox et o' x' ] et 6 l'angle des axes OZ et OZ', qui est aussi celui de oz et o'z' : OX, Y, Y, doit être pour OX'Y'Z' ce que OX'Y'Z' est pour OXYZ (9); OX est dans le plan X'OY', et OZ, doit coïncider avec OZ. Nous avons déjà vu que cela ne peut arriver que dans un des trois cas suivants :

1" 6 ^ o avec C2 quelconque, o' z' est parallèle à o; et de même sens, (o, J"( j'i Zi) est parallèle, axe pour axe, à {oxyz)\

2" () = t: avec es quelconque, o' z' est parallèle à o;. mais dirigé en sens inverse ;

3" B quelconque avec '^:=o, o' x' est parallèle à ox et de même sens; o^x^y^ ;, est parallèle à oxyz.

i" et 3" Les axes coordonnés gauches et droits ont un axe parallèle et de même sens, les axes oz par exemple.

Premier changement cVaxes. — Faisons tourner les axes

9"2 OKLVRES DE P. CIRIK.

gauches autour <le oz jusqu'à ce que (les axes droits correspondants tournant autour de o' z') les axes ox et o' x' soient parallèles et de même sens, les axes des y sont alors parallèles, mais de sens inverses.

Deuxième changement d'axes. — Donnons aux axes gauches une translation parallèle à oy jusqu'à ce que (les axes droits correspondants se ti-ansportant parallèlement en sens inverse) les plans des xz et des x' z' se confondent.

Troisième changement d'axes. — Faisons tourner les axes gauches autour de o)- jusqu'à ce que (les axes droits correspondants tournant autour de o'y') les deux axes des x soient sur une même ligne passant par les deux origines.

On a donc finalement : le plan des xz commun pour les axes droits et gauches, les axes des x de même sens et coïncidant avec la même ligne, la distance des origines sur celte ligne étant t, par exemple, les axes des y parallèles, mais de sens inverses, les axes des z parallèles et de même sens. Nous dirons que le système a un plan de symétrie translatoire {Jig. 4)-

On obtient le symétrique d'un point pour un pareil plan en prenant le symétrique ordinaire du point par rapport au plan et en

Fi§. 4.

lui donnant un déplacement déterminé t, parallèlement au plan et dans une direction déterminée. Pour qu'un plan de symétrie translatoire soit entièrement défini, il faut donc connaître, outre le plan, la grandeur et la direction de la translation t.

Si l'on répète deux fois la transformation symétrique inditîerente qui caractérise un plan de symétrie translatoire, on obtient une translation de répétition de même direction que celle de la

su» l.\ SVMKTIUK. 93

translation du plan de symétrie et de grandeur 2 t. Cette translation de répétition entraîne, comme on sait, une infinité d'autres translations de répétition de grandeur ki- (k étant un entier quelconque"). Chaque translation de répétition A"2t, jointe à une transformation symétrupie indillt-rente de translation t, donne une nouvelle transformation symétrique indilTérente analogue à la première, mais de translation (2Â' + i)':; donc on a aussi une infinité de transformations symétriques indifférentes.

Si T est la plus petite des translations de ces transformations symétriques indifférentes, il existera, comme nous l'avons vu, une translation de répétition de grandeur 27; deux cas pourront alors se présenter : ou bien la translation de répétition 27 sera la plus .petite parmi celles parallèles à la direction considérée; ou bien la translation de répétition la plus petite parmi celles parallèles à la direction considérée sera de grandeur t. Aucun autre cas nest admissible, car une translation égale à une fraction de t entraînerait l'existence dune transformation symétrique translatoire de translation inférieure à 7, ce qui est contre l'hypothèse.

Lorsque la translation de répétition la plus petite est t, on a un plan de symétrie iranslatoire direct, un pareil plan n'est autre chose qu'un plan de symétrie pris dans le sens ordinaire du mot accompagné d'une translation de répétition 7, parallèle au plan. A un point correspond une infinité de points homologues par répétition situés sur une même ligne parallèle au jdan et se succédant à des inter^alles égaux à 7. A ce point correspond aussi une infinité de points symétriques qui sont les images prises par rapport au plan des homologues par répétition.

Lorsque la translation de répétition la plus petite est 27, on a un plan de symétrie translatoire alterne. A un point correspond une infinité d'autres points homologues par répétition situés sur une même parallèle au plan et se succédant à des intervalles égaux à 2 7. A ce point correspond aussi une infinité de points symétriques qu'on peut obtenir en prenant les images par rapport au plan des points homologues par répétition et en les faisant glisser d'une quantité 7 sur la ligne sur lacpielle elles se trouvent. On voit que ces points symétriques alternent en position sur une même droite avec ceux qui auraient existé si l'on avait eu afï'aire à un plan de s^'métrie translatoire direct.

94 OEl VRES DE P. CLRIK.

On |)eiit considrrer un plan de symétrie translatoire direct comme étant un plan de symétrie direct à pôle d'ordre infini, ce pôle élant situé à l'infini dans une direcliijn normale à la translation. On peut considérer un plan de symétrie translatoire alterne comme élant un plan de symétrie alterne à pcMe d'ordre infini, ce pôle étant situé à l'infini dans une direction normale à la translation.

2° Les axes des z du système droit et de son coirespondant symétrique sont parallèles, mais de sens inverses.

Changeons les axes coordonnés : donnons aux axes gauches une translation parallèle aux :;, jusqu'à ce que (les axes droits correspondants se transportant parallèlement en sens inverse) les plans des xy se confondent.

Faisons tourner ensuite les axes gauches autour de o :; jusqu'à ce que oy passe par o' (les axes droits tournant autour de o' z').

o, doit être à (o'x'r'z'j ce que o' est à (o.ryz), donc il doit être situé sur o'y', mais il doit être, en outre, sur l'axe hélicoïdal A ou oz; donc, en premier lieu, o, ne peut être autre chose que o.

Deux cas sont seulement possibles : ou bien la distance oo' est nulle et nous retombons sur un cas déjà étudié de systèmes symétriques en un point; ou bien o'y' et oy sont de sens inverses et se confondent avec la ligne qui joint les origines. On peut, dans ce cas, donner une translation aux axes gauches parallèlement aux y jusqu'à ce que (le système droit se transportant en sens inverse) les deux origines coïncident; on est donc encore dans un cas déjà considéré. Les axes de même nom des systèmes droits ou gauches sont dans le prolongement les uns des autres et de sens inverse : on a un centre de symétrie.

17. Ainsi, outre les plans de symétrie directe à pôle d'ordre q, les plans de symétrie alterne à pôle d'ordre q et les centres de symétrie, un système peut encore posséder des plans de symétrie translatoire directe ou alterne.

Ces derniers ne conviennent qu'à un milieu illimité.

Un système symétrique qui ne possède aucun point symétrique (c'est-à-dire aucun point qui soit son pro|)re symétrique) ne peut posséder que des plans de symétrie translatoire alterne.

SIH LA SV.MKTIUE. gS

Ou a lin />lan de syniélrie t ranslatoire continue lorsque la Irauslatiou t est infiniuienl petite.