VI. — THf';oaÈMEs
18. Ouaiid uu système possède un centre de symétrie, tout plan, passant parle centre et normal à un axe de répétition d'ordre pair (^7= 2 A") passant par le centre, est un plan de symétrie directe à pôle d'ordre </; tout plan, passant par le centre et normal à un axe tlordre impair (ry = ik -\- 1 ) passant parle centre, est un plan de symétrie alterne à |)ôle d'ordre q.
19. Lorsfju'un système possède un plan de symétrie passant par un centre de symétrie, la droite normale au plan passant par le centre est un axe de répétition d'ordre pair. (Bravais.)
20. Lorsqu'un plan de symétrie passe par un axe de répétition d'ordre q^ il y a toujours q plans de symétrie passant par l'axe. (Bravais.)
Deux plans successifs font entre eux un angle éffal à :
si q est pair, les plans sont doublés (par répétition) et sont de deux espèces distinctes pour les répétitions que donne l'axe; si q est impair, les plans ne sont pas doublés, pour l'axe ils sont tous de même espèce, mais leurs inverses peuvent être considérés comme des plans d'une deuxième espèce pour l'axe.
21. Si deux plans de symétrie se rencontrent, leur intersection est un axe de répétition. (Bravais.)
22. On sait qu'un axe de rotation doublé d'ordre q entraine l'existence de 2^ axes [q axes binaires ou d'ordre pair et leurs inverses) dans un plan normal au premier axe. Ces 2^ axes se rencontrent tous au pied de l'axe principal sur le plan normal.
Théorème. — Si un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q contient des axes binaires ou d'ordre pair passant par le pôle [il en aura 2^), le système possédera q plans de symétrie pas-
gÔ œiVRES DE 1». ClRlIi.
sant par V axe de répétition normal (P ordre q et par les axes binaires.
En elïet, choisissons des axes coordonnés gauches {Oxvz) {fis- ^)^ ayant pour axe des z l'axe de l'épétition d'ordre q et pour axe des jK l'un des axes binaires. Soient Ox\ Ojk', Oz' les inverses
Fi g. 5.
des 0^7, O}^, Oc; puisque xOy est un plan de symétrie, Oxyz' est un système d'axes droits symétriques de {Oxyz)., dans le système; puisque Oy est un axe de répétition d'ordre pair, Ox' zy sera homologue par répétition de {Oxyz') et, par conséquent, correspondant symétrique de {Oxyz)\ donc le plan zOy est un plan de symétrie.
Réciproquement : si, par un axe d'ordre q et un axe d'ordre pair normal, passe un plan de symétrie, le plan normal à l'axe d'ordre q et passant par Taxe d'ordre pair est un plan de symétrie directe à pôle d'ordre q. Démunsli^ation analogue à la précédente.
*23. Théorème. — Si un même plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q contient des axes binaires [ou d'ordre pair) passant par le pôle, le système possédera q plans de symétrie passant par l'axe principal d'ordre cj et par les bissectrices de deux axes binaires consécutifs.
En edet, choisissons des axes coordonnés rectangulaires gauches (Oxyz)., ayant pour axe des ; l'axe de répétition d'ordre cj {Jig- 6) et pour axe des y un axe binaire Oy.
Soient
O z' l'inverse de Og;
SIR LA SYMETRIE
Oy l'axe binaire le plus voisin de Oy iy'Oy = — G)', la bissectrice de j^ Or'.
xO\' étant un plan de svniétrie alterne à pùle dordre q, les axes coordonnés droits (Ox'y'z') sont correspondants symétriques de (Oxrz)', Oj' étant un axe binaire, (Ox"y'z) est homologue par
Fis. 6.
répétition de (Ox'y' z') et, par conséquent, correspondant symétrique de (Oxyz).
Un changement d'axes de (0^> z) amenant Oy en Oi'i par rotation autour de Oz nécessiterait un changement d'axes du coriespondant symétrique {Ox"y'z) amenant aussi O)' en Oy, par rotation autour de O:;.
Ces nouveaux axes symétriques montrent que ;0 v'i est un plan de symétrie.
Réciproquement, si par un axe dordre q doublé et par la bissectrice des deux axes d'ordre pair consécutifs normaux en un même point au premier axe passe un plan de symétrie, le plan normal à l'axe principal est un plan de symétrie alterne à pôle d'ordre q. Démonstration analogue à la précédente.
24. Enfin, si un système possède un axe d'ordre q normal à un plan de symétrie ou de symétrie alterne et par lequel passent q plans de symétrie, il possédera également iq axes binaires contenus dans le plan de syjnétrie ou de symétrie alterne, et Taxe dordre q sera doublé.
25. En résumé, considérons les trois groupes d'éléments dordre
gS ŒUVRES DE P. ClUIE.
suivants :
1° Plan de symétrie ou de symétrie alterne à pôle d'ordre q\ 2° Dans ce plan, q axes d'ordre pair passant au pôle; 3" q plans de symétrie passant par l'axe d'ordre q normal au plan.
Ces trois groupes d'éléments d'ordre peuvent exister chacun séparément avec l'axe d'ordre q\ ils peuvent exister conjointement, mais deux quelconques de ces groupes ne peuvent se trouver réunis dans un système sans que le troisième s'y trouve également.
