if
0 0.1 0.2 0.3 Q.^ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.3 1 na
Pseudo-période réduite ii'V en fonction du degré d'amortissement na.
n'étant jamais définitivement rigoureusement nulle, on doit seulement chercher le degré d'amortissement qui amène définitivement
Fig. 6.
Pseudo-période réduite «T en fonction du décrément /'.
le plus vite possible la déviation à être inférieure en valeur absolue à une certaine fraction de la déviation initiale.
igo OEUVRES DE P. CIKIE.
On voit facilement que le mouvement le plus profitable est un certain mouvement oscillatoire, mais que ce mouvement, correspondant à un dei;ré d'amortissement un peu inférieur à i, est d'autant plus voisin du mouvement critique que la fraction de déviation finale a été choisie plus petite. Si l'on veut que la déviation soit réduite le j)lus vite possible à une petite fraction de la déviation primitive, à -j-^, y—, ou ,^^„„, par exemple, on pourra pratiquement chercher sim[)lement à réaliser le mouvement critique.
Si l'on ne peut réaliser ce mouvement, il est intéressant de savoir quelle perte de temps il en résultera dans les lectures.
Tableau VII. — Temps réduit nécessaire pour amener la déviation au -^, au -pi^, au -ç^^-, au ^ ^ ^ ^^ ^ de la déviation initiale pour divers désirés d' amortissement.
na.
Il 3. = iV •
nz = jt„-
"^= ,«'oô-
"^^ = lorâr-
oc
oc
oc
ce
Le Tableau VJl donne le temps réduit (nt) nécessaire pour amener définitivement la déviation à être inférieure au ~, au -p^, au j^ de la déviation initiale, et cela pour divers degrés d'amortissement.
Pour des degrés d'amortissement faibles inférieurs à o,5 par
exemple, on peut, pour ce calcul, substituer à la fonction vraie la fonction exponentielle
donnant une courbe passant par les uiaxnna successifs de la coui'be de la fonction vraie. On n'a ainsi qu'une solution approcbée, mais pratiquement suffisante. I.es nombres du Tableau VII marqués d'un (*) ont été calculés de la sorte; ils ne sont donc pas tout à fait exacts.
Pour les amortissements d un degré supérieur à i on s'est servi pour calculer les nomljres du Tableau A II des formules (^ig) et (20). B est ici négligeable, et Ion a simplement
et
logA =; m — pnt.
Les valeurs de n et p se trouvent dans le Tableau I pour divers
Fig. 7.
na =
Temps réduit nécessaire pour Tarrél d'un instrument en fonction du degré d'amortissement.
et l'on
degi'és d'amortissement; on pose n ^ jjj. tthT' TôTi tire les valeurs de nt correspondantes.
Les courbes de la figure - donnent le temps réduit nécessaire pour l'arrêt à une approximation de ^ij, -j-^, -pjj^ et 75-^.
On voit qu'avec un amortissement voisin de ramortissement critique on peut admettre pratiquement que l'instrument sera
19^ OKLVRKS UK P. CLRIE.
arrêté au bout d'un temps réduit égal à une période du mouveaienl non amorti.
On voit que pour un amortissement deux fois trop fort l'instrument mettra environ trois fois plus de temps à s'arrêter.
Usage des Tables.
Nous allons donner un exemple nuuiérique relatif à un problème d'électricité.
Soit un condensateur de capacité de i microfarad, chargé au |)otentiel de loo volts (Vq) et que l'on décharge à travers un circuit de coefficient de self-induction égal à -j-^ de quadrant.
Quelle sera la loi de charge du condensateur en fonction du temps pour diverses résistances données au circuit de décharge, le coefficient de self-induction restant constant?
Nous avons vu plus haut que l'équation difTérentielle du mouvement de l'électricité sera
df^ dt C ^
dl^ dt
L = 0,01 et G = 10^6,
on a
et
""^=6 =li/^ = — ^'
q doit être substitué à a dans l'interprétation des Tableaux numériques.
Soit q^ la quantité d'électricité initiale, on a
^0 = GVo, Vo=ioo, G = [o~^ 5^0 = lo-* coulombs
et
ncn = lia = -i- ,
qa
q^ est l'unité adoptée pour évaluer l'électricité dans l'équation réduite.
CALCUL DES MOUVE.ME.NTS AMORTIS. igS
Eafin la durée d'oscillation, lorsque R est nul, serait
To= -p = 2 7ry/GL = 6/^.832 Xio^^ secondes.
L'on a
t nt = =r-,
T,! est l'unité de temps à adopter pour interpréter les Tableaux relatifs aux équations réduites.
Si, par exemple, la résistance R est de Soo"^ on aura un mouvement apériodique avec un degré d'amortissement na = i , 5.
On trouve, Tableau II (p. i8o) et figure i (p. 182), les variations Ae{nq) (substitué à na.) en fonction de nt.
En général, j^our avoir le temps t et la quantité q d'électricité, il suffit de multiplier les \aleurs de nt par 6,2832 x io~^ et celles de nrj par lo"'.
Quelle sera la charge restant dans le condensateur au bout de ■j-^Vô ^^ seconde?
On a
t = o.ooi seconde,
Cette valeur de nt est comprise entre les nombres i,55 et 1,60 qui figurent dans le Tableau II.
Par interpolation on obtient
noc = nq = o,o'258o,
c'est-à-dire que 0,02080 de la charge primitive restent encore dans le condensateur.
Soit une charge
g = 10-* X o,0258o = 2,58 X 10-6 coulomb.
Le Tableau VU montre que la décharge sera complète à j^, j^, , ^'„„ près au bout de
«/i=i,o25, /^^2=I^9^4J n/3= 2,944) soit
<i = 0,000644 seconde, ^2 = 0,00122, ^3=0,00183.
194 OEUVRES DE P. CLRIE.
Enfin le Tableau V nous montre que rinlensité du courant circulant dans le fil sera maxima au hout de
/i^ = o,i37, soit < = 0,0000861 seconde,
après le commencement de la dëcliarge.
Cette intensité maxima se trouve dans le même Tableau. On a en effet
dnx dnq q^^ T^ dq
dut dnt , t Qa dt
dr^
soit
dq qo dnn.
dt To dut
dnt
To
dnt
dt -"'-z^-
Donc l'intensité du courant est, au moment où elle est la plus forte, égale à 0,2^4^ ampère.
Si la résistance du circuit extérieur était de 200"^, on aurait le mouvement criticjue tia = i .
Si R = 100^, on a na = ^, le mouvement est oscillatoire, et l'on trouve dans les Tableaux III, IV et VI toutes les données sur ce mouvement.
Si l'on désire que le condensateur soit déchargé le plus rapidement possible, il convient de réaliser le mouvement critique (R = 200'"). La décharge sera alors complète à —^ près au bout de 0,000 665 seconde.
Il est bien évident que le problème de la charge d'un condensateur est le même que celui de la décharge. La quantité condensée à chaque instant pendant la cbarge sera (^0 — 7)? Ç étant calculé comme précédemment, q^) étant la charge du condensateur.
Il convient toutefois de prendre quelques précautions avant de calculer comme il précède des mouvements très rapides de l'électricité. On sait, en effet, que, si les conducteurs ont un diamètre suffisamment fort, la résistance qui figure dans les formules est une
CALCl'L DES MOIVK.MENTS AMOKTIS. igS
résistance fictive, supérieure à celle que l'on mesure par les méthodes ordinaires, et, pour être rigoureux, des formules beaucoup plus complexes doi\ent être employées. Toutefois, nous ne croyons pas que cette cause d'erreur ait une influence notable dans les problèmes qui se sont présentés jusqu'à ce jour dans la pratique.
Les problèmes c|ue l'on peut avoir à résoudre sont très variés. Voici par exemjde un cas (pie j'ai eu souvent à considérer dans la construction des balances apériodiques.
Une balance étant construite, on désire savoir quels amortisseurs il convient de lui adjoindre pour avoir le mouvement critique, c'est-à-dire un degré d'amortissement égal à i , ce mouvement ayant été reconnu comme étant celui qui donne les indications les plus rapides. On commence par adjoindre à l'inslrumenl des amortisseurs (pielc(jn(pies, en ayant soin toutefois de les prendre plutôt trop faifdes. On observe alors les élongations de la balance, lorsqu'elle oscille, pour déterminer le rapport /• de deux élongations successives. Le Tableau \T donne le degré d'amortissement na correspondant à /•.
D'autre part les amortisseurs à cloche qui servent dans la balance donnent un amortissement proportionnel à la quatrième puissance des dimensions homologues. Il convient donc d'avoir des
amortisseurs — fois plus forts, c'est-à-dire de choisir une cloche
jia ' '
semblable à la précédente, mais telle que les dimensions homologues soient dans le rapport i à \/na. On arrive ainsi sans tâtonnement à l'amortissement que l'on désire, l^e Tableau VI donne aussi la pseudo-période réduite «T; si l'on mesure la pseudopériode T en secondes, on aura la période T du mouvement non
amorti par la relation
Il sera alors possible, en se servant du Tableau II, de connaître exactement le mouvement de la balance pour l'amortissement critique que l'on veut lui donner. On saura en particulier, d'après le Tableau VII, que la balance mettra un temps égal à i,3Tj, pour revenir à sa position d'équilibre, à j^ près de l'élongation primitive.
L'étude expériinenlale d'un mouveineiil apériodique esl plus difficile que celle d'un mouvemenl périodique, parce que l'on n'a pas les points de repère faciles donnés par les oscillations successives. Voici toutefois comment on peut procéder lorsque Ion a à étudier un mouvement apériodique.
On détermine, à partir d'une certaine déviation a„ pour laquelle la vitesse est nulle, les temps tx et ^, nécessaires pour arriver à des déviations ai et a^.
Les déviations réduites correspondantes seront
et
D'autre part, le rapport des temps est le même que le rapport
des temps réduits
nt.2 t-i nti "" /, '
d'oii la méthode suivante. Sur la figure 2 on mène des parallèles à l'axe des temps à des distances /«a, et /ly.^ de cet axe, on cherche ensuite par tâtonnements quelle est la courbe qui coupe ces parallèles en des points dont les abscisses /?<, et nt2 soient entre elles dans le
tn
rapport connu -f •
Lorsqu'on sait quelle est la courbe réduite qui représente le mouvement, on a le degré d'amortissement na correspondant. De plus, la relation
^ = nt,
