AVERTISSEMENT
Les géomètres du siècle passé se sont beaucoup occupés de l'Analyse indéterminée qu'on appelle vulgairement Analyse de Diophante; mais il n'y a proprement que Bachet et Fermât qui aient ajouté quelque chose à ce que Diophante lui-même nous a laissé sur cette matière.
On doit surtout au premier une méthode complète pour résoudre en nombres entiers tous les Problèmes indéterminés du premier degré (*). Le second est l'auteur de quelques méthodes pour la résolution des équations indéterminées qui passent le second degré (**); de la méthode singulière par laquelle on démontre qu'il est impossible que la somme
(*) Foyez plus bas le § III. Au reste, je ne parle point ici de son Comim-mairc sur Diophante, parce que cet Ouvrage, excellent dans son genre, ne renferme, à proprement parler, aucune découverte.
{**) Ce sont celles qui sont exposées dans les Chapitres VIII, IX et X du Traité précédent. BiUi les a recueillies dans dilférents écrits de Fermât, et les a publiées à la tète de la nouvelle édition de Diophante. donnée par Fermât le lils.
6 ADDITIONS AUX ELEMENTS DALGEBRE DEULER.
ou la difTérence de deux carrés-carrés puisse jamais être un carré ('); de la solution d'un grand nombre de Problèmes très-diiriciles et de plusieurs beaux Théorèmes sur les nombres entiers, qu'il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart ont été ensuite démontrés par Euler dans les Commentaires de Pètershours ").
Cette branche de l'Analyse a été presque abandonnée dans ce siècle, et, si l'on en excepte Euler, je ne connais personne qui s'y soit ajppliqué ; mais les belles et nombreuses découvertes que ce grand géomètre y a faites nous ont bien dédommagés de l'espèce d'indifférence que les autres géomètres paraissent avoir eue jusqu'ici pour ces sortes de recherches. Les Commentaires de Pétersbourg sont pleins des travaux d'Euler dans ce genre, et l'Ouvrage qu'il vient de donner est un nouveau service qu'il rend aux amateurs de l'Analyse de Diophante. On n'en avait aucun où celte science fût traitée d'une manière méthodique, et qui renfermât et expliquât clairement les principales règles connues jusqu'ici pour la solution des Problèmes indéterminés. Le Traité précédent réunit ce double avantage; mais, pour le rendre encore plus complet, j'ai cru devoir y faire plusieurs Additions dont je vais rendre compte en peu de mots.
La Théorie des fractions continues est une des plus utiles de l'Arillimétique, où elle sert à résoudre avec facilité des Problèmes qui, sans son secours, seraient presque intraitables; mais elle est d'un plus grand usage encore dans la solution des Problèmes indéterminés, lorsqu'on ne demande que des nombres entiers. Cette raison m'a engagé à exposer celte Théorie avec toute l'étendue nécessaire pour la faire bien entendre; comme elle manque dans les principaux Ouvrages d'Arithmétique el
(•) Cette méttiode est détaillée dans le Chapitre XIII du Traité précédent; on en trouve les principes dans la Remarque de Fermât, qui est après la Question XXVI du Livre M de Diophante.
('* ) Li's Problèmes et les Théorèmes dont nous parlons sont répandus dans les Remarqua: de Fermât sur les Questions de Diophante, et dans ses Lettres imprimées dans les Opéra matitcniatica,..., et dans le second volume des OEucres de ff'aUis.
On trouvera aussi dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, pour les années 1770 el suivantes, les démonstrations de quelques Théorèmes de cet Auteur, qui n'avaient pas encore été démontrés.
ANALYSE INDÉTERMIXÉE. ^
d'Al«^èbre, elle doit être peu connue des géomètres : je serai satisfait si je puis contribuer à la leur rendre un peu plus familière. Je donne ensuite des applications nouvelles de cette Théorie à l'Analyse indéterminée. Je détermine les minima qui peuvent avoir lieu dans les formules indéterminées à deux inconnues, surtout dans celle du second ordre, et je démontre, relativement à celles-ci, des propositions remarquables qui n'étaient pas connues, ou qui n'avaient pas encore été démontrées d'une manière générale et directe. On remarquera principalement dans l'Article XXXIII une méthode particulière pour réduire en fractions continues les racines réelles des équations du second degré, et dans les Articles suivants une démonstration rigoureuse que ces fractions doivent toujours être nécessairement périodiques '*;.
Les autres Additions concernent la résolution des équations indéterminées. Bachet avait donné, en 1624, la résolution complète des équations indéterminées du premier degré. Celle des équations du second de^ré n'a paru qu'en 1769, dans ]es Mémoires de T Académie de Berlin. On la redonne ici simplifiée et généralisée de manière a ne rien laisser à désirer. A l'égard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n'a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle parait l'être passé le quatrième pour les équations déterminées.
Enfin le dernier paragraphe renferme des recherches sur les fonctions qui ont la propriété que le produit de deux ou de plusieurs fonctions semblables est aussi une fonction semblable; j'y donne une méthode (Générale pour trouver ces sortes de fonctions, et j*e« fais voir l'usage pour la résolution de différents Problèmes indéterminés, sur lesquels les méthodes connues n'auraient aucune prise.
Tels sont les principaux objets de ces Additions, auxquelles j'aurais
(*) Dans celle nouvelle édition on a fait quelques changements à l'analyse du Problème I du § n, pour la rendre plus directe et plus facile à suivre.
pu donner beaucoup plus d'étendue, si je n'avais craint de passer de justes bornes. Je soubaite que h^s matières que j'y ai traitées puissent mériter l'attentioades géomètres, et réveiller leur goût pour une partie de l'Analyse (jui me parait très-digne d'exercer leur sagacité.
^' I. — Sur les fractions continues considérées par rapport h r Arithmétique.
1 . Comme la Tbéorie des fractions continues manque dans les livres ordinaires d'Arithmétique et d'Algèbre, et que, par cette raison, elle doit être peu connue des géomètres, nous croyons devoir commencer ces Additions par une exposition abrégée de cette Tbéorie, dont nous aurons souvent lieu de faire l'application dans la suite.
On appelle, en général, fraction continue toute expression de cette forme
oii les quantités a, ,j, •/, o — et h, c, d,... sont des nombres entiers positifs ou négatifs; mais nous ne considérerons ici que les fractions continues où les numérateurs h, c, d,... sont égaux à l'unité, c'est-à-dire, celles qui sont de la forme
«, ,'5, y,... étant d'ailleurs des nombres quelconques entiers positifs ou négatifs: car celles-ci sont, à proprement parler, les seules qui soient
ANALYSE INDETERMINEE. 9
d'un grand usage dans l'Analyse, les autres n'étant presque que de pure curiosité.
2. Mylord Brouncker est, je crois, le premier qui ait imaginé les fractions continues; on connaît celle qu'il a trouvée pour exprimer le rapport du carré circonscrit à l'aire du cercle, et qui est
mais on ignore le chemin qui y a conduit. On trouve seulement, dans V Arithmetica infinilorum , quelques recherches sur ce sujet, dans lesquelles Wallis démontre d'une manière assez indirecte, quoique fort ingénieuse, l'identité de l'expression de Brouncker avec la sienne, qui
est, comme l'on sait, '/,'.•'?•""; il v donne aussi la méthode de ré-
(luire, en erénéral, toutes sortes de fractions continues à des fractions ordinaires. Au reste il ne paraît pas que l'un ou l'autre de ces deux grands géomètres ait connu les principales propriétés et les avantages singuliers des fractions continues; nous verrons ci-après que la découverte en est principalement due à Huyghens.
3. Les fractions continues se présentent naturellement toutes les fois qu'il s'agit d'exprimer en nombres des quantités fractionnaires ou irrationnelles. En effet, supposons qu'on ait à évaluer une quantité quelconque donnée a, qui ne soit pas exprimable par un nombre entier; la voie la plus simple est de commencer par chercher le nombre entier qui sera le plus proche de la valeur de c/., et qui n'en différera que par une fraction moindre que l'unité. Soit ce nombre a, et l'on aura a — a
égal à une fraction plus petite que l'unité, de sorte que sera, au
contraire, un nombre plus grand que l'unité; soit donc = è, et,
