VII

( oiiime h doit èlre un nombro plus graiiil (juc l'unité, on pourra chercher de même le nombre entier ijui approchera le plus de la valeur de 6; et, ce nombre étant nommé ^j, on aura de nouveau b — [i égal à une fraclion plus petite que l'unité, et par conséquent iT—Q ^^"'^ *"'§''' ^' ""*' (|uantité plus grande que l'unité, (ju'on pourra désigner par c; ainsi, pour évaluer c, il n'y aura qu'à chercher pareillement le nombre entier le plus proche de c, lequel étant désigné par 7, on aura c — 7 égal à

une quantité plus petite que l'unité, et par conséquent -3— sera égal

h une quantité d plus grande que l'unité, et ainsi de suite. Parce moyen il est clair qu'on doit épuiser peu à peu la valeur de a, et cela de la manière la plus simple et la plus prompte qu'il est possible, puisqu'on n'emploie que des nombres entiers dont chacun approche, autant qu'il est possible, de la valeur cherchée.

Maintenant, puisque — 1 7 = ^. on aura

de même, à cause de -, — ^ = c, on aura

ei, à cause de = d, on aura pareillement

et ainsi de suite; de sorte qu'en substituant successivement ces valeurs, on aura

« = 3£-t-T=:aH

et, en général,

Il est bon de remarquer ici que les nombres a, (3, 7,..., qui représentent, comme nous venons de le voir, les valeurs entières approchées des quantités a,b,c,..., peuvent être pris chacun de deux manières différentes, puisqu'on peut prendre également, pour la valeur entière approchée d'une quantité donnée, l'un ou l'autre des deux nombres entiers entre lesquels se trouve cette quantité. Il y a cependant une difierence essentielle entre ces deux manières de prendre les valeurs approchées par rapport à la fraction continue qui en résulte; car, si l'on prend toujours les valeurs approchées plus petites que les véritables, les dénominateurs ,S,7, rî,... seront tous positifs; au lieu qu'ils seront tous négatifs si l'on prend les valeurs approchées toutes plus grandes que les véritables, et ils seront en partie positifs et en partie négatifs si les valeurs approchées sont prises tantôt trop petites et tantôt trop grandes.

En effet, si a est plus petit que a, a — a. sera une quantité positive; donc b sera positif et j3 le sera aussi; au contraire, a -a sera négatif si a est plus grand que a; donc b sera négatif et /3 le sera aussi. De même, si p est plus petit que b, b - ^ sera toujours une quantité positive; donc c le sera aussi et par conséquent aussi 7; mais, si (3 est plus grand que b, b -^ |3 sera une quantité négative, de sorte que c et par conséquent aussi 7 seront négatifs, et ainsi de suite.

Au reste, lorsqu'il s'agit des quantités négatives, j'entends par quantités plus petites celles qui, prises positivement, seraient plus grandes; nous aurons cependant quelquefois, dans la suite, occasion de comparer entre elles des quantités purement par rapport a leur grandeur absolue; mais nous aurons soin d'avertir alors qu'il faudra faire abstraction des

signes.

Je dois remarquer encore que si, parmi les quantités b, c, d,..., il s en

trouve une qui soit égale à ua nombre entier, alors la fraction continue sera terminée, parce qu'on pourra y conserver cette quantité même; par exemple, si c est un nombre entier, la fraction continue qui donne la valeur de a sera

En effet, il est clair qu'il faudrait prendre 7 = c, ce qui donnerait

et par conséquent 5 = 30 , de sorte que l'on aurait

les termes suivants s'évanouissant vis-à-vis de la quantité infinie oc ;

or - = o; donc on aura simplement

Ce cas arrivera toutes les fois que la quantité a sera commensurable, c'est-à-dire qu'elle sera exprimée par une fraction rationnelle; mais, lorsque a sera une quantité irrationnelle ou transcendante, alors la fraclion continue ira nécessairement à l'infini.

4. Supposons que la quantité a soit une fraction ordinaire ^■> A et B

étant des nombres entiers donnés; il est d'abord évident que le nombre entier u qui a[)procbera le plus de jt sera le quotient de la division de A parB; ainsi, supposant la division faite à la manière ordinaire, et

nommant « le quotient et C le reste, on aura ^- y =^ è' '^^"'^ ^ ~ c' pour avoir de même la valeur entière approchée [^ de la fraction ^r. il n'y aura qu'à diviser B par C, et prendre pour ,3 le quotient de cette division; alors, nommant D le reste, on aura ^ - f. = ^, et par conséquent c =:: ^: on continuera donc iwliviser C par D, et le (luolient sera la valeur du nombre 7, et ainsi de suite; d'où résulte cette règle fort simple pour réduire les fractions ordinaires en fractions continues :

Dhisez d'abord le numérateur de la fraction proposée par son dénominateur, et nommez le quotient a; divisez ensuite le dénominateur par le reste, et nommez le quotient^; divisez après cela le premier reste par le second reste, et soit le quotient 7; continuez ainsi en divisant toujours l'avant- dernier reste par le dernier, jusqu'à ce qu'on parvienne à une division qui se fasse sans reste, ce qui doit nécessairement arriver, puisque les restes sont tous des nombres entiers qui vont en diminuant; vous aurez la fraction continue

qui sera égale à la fraction donnée.

5. Soit proposé de réduire en fraction continue la traction -^gy-: on divisera donc iio3 par 887, on aura le quotient . et le reste 216; on divisera 887 par 216, on aura le quotient 4 et le reste 23; on divisera 216 par 23, ce qui donnera le quotient 9 et le reste 9; on divisera encore 23 par 9, on aura le (luotient 2 et le reste 5; on divisera 9 par 5, on aura le quotient i et le reste 4; on divisera 5 par 4, on aura le quotient I et le reste i ; entin, divisant 4 par i, on aura le quotient 4 et le

I'. vnniTioNs Auv éléments dalgébre deuler.

irsti" nul, de sorti' (juo ropôration sera lorminoe. Rassemblant donc par ordre tous les quotients trouvés, on aura eette série i, 4> 9> 2, i , i , 4< d'où l'on lormera la fVaetion continue

I io3

«). Comme, dans la manière ordinaire de faire les divisions, on prend toujours pour quotient le nombre entier (jui est égal ou moindre que la fraction proposée, il s'ensuit que, par la métliode précédente, on n'aura que des fractions continues, dont tous les dénominateurs seront des nombres positifs.

Or on peut aussi prendre pour quotient le nombre entier qui est immédiatement plus grand que la valeur de la fraction, lorsque cette fraction n'est pas réductible ii un nombre entier, cl pour cela il n'y a qu'à augmente!- d'une unité la valeur du quotient trouvé à la manière ordinaire; alors le reste sera négatif, et le quotient suivant sera nécessairement négatif. Ainsi on pourra à volonté rendre les termes de la fraction continue positifs ou négatifs.

Dans l'exemple précédent, au lieu de prendre 1 poui' le quotient de rio'3 divisé par 887, je puis prendre 2; mais j'aurai le reste négatif—671, par lequel il faudra maintenant diviser 887; on divisera donc 887 par — 671, et l'on aura ou le quotient — i et le reste 216, ou le quotient — 2 et le reste — 455. Prenons le quotient plus grand — i, et alors il faudra diviser le reste — 671 par le reste 21O, d'où l'on aura ou le quotient - 3 et le reste — 23, ou le quotient — 4 et le reste 193. Je continue la division en adoptant le quotient plus grand — 3; j'aurai à diviser le reste 21G par le reste - 23, ce qui me donnera ou le quotient — 9 et le reste 9, ou le quotient — 10 et le reste — i4, et ainsi de suite.

De cette manière on aura I io3

où l'on voit que tous les dénominateurs sont négatifs.

7 On peut, au reste, rendre positif chaque dénominateur négatif, en changeant le signe du numérateur; mais il faut alors changer auss, le signe du numérateur suivant; car il est clair qu'on a

Ensuite on pourra, si l'on veut, faire disparaître tous les signes - de la fraction continue, et la réduire à une autre, où tous les termes soient positifs; car on a, en général.

comme on peut s'en convaincre aisément, en réduisant ces deux quantités en fractions ordinaires.

On pourrait aussi, par un moyen semblable, introduire des termes négatifs a la place des positifs, car on a

I(i \lMiril(iN> M \ I.I.KMI XTS l)' M.d K I! li K DKlI.KIi.

il'oii l'on voit (|iit', par ces sortes ilc li'aiisl'oi'iiialions. on peut (|iU'l(|iiefois simplilior une IVaclioii lonlimii' cl la réduiio ;» un moindre noinl)i'e de iLM'nies; ce (|ni aura lieu toutes les fois (|u'il v aura des déuouiinateurs égaux à l'unilé positive ou négative.

En général il est elair (|ue, pour avoir la irai tion continue la plus convergente ([u'il est possiltle vers la valeui- de la (juantile donnée, il r.iut toujours pi'endre pour «. jS, '/.... les nombres entiers qui approchent le plus des quantités a, /', c soit (|n'ils soient plus petits ou

plus grands que ces ciuaiilités; or il est facile de voir ([ue si, [)ar exemple, on ne prend |»as pour a le nomhre entiei' qui approche le plus, soit en excès ou en défaut, de (t. le noinlire suivant ,> sera nécessairement égal a Tunite: en ellet la diU'erence entre a et a sera alors

plus i^rande (lue -; i)ar consécinent on aura /> — • ' 2; donc iS ne

pourra être (]u'égal à l'unile.

Ainsi, toutes les fois (jue dans une fraction continue on trouvera des

dénominateurs égaux à l'unité, ce sera une mai que (|ue l'on n'a pas pris

les dénominateurs précédents aussi approchauls qu'il est possible, et

que, par conséquent, la fraction |)eut se simplifier eu augmentant ou en

diminuant ces denoinitialeuis d'une unité, ce (|u'on ptuirra exécuter par

les formuh s précédentes, sans être obligé de refairt' en entier le calcul.

8. La méthode du n" i peut sei'vir aus.-i à réduire eu fraction continue toute quantité irrationnelle ou transcendante, pourvu qu'( Ile soit auparavant exprimée en décimales. Mais, comme la valeur en décimales ne peut être qu'approchée, et (|u'en augmentant d'une unile le dernier caractère on a deux limites entre les([uelles doit se trouver la vraie valeur de la quantité proposée, il faudra, pour' rre pas sortir de ces limites, fairr' ii la fois le même calcul sur' lc> deux fractions dont il s'agit, et n'admettre ensuite dans la fraction corrtiiiue ([ue les (|rrotients qui résulteront également des deux opérations.

Soit, par exemple, proposé d'exprimer \\.w une fraction continue le rapport de la circonférence du cercle au diami-lrc.

Ce rapport exprimé en décimales est, par le calcul île Vièle, ■^.1415926533.... (le sorte qu'on aura la fraction 7^^^^^^^^ à réduire en fraction continue par la méthode ci-dessus; or, si l'on ne prend que ,a fraction ^-^^^, on trouve les quotients3. 7. . 5. i et si l'on prenait

ICOOOO

hi fraction plus grande— ^-^^ on trouverait les quotients 3. 7. 16,...:

• ^ lOOOOO

de sorte que le troisième quotient demeurerait incertain; d'où l'on voit que, pour pouvoir pousser seulement la fraction continue au delà de trois termes, il faudra nécessairement adopter une valeur de la périphérie qui ait plus de six caractères.

Si l'on prend la valeur donnée par Ludolph en trente-cinq caractères, et qui est